Teil 1 Analysis: ohne Hilfsmittel

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1
Der Graph einer ganzrationalen Funktion $p$ zweiten Grades mit der Definitionsmenge $D_{p} = ℝ$ besitzt den Scheitelpunkt $S (3 | 2)$ und verläuft durch den Koordinatenursprung.
Bestimmen Sie einen Funktionsterm $p (x)$ von $p$ und geben Sie die Wertemenge von $p$ an.
[4 BE]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Scheitelpunkt einer Parabel
Bestimme einen Funktionsterm $p (x)$ von $p$
Die Scheitelpunktsform lautet: $p (x) = a \cdot (x - x_{S})^{2} + y_{S}$ .
Setze die Scheitelpunktskoordinaten $S (3 | 2)$ ein:
$p (x) = a \cdot (x - 3)^{2} + 2$
Der Punkt $O (0 | 0)$ liegt auf $p \Rightarrow 0 = a \cdot (0 - 3)^{2} + 2 \Rightarrow 0 = 9 a + 2 \Rightarrow a = - \frac{2}{9}$ .
Der Funktionsterm $p (x)$ lautet $p (x) = - \frac{2}{9} \cdot (x - 3)^{2} + 2$ .
Gib die Wertemenge von $p$ an
Der Leitkoeffizient von $p (x)$ ist negativ, d.h. es handelt sich um eine nach unten geöffnete Parabel. Somit ist $S (3 | 2)$ auch der Hochpunkt von $G_{p}$ .
$\Rightarrow W =] - \infty; 2]$
Teil 1
Die Scheitelpunktsform lautet: $p (x) = a \cdot (x - x_{S})^{2} + y_{S}$ .
Setze die Scheitelpunktskoordinaten $S (3 | 2)$ ein.
Beachte, der Punkt $O (0 | 0)$ liegt auf $G_{p}$ .
Teil 2
Wie ist die Parabel geöffnet?
Was ist dann der Scheitelpunkt? $\Rightarrow W$
2
Gegeben ist die Funktion $k : x \mapsto x^{5} - 4 x^{3}$ mit der Definitionsmenge $D_{k} = ℝ$ .
1. Ermitteln Sie die Nullstellen der Funktion $k$ und geben Sie ihre jeweilige Vielfachheit an. [4 BE]
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstelle
  Ermittle die Nullstellen der Funktion $k$ und gib ihre jeweilige Vielfachheit an
  Gegeben ist $k (x) = x^{5} - 4 x^{3} \Rightarrow k (x) = x^{3} (x^{2} - 4)$ .
  Berechne $k (x) = 0$ . Verwende den Satz vom Nullprodukt.
  $0 = x^{3} (x^{2} - 4) \Rightarrow x^{3} = 0 \lor x^{2} - 4 = 0$
  Man erhält die Lösungen $x_{1,2,3} = 0 \Rightarrow$ dreifache Nullstelle und
  $x_{4} = - 2$ einfache Nullstelle und $x_{5} = 2$ einfache Nullstelle.
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  Gegeben ist $k (x) = x^{5} - 4 x^{3} \Rightarrow k (x) = x^{3} (x^{2} - 4)$ .
  Berechne $k (x) = 0$ . Verwende den Satz vom Nullprodukt.
  Gib die Vielfachheit der Nullstellen an.
2. Geben Sie einen Wert für $b$ mit $b \in ℝ$ und $b \neq - 1$ an, so dass gilt: $\int_{- 1}^{b} k (x) d x = 0.$
  [3 BE]
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächenberechnung mit Integralen
  Gib einen Wert für $b$ mit $b \in ℝ$ und $b \neq - 1$ an, so dass gilt: $\int_{- 1}^{b} k (x) d x = 0$
  Die Funktion $k (x)$ ist punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung (es treten nur ungerade Exponenten auf).
  Demnach hat das Integral $\int_{- 1}^{1} k (x) d x$ den Wert null. Die Flächenbilanz hat den Wert null $\Rightarrow b = 1$ .
  Der Wert für $b$ mit $b \in ℝ$ und $b \neq - 1$ ist $b = 1$ .
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  Die Funktion $k (x)$ ist punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung.
  Wie groß muss dann $b$ sein, damit der Wert des Integrals gleich null ist?
3
Die folgende Abbildung zeigt einen Ausschnitt des Graphens $G_{f}$ einer auf ganz $ℝ$ definierten ganzrationalen Funktion $f$ vierten Grades. Die Funktion $F$ bezeichne eine Stammfunktion von $f$ .
1. Entscheiden Sie jeweils anhand der Abbildung, ob folgende Aussagen wahr ( $w$ ) oder falsch ( $f$ ) bzw. ob dies mit den gegebenen Informationen nicht entscheidbar ( $n . e .$ ) ist.
