Halbwertszeit

Die Halbwertszeit gibt die Zeit an, in welcher die Hälfte der radioaktiven Atomkerne einer Probe zerfällt.

Übersicht

Formelzeichen	$T_{\frac{1}{2}}$
Einheit	$1 s$
Formel	$T_{\frac{1}{2}} = \frac{l n 2}{λ},$ wobei $λ$ eine stoffabhängige Zerfallskonstante ist.

Zerfallsgesetz

Betrachtet man die Anzahl an radioaktiven Kernen $N$ , die Masse an radioaktivem Material $m$ oder dessen Aktivität $A$ in Abhängigkeit der Zeit, ergibt sich ein exponentieller Zusammenhang.

N = N_{0} \cdot e^{- λ \cdot t}

Äquivalent gilt für die Masse und die Aktivität:

$m = m_{0} \cdot e^{- λ \cdot t}$ und $A = A_{0} \cdot e^{- λ \cdot t}$

$N_{0}, m_{0}, A_{0}$ sind dabei jeweils die Ausgangswerte zum Zeitpunkt $t = 0$ .

Eine weitere Form des Zerfallsgesetzes existiert. Es gilt:

N = N_{0} \cdot {\frac{1}{2}}^{\frac{t}{T_{\frac{1}{2}}}}

m = m_{0} \cdot {\frac{1}{2}}^{\frac{t}{T_{\frac{1}{2}}}}

A = A_{0} \cdot {\frac{1}{2}}^{\frac{t}{T_{\frac{1}{2}}}}

Herleitung der Formel für $T_{\frac{1}{2}}$

Im Ansatz überlegen wir uns, dass nach Ablauf einer Halbwertszeit $T_{\frac{1}{2}}$ noch genau die Hälfte der Ausgangsatomkerne $N_{0}$ vorhanden sind. Es gilt also:

\frac{1}{2} N_{0} = N_{0} e^{- λ T_{\frac{1}{2}}}

Diese Gleichung soll im Folgenden nach $T_{\frac{1}{2}}$ umgestellt werden. Dazu wird die gesamte Gleichung zunächst durch $N_{0}$ dividiert.

$\frac{1}{2}$	$=$	$e^{- λ \cdot T_{\frac{1}{2}}}$
	↓	Anwenden von $\ln ()$
$\ln (\frac{1}{2})$	$=$	$\ln (e^{- λ \cdot T_{\frac{1}{2}}})$
	↓	$\ln (x)$ und $e^{x}$ heben sich auf
$\ln (\frac{1}{2})$	$=$	$- λ \cdot T_{\frac{1}{2}} \cdot \ln (e)$
	↓	$\ln (e) = 1$
$\ln (\frac{1}{2})$	$=$	$- λ \cdot T_{\frac{1}{2}}$
	↓	$\ln$ -Rechenregel
$\ln (1) - \ln (2)$	$=$	$- λ \cdot T_{\frac{1}{2}}$
	↓	$\ln$ -Rechenregel
$0 - \ln (2)$	$=$	$- λ \cdot T_{\frac{1}{2}}$
	↓	$\ln$ -Rechenregel
$- \ln (2)$	$=$	$- λ \cdot T_{\frac{1}{2}}$
$\frac{\ln (2)}{λ}$	$=$	$T_{\frac{1}{2}}$
$T_{\frac{1}{2}}$	$=$	$\frac{\ln (2)}{λ}$

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Herleitung der Formel für T12

Herleitung der Formel für $T_{\frac{1}{2}}$