Aufgaben zum Thema Aussagenlogik

In dieser Aufgabe beweist du das erste Gesetz von De Morgan mithilfe einer Wahrheitstafel:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{cc|cc|c|c|c}A&B&\neg A & \neg B & \neg A\lor\neg B & A\land B & \neg(A \land B)\\\hline 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1\\ 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1\\ 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\end{array}$

Die Wahrheitswerte unter den Aussagen $\neg A \lor \neg B$ und $\neg (A \land B)$ sind dieselben. Damit sind die Aussagen äquivalent.

Entsprechend dem Hinweis formst du die Aussagen folgendermaßen um. Du wendest das Distributivgesetz wie beim Ausmultiplizieren von Klammern an.

1. Variante

Zunächst legst du Folgendes fest:

Die Aussage $A$ bedeutet: Der Gauner $A$ ist schuldig.

Somit bedeutet die Aussage $\neg A$: Der Gauner $A$ ist unschuldig.

Dasselbe gilt entsprechend für $B$ und $C$.

Auf diese Weise formalisierst du die beiden Aussagen, die der Polizei vorliegen.

Wenn $A$ unschuldig ist, ist $B$ schuldig.

$(\lnot A) \rightarrow B$ ist äquivalent zu $(\lnot (\lnot A)) \lor B$ und damit zu $A \lor B$.

Wenn $B$ unschuldig ist, sind sowohl $A$ als auch $C$ schuldig.

$(\lnot B) \rightarrow (A \land C)$ ist äquivalent zu $(\lnot (\lnot B)) \lor (A \land C)$ und damit zu $B \lor (A \land C)$.

Die erste Aussage ist wahr, die zweite Aussage aber falsch. Indem du die beiden Aussagen kombinierst, erhältst du

$(A \lor B) \land \lnot (B \lor (A \land C))$

Nun wendest du in der zweiten Klammer die de Morgansche Regel an:

$(A \lor B) \land (\lnot B \land \lnot(A \land C))$

Wegen des Assoziativgesetzes gilt außerdem:

$((A \lor B) \land \lnot B) \land (\lnot A \lor \lnot C)$

Das Distributivgesetz ergibt:

$((A \land \lnot B) \lor (B \land \lnot B)) \land (\lnot A \lor \lnot C)$

Die Aussage $B \land \lnot B$ ist immer $\text{false}$:

$((A \land \lnot B) \lor \text{false}) \land (\lnot A \lor \lnot C)$

Da $X \lor \text{false}$ gleich $X$ ist, gilt auch:

$A \land \lnot B \land (\lnot A \lor \lnot C)$

Assoziativgesetz und Kommutativgesetz erlauben folgende Umformung:

$\lnot B \land (A \land (\lnot A \lor \lnot C))$

Hier wendest du nun erneut das Distributivgesetz an:

$\lnot B \land ((A \land \lnot A) \lor (A \land \lnot C))$

Auch hier kannst du einen Term durch $\text{false}$ ersetzen:

$\lnot B \land (\text{false} \lor (A \land \lnot C))$

Im letzten Schritt erhältst du eine sehr einfache Formel:

$\lnot B \land A \land \lnot C$

Diese Aussage ist nur wahr, wenn $A$ gleich $\text {true}$ ist und $B$ und $C$ gleich $\text{false}$ sind. Das heißt, $A$ ist schuldig und $B$ und $C$ sind unschuldig.