  Kreuzen Sie entsprechend an.
  Hinweis: Jedes richtig gesetzte Kreuz ergibt +1 BE. Jedes falsch gesetzte -0,5 BE und jedes nicht gesetzte 0 BE bewertet. [4 BE]
  Aussage
  $w$
  $f$
  $n . e .$
  $f^{''} (- 1) > 0$
  $f^{'} (2) = f (2)$
  Die lokale Änderungsrate der Funktion $f$
  an der Stelle $x = - 0,5$ ist negativ.
  $F$ hat genau drei Nullstellen.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kurvendiskussion
  Entscheide jeweils anhand der Abbildung, ob folgende Aussagen wahr ( $w$ ) oder falsch ( $f$ ) bzw. ob dies mit den gegebenen Informationen nicht entscheidbar ( $n . e .$ ) ist
  Aussage
  $w$
  $f$
  $n . e .$
  $f^{''} (- 1) > 0$
  X
  $f^{'} (2) = f (2)$
  X
  Die lokale Änderungsrate der Funktion $f$
  an der Stelle $x = - 0,5$ ist negativ.
  X
  $F$ hat genau drei Nullstellen.
  X
  Zur 1. Aussage:
  Bei $x = - 1$ ist $G_{f}$ linksgekrümmt $\Rightarrow f^{''} (- 1) < 0 \Rightarrow$ wahre Aussage
  Zur 2. Aussage:
  Bei $x = 2$ hat $G_{f}$ einen Tiefpunkt, d. h. $f ′ (2) = 0$ .
  Außerdem ist $f (2) = 0 \Rightarrow f^{'} (2) = f (2) \Rightarrow$ wahre Aussage
  Zur 3. Aussage:
  $G_{f}$ hat bei $x = - 0,5$ eine positive Steigung $\Rightarrow$ falsche Aussage
  Zur 4. Aussage:
  Die Aussage ist nicht entscheidbar, denn $G_{F}$ ist nach oben oder unten verschiebbar.
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  Zur 1. Aussage:
  Wie ist $G_{f}$ bei $x = - 1$ gekrümmt?
  Zur 2. Aussage:
  Bei $x = 2$ hat $G_{f}$ einen Tiefpunkt. Was bedeutet das für die Steigung an dieser Stelle? Welchen Wert hat $f (2)$ ?
  Zur 3. Aussage:
  Welche Steigung hat $G_{f}$ bei $x = - 0,5$ ?
  Zur 4. Aussage:
  Beachte, dass $G_{F}$ nach oben oder unten verschiebbar ist.
2. Skizzieren Sie in das gegebene Koordinatensystem von Aufgabe 3 einen möglichen Graphen der Stammfunktion $F$ , welcher durch den Koordinatenursprung verläuft. Aus Ihrer Skizze sollen – sofern vorhanden – Extrem- und Wendestellen des Graphen von $F$ klar ersichtlich sein. [3 BE]
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Graph einer Funktion
  Skizziere in das gegebene Koordinatensystem von Aufgabe 3 einen möglichen Graphen der Stammfunktion $F$ , welcher durch den Koordinatenursprung verläuft
  $G_{F}$ in orange
  $G_{F}$ hat bei $x = - 1$ einen $H P$ , bei $x = 0$ einen $T P$ und bei $x = 2$ einen Terrassenpunkt.
  Hinweise:
  Beachte beim Zeichnen die NEW-Regel.
  $F N E W$
  $f N E W$
  Beachte außerdem die folgenden Regeln:
  1. Der Graph einer ganzrationalen Funktion $f$ kommt aus einer anderen y-Richtung als der Graph der Stammfunktion $F$ .
  2. Einfache Nullstellen von $f$ ( $x$ -Achse wird geschnitten) werden zu Extremstellen von $F$ .
  3. Doppelte Nullstellen von $f$ ( $x$ -Achse wird berührt) werden zu Terrassenstellen (Sattelstellen) von $F$ .
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  Beachte beim Zeichnen die NEW-Regel.
  $F N E W$
  $f N E W$
4
Gegeben ist die Funktion $h$ mit der Funktionsgleichung $h (x) = x \cdot e^{x - 2}$ und der Definitionsmenge $D_{h} = ℝ$ . Bestimmen Sie eine Gleichung der Tangente $G_{t}$ an den Graphen der Funktion h an der Stelle $x = 2$ . [4 BE]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tangente an Graph
Bestimme eine Gleichung der Tangente $G_{t}$ an den Graphen der Funktion h an der Stelle $x = 2$
Gegeben ist $h (x) = x \cdot e^{x - 2}$ .

