2. Logarithmen

Der Logarithmus gibt dir die Antwort auf eine Frage wie: " $2$ hoch wie viel ist $32$ ?"

Die Antwort lautet: $\log_{2} (32) = 5$ .

Der Logarithmus zur Basis 2 von 32 ist gleich 5.

Die Gleichung

y = b^{n}

kannst du nach b auflösen, indem du die n-te Wurzel ziehst:

b = \sqrt[n]{y}

Du kannst die Gleichung aber auch nach n auflösen, indem du den Logarithmus zur Basis b bildest:

n = \log_{b} (y)

Die Potenzfunktion hat also zwei verschiedene Umkehrfunktionen, je nach dem, ob du nach der Basis $b$ oder nach dem Exponenten $n$ fragst.

Definition

Zu $x > 0$ und $b > 0, b \neq 1$ ist der Logarithmus zur Basis b von x die folgende Zahl $y \in ℝ$ :

y = \log_{b} (x) : \Leftrightarrow b^{y} = x

Die drei speziellen Basen $2$ , $10$ und $e = 2,71828$ ... kommen so häufig vor, dass sie eigene Symbole haben: $ld$ , $\lg$ und $\ln$ . Zur Schreibweise: Beim Logarithmus werden oft die Klammern um das Argument weggelassen, wenn dieses nur eine einzelne Variable oder eine einzelne Zahl ist:

ld x : = \log_{2} x

\lg x : = \log_{10} x

\ln x : = \log_{e} x

Der Zweierlogarithmus $ld$ kommt besonders häufig in der Informatik vor. Der Zehnerlogarithmus $\lg$ wird viel in der Technik verwendet, der natürliche Logarithmus $\ln$ ist in der Mathematik heimisch.

Rechenregeln

Potenzieren und Logarithmieren (zur selben Basis) heben sich gegenseitig auf:

$(1) b^{\log_{b} (x)} = x$

$(2) \log_{b} (b^{x}) = x$

Logarithmieren: Aus "mal" wird "plus":

$\begin{array}{lcll} \log_{b} (x \cdot y) & = & \log_{b} (b^{\log_{b} (x)} \cdot b^{\log_{b} (y)}) & einsetzen nach (1) \\ = & \log_{b} (b^{\log_{b} (x) + \log_{b} (y)}) & Potenzrechnung \\ = & \log_{b} (x) + \log_{b} (y) & nach (2) \end{array}$

Logarithmieren: Aus "geteilt durch" wird "minus":

$\begin{array}{lcll} \log_{b} (x / y) & = & \log_{b} (b^{\log_{b} (x)} / b^{\log_{b} (y)}) & einsetzen nach (1) \\ = & \log_{b} (b^{\log_{b} (x) - \log_{b} (y)}) & Potenzrechnung \\ = & \log_{b} (x) - \log_{b} (y) & nach (2) \end{array}$

Logarithmieren: Aus "hoch" wird "mal":

$\begin{array}{lcll} \log_{b} (x^{n}) & = & \log_{b} ((b^{\log_{b} (x)})^{n}) & einsetzen nach (1) \\ = & \log_{b} (b^{\log_{b} (x) \cdot n)} & Potenzrechnung \\ = & \log_{b} (x) \cdot n & nach (2) \end{array}$

Einen Logarithmus von einer Basis in eine andere Basis umrechnen

Das Verrückte ist: Die Logarithmen verhalten sich alle proportional zueinander, oder genauer, zwei Logarithmen zu verschiedenen Basen unterscheiden sich nur um einen konstanten Faktor voneinander (natürlich bei gleichem Argument $x$ ).

$\begin{array}{lcll} \log_{c} (x) & = & \log_{c} (b^{\log_{b} (x)}) & einsetzen nach (1) \\ = & \log_{c} (b) \cdot \log_{b} (x) & aus "hoch" wird "mal" \end{array}$

Du erhältst also den Logarithmus zur Basis $c$ , indem du den Logarithmus zur Basis $b$ mit dem konstanten Faktor $\log_{c} (b)$ multiplizierst.

Zum Beispiel möchtest du den Zweierlogarithmus $(c = 2)$ von $1000$ ausrechnen. Du kennst den Zehnerlogarithmus $(b = 10)$ von $1000$ , nämlich $3$ . Du multiplizierst also die $3$ mit $\log_{2} (10) \approx 3,322$ und erhältst als Ergebnis $9,966$ .

$\log_{2} (1000) = \log_{2} (10) \cdot \log_{10} (1000) \approx 3,322 \cdot 3 = 9,966$

Also gilt $2^{9,966} \approx 1000$ .

Anwendung: Rechenschieber

Addieren ist einfacher als Multiplizieren. Der Logarithmus bietet die Möglichkeit, das Multiplizieren auf das Addieren zurückzuführen. Verwende eine logarithmische Skala: Abstand von zwei Achsenbeschriftungen $x_{1}$ und $x_{2}$ proportional zu $\log x_{1} - \log x_{2} = \log (x_{1} / x_{2})$ .

Ein Rechenschieber für Informatiker. Berechnet wird $8 \cdot 32 = 256$ .

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