Halbwertszeit

Die Halbwertszeit gibt die Zeit an, in welcher die Hälfte der radioaktiven Atomkerne einer Probe zerfällt.

Übersicht

Formelzeichen	$T_{\frac{1}{2}}$
Einheit	$1 \, \mathrm{s}$
Formel	$T_{\frac{1}{2}}= \frac{ln 2}{\lambda},$ wobei $\lambda$ eine stoffabhängige Zerfallskonstante ist.

Zerfallsgesetz

Betrachtet man die Anzahl an radioaktiven Kernen $N$ , die Masse an radioaktivem Material $m$ oder dessen Aktivität $A$ in Abhängigkeit der Zeit, ergibt sich ein exponentieller Zusammenhang.

\displaystyle N=N_0 \cdot e^{-\lambda \cdot t}

Äquivalent gilt für die Masse und die Aktivität:

$m=m_0 \cdot e^{-\lambda \cdot t}$ und $A=A_0 \cdot e^{-\lambda \cdot t}$

$N_0, m_0, A_0$ sind dabei jeweils die Ausgangswerte zum Zeitpunkt $t=0$ .

Eine weitere Form des Zerfallsgesetzes existiert. Es gilt:

\displaystyle N=N_0 \cdot e^{-\lambda \cdot t}

\displaystyle N=N_0 \cdot e^{-\lambda \cdot t}

\displaystyle N=N_0 \cdot e^{-\lambda \cdot t}

Herleitung der Formel für $T_{\frac{1}{2}}$

Im Ansatz überlegen wir uns, dass nach Ablauf einer Halbwertszeit $T_{\frac{1}{2}}$ noch genau die Hälfte der Ausgangsatomkerne $N_0$ vorhanden sind. Es gilt also:

\displaystyle N=N_0 \cdot e^{-\lambda \cdot t}

Diese Gleichung soll im Folgenden nach $T_{\frac{1}{2}}$ umgestellt werden. Dazu wird die gesamte Gleichung zunächst durch $N_0$ dividiert.

$\displaystyle \frac{1}{2}$	$=$	$\displaystyle e^{-\lambda\cdot T_{\frac{1}{2}}}$
	↓	Anwenden von $\ln\left(\right)$
$\displaystyle \ln\left(\frac{1}{2}\right)$	$=$	$\displaystyle \ln\left(e^{-\lambda\cdot T_{\frac{1}{2}}}\right)$
	↓	$\ln\left(x\right)$ und $e^x$ heben sich auf
$\displaystyle \ln\left(\frac{1}{2}\right)$	$=$	$\displaystyle -\lambda\cdot T_{\frac{1}{2}}\cdot\ln(e)$
	↓	$\ln\left(e\right)=1$
$\displaystyle \ln\left(\frac{1}{2}\right)$	$=$	$\displaystyle -\lambda\cdot T_{\frac{1}{2}}$
	↓	$\ln$ -Rechenregel
$\displaystyle \ln(1)-\ln(2)$	$=$	$\displaystyle -\lambda\cdot T_{\frac{1}{2}}$
	↓	$\ln$ -Rechenregel
$\displaystyle 0-\ln(2)$	$=$	$\displaystyle -\lambda\cdot T_{\frac{1}{2}}$
	↓	$\ln$ -Rechenregel
$\displaystyle -\ln(2)$	$=$	$\displaystyle -\lambda\cdot T_{\frac{1}{2}}$
$\displaystyle \frac{\ln(2)}{\lambda}$	$=$	$\displaystyle T_{\frac{1}{2}}$
$\displaystyle T_{\frac{1}{2}}$	$=$	$\displaystyle \frac{\ln(2)}{\lambda}$

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Herleitung der Formel für T12T_{\frac{1}{2}}T21​​

Herleitung der Formel für $T_{\frac{1}{2}}$