Begründe, dass $\sigma =5$ gilt

Die Wendepunkte einer Normalverteilung liegen bei $\mu \pm \sigma$.

Da $\mu =120$ und ein Wendepunkt bei $x=125$ gegeben ist, gilt: $125=120+\sigma \Rightarrow \sigma =5$.

$A$: „Die Füllmenge beträgt weniger als 115 ml.“

Gesucht ist $P(X<115)$.

$P(X<115)=\mathrm{\Phi }\left({\displaystyle \frac{x-\mu }{\sigma }}\right)=\mathrm{\Phi }\left({\displaystyle \frac{115-120}{5}}\right)=\mathrm{\Phi }\left({\displaystyle \frac{-5}{5}}\right)=\mathrm{\Phi }(-1)$

$\Rightarrow \mathrm{\Phi }(-1)=1-\mathrm{\Phi }(1)\approx 1-\mathrm{0,8413}=\mathrm{0,1587}$ (mit TR berechnet oder aus dem Tabellenwerk entnommen)

Die Wahrscheinlichkeit, dass die Füllmenge weniger als $115\text{ ml}$ beträgt, ist rund $\mathrm{0,1587}$.

Die folgende Abbildung ist nicht in der Aufgabenstellung gefordert. Sie dient nur zur Veranschaulichung.

Gib ein anderes Ereignis im Sachzusammenhang an, welches exakt dieselbe Wahrscheinlichkeit wie das Ereignis $A$ hat

Ein symmetrisches Ereignis ist $P(X>125)$.

$P(X>125)=1-\mathrm{\Phi }\left({\displaystyle \frac{x-\mu }{\sigma }}\right)=1-\mathrm{\Phi }\left({\displaystyle \frac{125-120}{5}}\right)=1-\mathrm{\Phi }\left({\displaystyle \frac{5}{5}}\right)=1-\mathrm{\Phi }(1)$

$1-\mathrm{\Phi }(1)\approx 1-\mathrm{0,8413}=\mathrm{0,1587}=P(X<115)$

Ereignis: Die Füllmenge beträgt mehr als $125\text{ ml}$.

Die folgende Abbildung ist nicht in der Aufgabenstellung gefordert. Sie dient nur zur Veranschaulichung.

Nimm Stellung zu Tamaras Behauptung

Die Aussage, dass die Modellierung der Füllmenge durch eine Normalverteilung ungeeignet ist, weil es Punkte auf der Glockenkurve mit negativen x-Koordinaten gibt, ist nicht richtig.

Obwohl die Werte der Normalverteilung im gesamten Zahlenbereich (einschließlich negativer Zahlen) definiert sind, ist dies in der Praxis kein großes Problem, solange der Erwartungswert ($\mu$) deutlich größer ist als die Standardabweichung ($\sigma$).

Wahrscheinlichkeit negativer Werte:

Bei einem Erwartungswert von $120\text{ ml}$ und einer Standardabweichung von $5\text{ ml}$ ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Normalverteilung negative Füllmengen vorhersagt, extrem gering. In diesem Fall ist die Normalverteilung eine gute Näherung, da die Wahrscheinlichkeit für unrealistische (negative) Werte vernachlässigbar ist. Z. B. ist hier $P(X<0)\approx 0$.

Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mehr als sieben der ausgewählten Kaffeebecher rot sind

Gegeben sind $n=10$ und $p_{\text{rot}}=\mathrm{0,7}$.

Gesucht ist $P(X>7)=1-P(X\le 7)=1-F(10;\mathrm{0,7};7)\approx 1-\mathrm{0,6172}=\mathrm{0,3828}$.

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mehr als sieben der ausgewählten Kaffeebecher rot sind, beträgt rund $\mathrm{0,3828}$.

B: „Die ersten drei ausgewählten Kaffeebecher sind rot und von den letzten sieben ausgewählten Kaffeebechern sind höchstens vier rot.“

Die erste Bedingung besagt, dass die ersten drei ausgewählten Kaffeebecher rot sind. Da die Auswahl jedes Kaffeebechers unabhängig ist, ist die Wahrscheinlichkeit dafür ${\mathrm{0,7}}^3$.

Die zweite Bedingung besagt, dass von den letzten sieben ausgewählten Kaffeebechern höchstens vier rot sind. Dies bedeutet, dass $0,1,2,3$ oder $4$ dieser sieben Becher rot sind. Dies ist eine Binomialverteilung mit $n=7$ und $p=\mathrm{0,7}$. Die Wahrscheinlichkeit, dass höchstens vier davon rot sind, ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten für $k=0,1,2,3,4\Rightarrow F(7;\mathrm{0,7};4)\approx \mathrm{0,35293}$.

Die Gesamtwahrscheinlichkeit, dass die ersten drei Becher rot sind und höchstens vier der letzten sieben Becher rot sind, ist das Produkt der Wahrscheinlichkeiten, da die Ereignisse unabhängig sind:

Gesamtwahrscheinlichkeit $=P(\text{erste 3 rot})\cdot P(\text{höchstens 4 von den letzten 7 rot})={\mathrm{0,7}}^3\cdot \mathrm{0,35293}\approx \mathrm{0,121}$

Ermittle die Mindestanzahl an Kaffeebechern, die zufällig ausgewählt werden müssen, damit die Wahrscheinlichkeit dafür, dass darunter mindestens $80$ rote Kaffeebecher sind, mindestens $95\%$ beträgt

Gesucht ist $P(X\ge 80)\ge \mathrm{0,95}$.

$P(X\ge 80)=1-P(X\le 79)\ge \mathrm{0,95}\Rightarrow \mathrm{0,05}\ge P(X\le 79)=F(n;\mathrm{0,7};79)$

Berechne für einige n-Werte $F(n;\mathrm{0,7};79)$:

Es muss $n>80$ sein:

$n=100\Rightarrow F(100;\mathrm{0,7};79)\approx \mathrm{0,98}>\mathrm{0,05}$

$n=110\Rightarrow F(110;\mathrm{0,7};79)\approx \mathrm{0,69}>\mathrm{0,05}$

$n=120\Rightarrow F(120;\mathrm{0,7};79)\approx \mathrm{0,18}>\mathrm{0,05}$

$n=125\Rightarrow F(125;\mathrm{0,7};79)\approx \mathrm{0,06}>\mathrm{0,05}$

$n=126\Rightarrow F(126;\mathrm{0,7};79)\approx \mathrm{0,0474}<\mathrm{0,05}$

Die Mindestanzahl an Kaffeebechern, die zufällig ausgewählt werden müssen, damit die Wahrscheinlichkeit dafür, dass darunter mindestens $80$ rote Kaffeebecher sind, mindestens $95\%$ beträgt, ist $n=126$.