Aufgaben zu quadratischen Gleichungen

1

Entscheide, ob folgende Gleichungen quadratische Gleichungen sind. Begründe deine Antwort.

$3x^2+2x+1=0$
- quadratische Gleichung
- keine quadratische Gleichung
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: quadratische Gleichung
Die Gleichung $3x^2+2x+1=0$ ist quadratisch!
Erklärung:
Sie hat die Form $ax^2+bx+c=0$ (mit $a \in\mathbb R / \{0\}$ und $b,c\in \mathbb R$ ):
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👉
$\frac{1}{2}x^2+1=0$
- quadratische Gleichung
- keine quadratische Gleichung
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: quadratische Gleichung
Die Gleichung $\frac{1}{2}x^2+1=0$ ist quadratisch!
Erklärung:
Sie hat die Form $ax^2+bx+c=0$ (mit $a \in\mathbb R / \{0\}$ und $b,c\in \mathbb R$ ):
$\phantom{\Leftrightarrow}\frac{1}{2}x^2+1=0\\$ $\Leftrightarrow\underbrace{\frac{1}{2}}_ax^2+\underbrace{0}_b\cdot x+\underbrace{1}_c=0$
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👉
$5x-1=2x^3$
- quadratische Gleichung
- keine quadratische Gleichung
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: quadratische Gleichung
Die Gleichung ist nicht quadratisch!
Erklärung:
Die Gleichung enthält einen Term dritten Graden ( $2x^3$ ), welches sich nicht durch Äquivalenzumformungen entfernen lässt (z.B. durch kürzen oder subtrahieren)
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👉

$x^2=25x$

quadratische Gleichung
keine quadratische Gleichung

$\frac{1}{3}x+2=0$
- quadratische Gleichung
- keine quadratische Gleichung
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: quadratische Gleichung
Die Gleichung ist nicht quadratisch!
Erklärung:
Für eine quadratische Gleichung benötigt es einen quadratischen Term (etwas mit $x^2$ ), welcher hier nicht vorkommt.
(In der allgemeinen Form einer quadratischen Gleichung $ax^2+bx+c=0$ dürfen $b$ und $c$ Null sein, aber nicht $a$ .)
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👉

$(x+1)(x-2)=0$

quadratische Gleichung
keine quadratische Gleichung

$5\left(x+1\right)^2=x$

quadratische Gleichung
keine quadratische Gleichung

$x^2\cdot(-x+3)=-5$

quadratische Gleichung
keine quadratische Gleichung

$dx-gx^2=h$ (mit $d,g,h\in\mathbb{R}$ , $g \neq 0$ )

quadratische Gleichung
keine quadratische Gleichung

2

Löse die folgenden Gleichungen.

Gib im Eingabefeld die Lösung in der Form $x_1;x_2$ an, zum Beispiel "4;-1"

$\left(x-2\right)^2=16$

$\left(x+3\right)^2=25$

$\left(x+8\right)^2=36$

$\left(x-1\right)^2=10$

3

Löse die angegebenen Gleichungen.

Gib die Lösungen in der Form " $x_1;x_2$ " an. Zum Beispiel: " $4;-1$ "

$\left(x-3\right)\left(x+1\right)=0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichungen
$\left(x-3\right)\left(x+1\right)=0$
Damit der Term auf der linken Seite gleich $0$ ist, muss einer der beiden Faktoren gleich $0$ sein. Also entweder:
Dann erhältst du die Lösung $x_1 = 3$ . Oder:
Dann erhältst du die Lösung $x_2 = -1$
Insgesamt hast du also die Lösungsmenge $L=\left\{3;-1\right\}$ .
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👉
$0{,}5\left(x-2\right)^2=0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichungen
$0{,}5\left(x-2\right)^2=0$
Damit der Term auf der linken Seite gleich $0$ ist, muss der Faktor $(x-2)$ gleich $0$ sein. Mit:
kommst du auf das Ergebnis $x=2$ .
Die Lösungsmenge ist $L=\left\{2\right\}$ .
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👉
$0{,}5x^2-2x+2=0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lösen quadratischer Gleichungen
$0{,}5x^2-2x+2=0$
Diese Gleichung kannst du mit der Mitternachtsformel lösen:
Unter der Wurzel ergibt sich der Wert $0$ , damit gibt es nur genau eine Lösung und zwar: $x=2$ .
Die Lösungsmenge ist $L=\left\{2\right\}$ .
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👉

4

Löse die folgenden quadratischen Gleichungen mit quadratischer Ergänzung.