Eine Tangente berührt den Funktionsgraphen $G_{h}$ in einem Punkt $P$ , an dem sie denselben Wert und dieselbe Steigung wie die Funktion $h$ hat.
Allgemeine Tangentengleichung $t : y = m x + b$ .
Es ist $h (2) = 2 \cdot e^{2 - 2} = 2 \Rightarrow P (2 | 2)$ .
Weiterhin wird die 1. Ableitung von $h$ benötigt.
Berechne die Ableitung mit der Produkt- und Kettenregel:
$h^{'} (x) = 1 \cdot e^{x - 2} + x \cdot e^{x - 2} \cdot 1 = e^{x - 2} (1 + x)$
Gesucht wird $m = h^{'} (2) = e^{2 - 2} (1 + 2) = 3$ .
Dann gilt: $t : y = 3 x + b$
Setze den Punkt $P (2 | 2)$ in die Tangentengleichung $t$ ein, um $b$ zu berechnen.
$2 = 3 \cdot 2 + b \Rightarrow b = - 4$
Die Gleichung der Tangente $G_{t}$ an den Graphen der Funktion $h$ an der Stelle $x = 2$ lautet $y = 3 x - 4$ .
Eine Tangente berührt den Funktionsgraphen $G_{h}$ in einem Punkt $P$ , an dem sie denselben Wert und dieselbe Steigung wie die Funktion $h$ hat.
Allgemeine Tangentengleichung $t : y = m x + b$ .
Berechne die Koordinaten des Punktes $P$ und die 1. Ableitung von $h$ .

Aussage	$w$	$f$	$n . e .$
$f^{''} (- 1) > 0$	X
$f^{'} (2) = f (2)$	X
Die lokale Änderungsrate der Funktion $f$ an der Stelle $x = - 0,5$ ist negativ.		X
$F$ hat genau drei Nullstellen.			X

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CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

Teil 1 Analysis: ohne Hilfsmittel

Bestimme einen Funktionsterm p(x) von p

Gib die Wertemenge von p an

Ermittle die Nullstellen der Funktion k und gib ihre jeweilige Vielfachheit an

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Gib einen Wert für b mit b∈ℝ und b≠−1 an, so dass gilt: ∫−1bk(x)dx=0

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Entscheide jeweils anhand der Abbildung, ob folgende Aussagen wahr (w) oder falsch (f) bzw. ob dies mit den gegebenen Informationen nicht entscheidbar (n.e.) ist

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Skizziere in das gegebene Koordinatensystem von Aufgabe 3 einen möglichen Graphen der Stammfunktion F, welcher durch den Koordinatenursprung verläuft

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Bestimme eine Gleichung der Tangente Gt an den Graphen der Funktion h an der Stelle x=2

Bestimme einen Funktionsterm $p (x)$ von $p$

Gib die Wertemenge von $p$ an

Ermittle die Nullstellen der Funktion $k$ und gib ihre jeweilige Vielfachheit an

Gib einen Wert für $b$ mit $b \in ℝ$ und $b \neq - 1$ an, so dass gilt: $\int_{- 1}^{b} k (x) d x = 0$

Entscheide jeweils anhand der Abbildung, ob folgende Aussagen wahr ( $w$ ) oder falsch ( $f$ ) bzw. ob dies mit den gegebenen Informationen nicht entscheidbar ( $n . e .$ ) ist

Skizziere in das gegebene Koordinatensystem von Aufgabe 3 einen möglichen Graphen der Stammfunktion $F$ , welcher durch den Koordinatenursprung verläuft

Bestimme eine Gleichung der Tangente $G_{t}$ an den Graphen der Funktion h an der Stelle $x = 2$