1. Variante

Zunächst legst du Folgendes fest:

Die Aussage $A$ bedeutet: Der Gauner $A$ ist schuldig.

Somit bedeutet die Aussage $\neg A$: Der Gauner $A$ ist unschuldig.

Dasselbe gilt entsprechend für $B$ und $C$.

Auf diese Weise formalisierst du die beiden Aussagen, die der Polizei vorliegen.

Wenn $A$ unschuldig ist, ist $B$ schuldig.

$(\neg A)\to B$ ist äquivalent zu $(\neg (\neg A))\vee B$ und damit zu $A\vee B$.

Wenn $B$ unschuldig ist, sind sowohl $A$ als auch $C$ schuldig.

$(\neg B)\to (A\wedge C)$ ist äquivalent zu $(\neg (\neg B))\vee (A\wedge C)$ und damit zu $B\vee (A\wedge C)$.

Die erste Aussage ist wahr, die zweite Aussage aber falsch. Indem du die beiden Aussagen kombinierst, erhältst du

$(A\vee B)\wedge \neg (B\vee (A\wedge C))$

Nun wendest du in der zweiten Klammer die de Morgansche Regel an:

$(A\vee B)\wedge (\neg B\wedge \neg (A\wedge C))$

Wegen des Assoziativgesetzes gilt außerdem:

$((A\vee B)\wedge \neg B)\wedge (\neg A\vee \neg C)$

Das Distributivgesetz ergibt:

$((A\wedge \neg B)\vee (B\wedge \neg B))\wedge (\neg A\vee \neg C)$

Die Aussage $B\wedge \neg B$ ist immer $\text{false}$:

$((A\wedge \neg B)\vee \text{false})\wedge (\neg A\vee \neg C)$

Da $X\vee \text{false}$ gleich $X$ ist, gilt auch:

$A\wedge \neg B\wedge (\neg A\vee \neg C)$

Assoziativgesetz und Kommutativgesetz erlauben folgende Umformung:

$\neg B\wedge (A\wedge (\neg A\vee \neg C))$

Hier wendest du nun erneut das Distributivgesetz an:

$\neg B\wedge ((A\wedge \neg A)\vee (A\wedge \neg C))$

Auch hier kannst du einen Term durch $\text{false}$ ersetzen:

$\neg B\wedge (\text{false}\vee (A\wedge \neg C))$

Im letzten Schritt erhältst du eine sehr einfache Formel:

$\neg B\wedge A\wedge \neg C$

Diese Aussage ist nur wahr, wenn $A$ gleich $\text{true}$ ist und $B$ und $C$ gleich $\text{false}$ sind. Das heißt, $A$ ist schuldig und $B$ und $C$ sind unschuldig.