Aufgaben zum Thema Aussagenlogik

1
Bestätige durch eine Wahrheitstafel das erste Gesetz von De Morgan.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wahrheitstafel
In dieser Aufgabe beweist du das erste Gesetz von De Morgan mithilfe einer Wahrheitstafel:
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{cc|cc|c|c|c}A&B&\neg A & \neg B & \neg A\lor\neg B & A\land B & \neg(A \land B)\\\hline 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1\\ 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1\\ 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\end{array}$
Die Wahrheitswerte unter den Aussagen $\neg A \lor \neg B$ und $\neg (A \land B)$ sind dieselben. Damit sind die Aussagen äquivalent.
2
Zeige, dass die Aussagen $(A \rightarrow B) \land (B \rightarrow A)$ und $A \leftrightarrow B$ äquivalent sind, und zwar indem du die Gesetze der Logik anwendest. Hinweis: Setze für $A \rightarrow B$ die äquivalente Aussage $\neg A \lor B$ ein, wende das Distributivgesetz an, wende bei Bedarf das Kommutativgesetz an, wende das Gesetz $A \land \neg A \leftrightarrow 0$ an, wende das Gesetz $A \lor 0 \leftrightarrow A$ an und erhalte schließlich $(A \land B) \lor (\neg A \land \neg B)$ . Letztere Aussage ist äquivalent zu $A \leftrightarrow B$ , wie du anhand der entsprechenden Wahrheitstafel schnell siehst.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Aussagenlogik
Entsprechend dem Hinweis formst du die Aussagen folgendermaßen um. Du wendest das Distributivgesetz wie beim Ausmultiplizieren von Klammern an.
$\displaystyle \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{ll} ~ & (A \rightarrow B) \land (B \rightarrow A)\\ \leftrightarrow & (\neg A \lor B) \land (\neg B \lor A)\\ \leftrightarrow & (\neg A \land \neg B) \lor (\neg A \land A) \lor (B \land \neg B) \lor (B \land A)\\ \leftrightarrow & (\neg A \land \neg B) \lor ~0~ \lor ~0~ \lor (B \land A)\\ \leftrightarrow & (\neg A \land \neg B) \lor (B \land A)\\ \leftrightarrow & (A \land B) \lor (\neg A \land \neg B)\\ \leftrightarrow & (A \leftrightarrow B) \end{array}$
3
Bei einem Verstoß gegen ein mathematisches Gesetz kommen drei stadtbekannte Gauner $A$ , $B$ und $C$ als Täter in Frage -- einer alleine oder mehrere zusammen. Der Polizei liegen zwei Aussagen vor:
Wenn $A$ unschuldig ist, ist $B$ schuldig.
Wenn $B$ unschuldig ist, sind sowohl $A$ als auch $C$ schuldig.
Da die Polizei ihre Informanten kennt, weiß sie, dass die erste Aussage wahr, die zweite Aussage aber falsch ist. Wer ist's gewesen?
Hier gibt es mal wieder verschiedene Lösungswege -- du kannst z. B. logische Ausdrücke für die Aussagen aufstellen und umformen, du kannst die Aufgabe aber auch grafisch lösen, indem du dir ein Venn-Diagramm für drei Mengen $A$ , $B$ , $C$ aufmalst:
Der Bereich innerhalb von $A$ bedeutet, dass $A$ schuldig ist usw.. Mittels der Aussagen schließt du nun Bereiche aus, bis nur noch ein Feld übrig ist.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Aussagenlogik
1. Variante
Zunächst legst du Folgendes fest:
Die Aussage $A$ bedeutet: Der Gauner $A$ ist schuldig.
Somit bedeutet die Aussage $\neg A$ : Der Gauner $A$ ist unschuldig.
Dasselbe gilt entsprechend für $B$ und $C$ .
Auf diese Weise formalisierst du die beiden Aussagen, die der Polizei vorliegen.
Wenn $A$ unschuldig ist, ist $B$ schuldig.
$(\lnot A) \rightarrow B$ ist äquivalent zu $(\lnot (\lnot A)) \lor B$ und damit zu $A \lor B$ .
Wenn $B$ unschuldig ist, sind sowohl $A$ als auch $C$ schuldig.
$(\lnot B) \rightarrow (A \land C)$ ist äquivalent zu $(\lnot (\lnot B)) \lor (A \land C)$ und damit zu $B \lor (A \land C)$ .
Die erste Aussage ist wahr, die zweite Aussage aber falsch. Indem du die beiden Aussagen kombinierst, erhältst du
$(A \lor B) \land \lnot (B \lor (A \land C))$
Nun wendest du in der zweiten Klammer die de Morgansche Regel an:
$(A \lor B) \land (\lnot B \land \lnot(A \land C))$
Wegen des Assoziativgesetzes gilt außerdem:
$((A \lor B) \land \lnot B) \land (\lnot A \lor \lnot C)$
Das Distributivgesetz ergibt:
$((A \land \lnot B) \lor (B \land \lnot B)) \land (\lnot A \lor \lnot C)$
Die Aussage $B \land \lnot B$ ist immer $\text{false}$ :
$((A \land \lnot B) \lor \text{false}) \land (\lnot A \lor \lnot C)$
Da $X \lor \text{false}$ gleich $X$ ist, gilt auch:
$A \land \lnot B \land (\lnot A \lor \lnot C)$
Assoziativgesetz und Kommutativgesetz erlauben folgende Umformung:
$\lnot B \land (A \land (\lnot A \lor \lnot C))$
Hier wendest du nun erneut das Distributivgesetz an:
$\lnot B \land ((A \land \lnot A) \lor (A \land \lnot C))$
Auch hier kannst du einen Term durch $\text{false}$ ersetzen:
$\lnot B \land (\text{false} \lor (A \land \lnot C))$
Im letzten Schritt erhältst du eine sehr einfache Formel:
$\lnot B \land A \land \lnot C$
Diese Aussage ist nur wahr, wenn $A$ gleich $\text {true}$ ist und $B$ und $C$ gleich $\text{false}$ sind. Das heißt, $A$ ist schuldig und $B$ und $C$ sind unschuldig.

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CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

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1. Variante