Die Lösungen kannst du durch ein Semikolon getrennt in das Lösungsfeld eingeben.

Sie die Lösungen z.B. $x_1=2$ und $x_2=-3$ , so kannst du entweder " $2;-3$ " oder " $-3;2$ " (ohne die Anführungszeichen) eingeben.

$x^2+6x-16=0$

$x^2+10x+9=0$

$0{,}5x^2-1{,}5x-14=0$

$-\frac12x^2+7x+7{,}5=0$

$2x^2+2x-\frac89=0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratische Ergänzung

$\displaystyle 2x^2+2x-\frac{9}{8}$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Klammere den Faktor $2$ vor den x-Termen aus.
$\displaystyle 2\left(x^2+x\right)-\frac{8}{9}$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Ergänze quadratisch mit $\left(\frac12\right)^2$ .
$\displaystyle 2\left(x^2+2\cdot\frac{1}{2}x+\left(\frac{1}{2}\right)^2-\left(\frac{1}{2}\right)^2\right)-\frac{8}{9}$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Fasse zu 1. binomischen Formel zusammen.
$\displaystyle 2\left(\left(x+\frac{1}{2}\right)^2-\frac{1}{4}\right)-\frac{8}{9}$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Multipliziere die Klammern aus.
$\displaystyle 2\left(x+\frac{1}{2}\right)^2-\frac{1}{2}-\frac{16}{18}$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Erweitere die Brüche auf den gemeinsamen Nenner.
$\displaystyle 2\left(x+\frac{1}{2}\right)^2-\frac{9}{18}-\frac{16}{18}$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Fasse zusammen.
$\displaystyle 2\left(x+\frac{1}{2}\right)^2-\frac{25}{18}$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +\frac{25}{18}$
$\displaystyle 2\left(x+\frac{1}{2}\right)^2$	$=$	$\displaystyle \frac{25}{18}$	$\displaystyle \cdot\frac{1}{2}$
$\displaystyle \left(x+\frac{1}{2}\right)^2$	$=$	$\displaystyle \frac{25}{36}$	$\displaystyle \sqrt{ }$
$\displaystyle x+\frac{1}{2}$	$=$	$\displaystyle \pm\frac{5}{6}$
	↓	Forme weiter um.
$\displaystyle x_1$	$=$	$\displaystyle \frac{5}{6}-\frac{1}{2}$
	$=$	$\displaystyle \frac{5}{6}-\frac{3}{6}$
	$=$	$\displaystyle \frac{2}{6}=\frac{1}{3}$
$\displaystyle x_2$	$=$	$\displaystyle -\frac{5}{6}-\frac{1}{2}$
	$=$	$\displaystyle -\frac{5}{6}-\frac{3}{6}$
	$=$	$\displaystyle -\frac{8}{6}=-\frac{4}{3}$
	↓	Lösungsmenge angeben.
$\displaystyle L$	$=$	$\displaystyle \{-\frac{4}{3};\frac{1}{3}\}$

Hast du eine Frage oder Feedback?

Kommentiere hier 👉

$2x^2=x+1$

5

Löse die folgenden Gleichungen und überprüfe dein Ergebnis mit dem Satz von Vieta.

Gib die Lösung in der Form " $x_1;x_2$ " an. Zum Beispiel: " $5;-4$ "

