• $\sim \backslash sim$ ist reflexiv: Sei $x\in Mx\backslash in\; M$ beliebig. Da die Vereinigung aller Mengen von $PP$ die Grundmenge ergibt, gibt es eine Menge $A\in PA\backslash in\; P$ mit $x\in Ax\backslash in\; A$. Damit ist

  ${\displaystyle (\mathrm{\exists }A\in P:x,x\in A)\Rightarrow x\sim x}\backslash displaystyle\; \backslash left(\backslash exists\; A\backslash in\; P:\; x,x\backslash in\; A\backslash right)\; \backslash Rightarrow\; x\backslash sim\; x$

• $\sim \backslash sim$ ist symmetrisch: Sei $x,y\in Mx,y\backslash in\; M$ beliebig. Es ist

• $\sim \backslash sim$ ist transitiv: Sei $x,y,z\in Mx,y,z\backslash in\; M$ mit $x\sim yx\backslash sim\; y$ und $y\sim zy\backslash sim\; z$. Dann gibt es ein $A\in PA\backslash in\; P$ und ein $B\in PB\backslash in\; P$ mit $x,y\in Ax,y\backslash in\; A$ und $y,z\in By,z\backslash in\; B$. Damit ist $A\cap B\mathrm{\ne }\mathrm{\varnothing }A\backslash cap\; B\backslash ne\; \backslash emptyset$, da $yy$ sowohl ein Element von $AA$ als auch ein Element von $BB$ ist. Da $PP$ eine Partition ist, muss $A=BA=B$ sein. Daraus folgt $x,z\in A=Bx,z\backslash in\; A=B$ und damit $x\sim zx\backslash sim\; z$.

Sei $A\in PA\backslash in\; P$ und $x\in Ax\backslash in\; A$ beliebig.

• '$\subseteq \backslash subseteq$': Sei $y\in [x]y\backslash in\; [x]$ beliebig, also $x\sim yx\backslash sim\; y$. Dann gibt es ein $B\in PB\backslash in\; P$ mit $x,y\in Bx,y\backslash in\; B$. Da $x\in Ax\backslash in\; A$ und $x\in Bx\backslash in\; B$ ist, ist $A\cap B\mathrm{\ne }\mathrm{\varnothing }A\backslash cap\; B\backslash ne\backslash emptyset$. Daraus folgt $A=BA=B$, weil verschiedene Mengen von $PP$ disjunkt sind. Damit ist $y\in B=Ay\backslash in\; B=A$, was zu beweisen war.

• '$\supseteq \backslash supseteq$': Sei $y\in Ay\backslash in\; A$ beliebig. Damit ist sowohl $xx$ als auch $yy$ ein Element von $AA$ und damit $y\sim xy\backslash sim\; x$. Daraus folgt $y\in [x]y\backslash in\; [x]$. Da $y\in Ay\backslash in\; A$ beliebig war, ist $A\subseteq [x]A\backslash subseteq[x]$.

Hieraus folgt, dass $[x]=A[x]=A$ ist.

• '$\subseteq \backslash subseteq$': Sei $[x]\in M\mathrm{/}\sim [x]\backslash in\; M/\{\backslash sim\}$ beliebig. Da ${\bigcup }_{A\in P}A=M\backslash bigcup\_\{A\backslash in\; P\}\; A=M$ ist, gibt es ein $A\in PA\backslash in\; P$ mit $x\in Ax\backslash in\; A$. Aus der Behauptung (2) folgt, dass $[x]=A[x]=A$ und damit $[x]=A\in P[x]=A\backslash in\; P$ ist.

• '$\supseteq \backslash supseteq$': Sei $A\in PA\backslash in\; P$ beliebig. Da alle Mengen aus $PP$ nach Definition nicht leer sind, gibt es ein $x\in Mx\backslash in\; M$ mit $x\in Ax\backslash in\; A$. Aus Behauptung (2) folgt, dass $A=[x]A=[x]$ und damit $A=[x]\in M\mathrm{/}\sim A=[x]\backslash in\; M/\{\backslash sim\}$ ist.