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Halbwertszeit

Die Halbwertszeit gibt die Zeit an, in welcher die Hälfte der radioaktiven Atomkerne einer Probe zerfällt.

Übersicht

Formelzeichen

T12T_{\frac{1}{2}}

Einheit

1 s1 \, \mathrm{s}

Formel

T12=ln2λ,T_{\frac{1}{2}}= \frac{ln 2}{\lambda}, wobei λ\lambda eine stoffabhängige Zerfallskonstante ist.

Zerfallsgesetz

Betrachtet man die Anzahl an radioaktiven Kernen NN, die Masse an radioaktivem Material mm oder dessen Aktivität AA in Abhängigkeit der Zeit, ergibt sich ein exponentieller Zusammenhang.

N=N0⋅e−λ⋅t\displaystyle N=N_0 \cdot e^{-\lambda \cdot t}

Äquivalent gilt für die Masse und die Aktivität:

m=m0⋅e−λ⋅tm=m_0 \cdot e^{-\lambda \cdot t} und A=A0⋅e−λ⋅tA=A_0 \cdot e^{-\lambda \cdot t}

N0,m0,A0N_0, m_0, A_0 sind dabei jeweils die Ausgangswerte zum Zeitpunkt t=0t=0.

Eine weitere Form des Zerfallsgesetzes existiert. Es gilt:

N=N0⋅12tT12\displaystyle N=N_0 \cdot \frac{1}{2}^{\frac{t}{T_{\frac{1}{2}}}}
m=m0⋅12tT12\displaystyle m=m_0 \cdot \frac{1}{2}^{\frac{t}{T_{\frac{1}{2}}}}
A=A0⋅12tT12\displaystyle A=A_0 \cdot \frac{1}{2}^{\frac{t}{T_{\frac{1}{2}}}}

Herleitung der Formel für T12T_{\frac{1}{2}}

Im Ansatz überlegen wir uns, dass nach Ablauf einer Halbwertszeit T12T_{\frac{1}{2}} noch genau die Hälfte der Ausgangsatomkerne N0N_0 vorhanden sind. Es gilt also:

12N0=N0 e−λT12\displaystyle \frac{1}{2} N_0 = N_0 \,e^{-\lambda T_{\frac{1}{2}}}

Diese Gleichung soll im Folgenden nach T12T_{\frac{1}{2}} umgestellt werden. Dazu wird die gesamte Gleichung zunächst durch N0N_0 dividiert.

12\displaystyle \frac{1}{2}==e−λ⋅T12\displaystyle e^{-\lambda\cdot T_{\frac{1}{2}}}
↓

Anwenden von ln⁡()\ln\left(\right)

ln⁡(12)\displaystyle \ln\left(\frac{1}{2}\right)==ln⁡(e−λ⋅T12)\displaystyle \ln\left(e^{-\lambda\cdot T_{\frac{1}{2}}}\right)
↓

ln⁡(x)\ln\left(x\right) und exe^x heben sich auf

ln⁡(12)\displaystyle \ln\left(\frac{1}{2}\right)==−λ⋅T12⋅ln⁡(e)\displaystyle -\lambda\cdot T_{\frac{1}{2}}\cdot\ln(e)
↓

ln⁡(e)=1\ln\left(e\right)=1

ln⁡(12)\displaystyle \ln\left(\frac{1}{2}\right)==−λ⋅T12\displaystyle -\lambda\cdot T_{\frac{1}{2}}
↓

ln⁡\ln-Rechenregel

ln⁡(1)−ln⁡(2)\displaystyle \ln(1)-\ln(2)==−λ⋅T12\displaystyle -\lambda\cdot T_{\frac{1}{2}}
↓

ln⁡\ln-Rechenregel

0−ln⁡(2)\displaystyle 0-\ln(2)==−λ⋅T12\displaystyle -\lambda\cdot T_{\frac{1}{2}}
↓

ln⁡\ln-Rechenregel

−ln⁡(2)\displaystyle -\ln(2)==−λ⋅T12\displaystyle -\lambda\cdot T_{\frac{1}{2}}
ln⁡(2)λ\displaystyle \frac{\ln(2)}{\lambda}==T12\displaystyle T_{\frac{1}{2}}
T12\displaystyle T_{\frac{1}{2}}==ln⁡(2)λ\displaystyle \frac{\ln(2)}{\lambda}

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