$x^2-5x+6=0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: quadratische Gleichungen
Die Lösung der Gleichung kannst du mit der Mitternachtsformel oder pq-Formel berechnen:
Lösung mit der Mitternachtsformel
$x^2-5x+6=0$
$a=1$ , $b=-5$ und $c=6$
Die drei Koeffizienten der Gleichung in die Mitternachtsformel einsetzen.
$x_{1{,}2}=\frac{-(-5)\pm\sqrt{(-5)^2-4\cdot1\cdot6}}{2\cdot1}$
$=\frac{5\pm\sqrt{25-24}}2=\frac{5\pm1}2$
$\Rightarrow\;x_1=3\\\Rightarrow\;x_2=2$
Lösung mit der pq-Formel
$x^2-5x+6=0$
$p=-5$ und $q=6$
Die 2 Koeffizienten in die pq-Formel einsetzen:
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}x_{1{,}2}&=&−\frac p 2 \pm \sqrt{\left(\frac p 2\right)^2−q}\\&=&−\frac {(-5)} {2} \pm \sqrt{\left( \frac {-5} {2}\right )^2−6}\\&=&\frac52\pm\sqrt{\frac{25}{4}-6}\\&=&\frac52\pm\sqrt{\frac{25}{4}-\frac{24}{4}}\\&=&\frac 5 2\pm \sqrt{\frac 14}\\&=&\frac 52 \pm \frac 12\end{array}$
$\Rightarrow\;x_1=\frac 52+\frac 12=\frac 62=3$
$\Rightarrow\;x_2=\frac 52-\frac 12=\frac42=2$
Überprüfung der Lösung mit dem Satz von Vieta
Für eine Gleichung der Form $x^2+px+q=0$ erfüllen die Lösungen $x_1$ und $x_2$ nach dem Satz von Vieta folgende Bedingungen:
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{ccccc}I &x_1+x_2&=&-p&\\II&x_1\cdot x_2&=&q\end{array}$
Setze $x_1=3, x_2=2, p=-5$ und $q=6$ in die Formeln ein und prüfe, ob die Gleichungen $I$ und $II$ stimmen:
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{ccccc}I &3+2&=&-(-5)&\checkmark\\II&3\cdot 2&=&6&\checkmark\end{array}$
Die berechneten Ergebnisse sind richtig.
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👉
$x^2-6x-27=0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: quadratische Gleichungen
Die Lösung der Gleichung kannst du mit der Mitternachtsformel oder pq-Formel berechnen:
Lösung mit der Mitternachtsformel
$x^2-6x-27=0$
$a=1,\;\;b=-6,\;\;c=-27$
Die drei Kooeffizienten der Gleichung in die Mitternachtsformel einsetzen.
$x_{1{,}2}=\frac{-(-6)\pm\sqrt{(-6)^2-4\cdot1\cdot(-27)}}{2\cdot1}$
$=\frac{6\pm\sqrt{36+108}}2=\frac{6\pm12}2$
$\Rightarrow$ $x_1=\frac{18}{2}$ und $x_2=\frac{-6}{2}$
Die Lösungen sind also $x_1=9$ und $x_2=-3$ .
Lösung mit der pq-Formel
$x^2-6x-27=0$
$p=−6$ und $q=-27$
Die 2 Koeffizienten in die pq-Formel einsetzen:
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}x_{1{,}2}&=&−\frac p 2 \pm \sqrt{\left( \frac p 2 \right) ^2−q}\\&=&−\frac {-6} 2 \pm \sqrt{\left( \frac {-6} 2 \right) ^2−(-27)}\\&=&\frac 6 2 \pm \sqrt{\frac {36} {4}+27}\\&=&3 \pm \sqrt{9+27}\\&=&3 \pm \sqrt{36}\\&=&3\pm6\end{array}$
$\Rightarrow x_1=3+6=9$
$\Rightarrow x_2=3-6=-3$
Überprüfung der Lösung mit dem Satz von Vieta
Für eine Gleichung der Form $x^2+px+q=0$ erfüllen die Lösungen $x_1$ und $x_2$ nach dem Satz von Vieta folgende Bedingungen:
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}\begin{array}{ccccc}I &x_1+x_2&=&-p&\\II&x_1\cdot x_2&=&q\end{array}\end{array}$
Setze $x_1=9,x_2=-3,p=-6$ und $q=-27$ in die Formeln ein und prüfe, ob die Gleichungen $I$ und $II$ stimmen:
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{ccccc}I &9+(-3)&=&-(-6)&\checkmark\\II&9\cdot (-3)&=&-27&\checkmark\end{array}$
Die berechneten Ergebnisse sind richtig.
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👉

$\frac13x^2+3x-12=0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: quadratische Gleichungen

Die Lösung der Gleichung kannst du mit der Mitternachtsformel oder pq-Formel berechnen:

Lösung mit Mitternachtsformel

$\frac13x^2+3x-12=0$

Die Koeffizienten sind $a=\frac13,\;b=3,\;c=-12$ .

Eingesetzt in die Mitternachtsformel erhältst du:

$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \frac{-3\pm\sqrt{3^2-4\cdot\frac{1}{3}\cdot\left(-12\right)}}{2\cdot\frac{1}{3}}$
	$=$	$\displaystyle \frac{-3\pm\sqrt{9+16}}{\frac{2}{3}}$
	$=$	$\displaystyle \frac{-3\pm\sqrt{25}}{\frac{2}{3}}$
	$=$	$\displaystyle \frac{-3\pm5}{\frac{2}{3}}$
	↓	Multipliziere mit dem Kehrbruch.
	$=$	$\displaystyle \frac{(-3\pm5)\cdot3}{2}$

