Aufgaben zu quadratischen Gleichungen

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Bestimme die Lösungsmenge der folgenden Gleichungen ( $\mathbb{D}=\mathbb{R}\setminus\{0\}$ ) und kontrolliere dein Ergebnis graphisch, z. B. mit Hilfe eines Funktionsplotters.

Gib die Lösung in der Form " $x_1,x_2$ " in das Eingabefeld ein. Zum Beispiel: " $5;-2{,}5$ ". Bei einer Lösung reicht zum Beispiel " $-2{,}5$ ".

$11=2x+\frac{12}x$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratische Gleichungen

$\displaystyle 11$	$=$	$\displaystyle 2x+\frac{12}{x}$	$\displaystyle \cdot x$
$\displaystyle 11x$	$=$	$\displaystyle 2x^2+12$	$\displaystyle -11x$
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle 2x^2+12-11x$

Nun kann man die Diskriminante D berechnen:

$\displaystyle D$	$=$	$\displaystyle 121-4\cdot2\cdot12$
	$=$	$\displaystyle 25$

Da $D=25>0$ , erhalten wir zwei Lösungen. Man kann nun die Mitternachtsformel anwenden. Die Lösungen lauten:

$\displaystyle x_1$	$=$	$\displaystyle \frac{11+\sqrt{25}}{2\cdot2}$
	$=$	$\displaystyle \frac{16}{4}$
	$=$	$\displaystyle 4$

$\displaystyle x_2$	$=$	$\displaystyle \frac{11-\sqrt{25}}{2\cdot2}$
	$=$	$\displaystyle \frac{6}{4}$
	$=$	$\displaystyle 1{,}5$

Die Lösungsmenge lautet $L=\left\{1{,}5\ ;\ 4\right\}\$ . Der gezeichnete Graph sieht so aus:

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/2411_0SE09xEkK0.xml

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$3\left(x+2\right)+\frac3x=0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratische Gleichung

$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle 3\left(x+2\right)+\frac{3}{x}$
	↓	Ausmultiplizieren
	$=$	$\displaystyle 3x+6+\frac{3}{x}$	$\displaystyle \cdot x$
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle 3x^2+6x+3$

Nun kann man die Diskriminante D berechnen:

$\displaystyle D$	$=$	$\displaystyle 36-4\cdot3\cdot3$
	$=$	$\displaystyle 0$

Da $D=0$ , erhalten wir eine Lösungen. Man kann nun die Mitternachtsformel anwenden. Die Lösung lautet:

$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \frac{-6}{2\cdot3}$
	$=$	$\displaystyle -\frac{6}{6}$
	$=$	$\displaystyle -1$

Die Lösungsmenge lautet $L=\left\{-1\right\}$ .

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