1. Variante

Zunächst legst du Folgendes fest:

Die Aussage $A$ bedeutet: Der Gauner $A$ ist schuldig.

Somit bedeutet die Aussage $\neg A$: Der Gauner $A$ ist unschuldig.

Dasselbe gilt entsprechend für $B$ und $C$.

Auf diese Weise formalisierst du die beiden Aussagen, die der Polizei vorliegen.

Wenn $A$ unschuldig ist, ist $B$ schuldig.

$(\lnot A) \rightarrow B$ ist äquivalent zu $(\lnot (\lnot A)) \lor B$ und damit zu $A \lor B$.

Wenn $B$ unschuldig ist, sind sowohl $A$ als auch $C$ schuldig.

$(\lnot B) \rightarrow (A \land C)$ ist äquivalent zu $(\lnot (\lnot B)) \lor (A \land C)$ und damit zu $B \lor (A \land C)$.

Die erste Aussage ist wahr, die zweite Aussage aber falsch. Indem du die beiden Aussagen kombinierst, erhältst du

$(A \lor B) \land \lnot (B \lor (A \land C))$

Nun wendest du in der zweiten Klammer die de Morgansche Regel an:

$(A \lor B) \land (\lnot B \land \lnot(A \land C))$

Wegen des Assoziativgesetzes gilt außerdem:

$((A \lor B) \land \lnot B) \land (\lnot A \lor \lnot C)$

Das Distributivgesetz ergibt:

$((A \land \lnot B) \lor (B \land \lnot B)) \land (\lnot A \lor \lnot C)$

Die Aussage $B \land \lnot B$ ist immer $\text{false}$:

$((A \land \lnot B) \lor \text{false}) \land (\lnot A \lor \lnot C)$

Da $X \lor \text{false}$ gleich $X$ ist, gilt auch:

$A \land \lnot B \land (\lnot A \lor \lnot C)$

Assoziativgesetz und Kommutativgesetz erlauben folgende Umformung:

$\lnot B \land (A \land (\lnot A \lor \lnot C))$

Hier wendest du nun erneut das Distributivgesetz an:

$\lnot B \land ((A \land \lnot A) \lor (A \land \lnot C))$

Auch hier kannst du einen Term durch $\text{false}$ ersetzen:

$\lnot B \land (\text{false} \lor (A \land \lnot C))$

Im letzten Schritt erhältst du eine sehr einfache Formel:

$\lnot B \land A \land \lnot C$

Diese Aussage ist nur wahr, wenn $A$ gleich $\text {true}$ ist und $B$ und $C$ gleich $\text{false}$ sind. Das heißt, $A$ ist schuldig und $B$ und $C$ sind unschuldig.