$\Rightarrow x_1=3$ und $x_2=-12$

Lösung mit der pq-Formel

$\frac13x^2+3x-12=0$

Die pq-Formel lässt sich nur auf Gleichungen der Form $x^2+px+q=0$ anwenden. Klammere also zuerst $\frac{1}{3}$ aus:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}\frac{1}{3}\left(x^2+9x-36\right)&=&0&|\cdot3\\x^2+9x-36&=&0\end{array}$

$p=9$ und $q=-36$

Die 2 Koeffizienten in die pq-Formel einsetzen:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}x_{1{,}2}&=&−\frac p 2 \pm \sqrt{(\frac p 2)^2−q}\\&=&−\frac 9 2 \pm \sqrt{ \left( \frac 9 2 \right) ^2−(-36)}\\&=&−\frac 9 2 \pm \sqrt{\frac {81} {4}+36}\\&=&-\frac 92\pm \sqrt{\frac{81}{4}+\frac{144}{4}}\\&=&-\frac 92\pm \sqrt{\frac{225}{4}}\\&=&-\frac 92\pm \sqrt{\left( \frac{15}{2}\right )^2}\\&=&-\frac 92\pm \frac{15}{2}\end{array}$

$\Rightarrow x_1=-\frac 92+\frac{15}{2}=\frac 62 =3$

$\Rightarrow x_2=-\frac 92-\frac{15}{2}=-\frac{24}{2}=-12$

Überprüfung der Lösung mit dem Satz von Vieta

Für eine Gleichung der Form $x^2+px+q=0$ erfüllen die Lösungen $x_1$ und $x_2$ nach dem Satz von Vieta folgende Bedingungen:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{ccccc}I &x_1+x_2&=&-p&\\II&x_1\cdot x_2&=&q\end{array}$

Geg: $\frac13x^2+3x-12=0$

Da $a=\frac13\neq1$ ist muss man zuerst $a$ ausklammern, um den Satz von Vieta anwenden zu können.

$\frac{1}{3}\left(x^2+9x-36\right)=0$

Hierauf kannst du den Satz von Vieta nun anwenden.

Setze $x_1=3,x_2=-12,p=9$ und $q=-36$ in die Formeln ein und prüfe, ob die Gleichungen $I$ und $II$ stimmen:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{ccccc}I &3+(-12)&=&-9=5&\checkmark\\II&3\cdot (-12)&=&-36&\checkmark\end{array}$

Die berechneten Ergebnisse sind richtig.

Hast du eine Frage oder Feedback?

Kommentiere hier 👉

6

Bestimme die Lösungsmenge der folgenden Gleichungen ( $\mathbb{D}=\mathbb{R}\setminus\{0\}$ ) und kontrolliere dein Ergebnis graphisch, z. B. mit Hilfe eines Funktionsplotters.

Gib die Lösung in der Form " $x_1,x_2$ " in das Eingabefeld ein. Zum Beispiel: " $5;-2{,}5$ ". Bei einer Lösung reicht zum Beispiel " $-2{,}5$ ".

$11=2x+\frac{12}x$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratische Gleichungen
$\displaystyle 11$ $=$ $\displaystyle 2x+\frac{12}{x}$ $\displaystyle \cdot x$
$\displaystyle 11x$ $=$ $\displaystyle 2x^2+12$

$\displaystyle 5\left(x+1\right)^2$	$=$	$\displaystyle x$
	↓	Löse die binomische Formel.
$\displaystyle 5\cdot\left(x^2+2x+1\right)$	$=$	$\displaystyle x$
	↓	Multipliziere aus,
$\displaystyle 5x^2+10x+5$	$=$	$\displaystyle x$	$\displaystyle -x$
$\displaystyle 5x^2+9x+5$	$=$	$\displaystyle 0$

$\displaystyle x^2\cdot(-x+3)$	$=$	$\displaystyle -5$
	↓	Multipliziere aus.
$\displaystyle -x^3+3x^2$	$=$	$\displaystyle -5$	$\displaystyle +5$
$\displaystyle -x^3+3x^2+5$	$=$	$\displaystyle 0$

$\displaystyle \left(x-2\right)^2$	$=$	$\displaystyle 16$
	↓	Auf beiden Seiten radizieren. Dabei muss beachtet werden, dass die Ausdrücke auf beiden Seiten stets positiv sind. In diesem Fall ist das so.
$\displaystyle \sqrt{\left(x-2\right)^2}$	$=$	$\displaystyle \sqrt{16}$
	↓	Beim Wurzelziehen den Betrag nicht vergessen!
$\displaystyle \left\|x-2\right\|$	$=$	$\displaystyle 4$

$\displaystyle x-2$	$=$	$\displaystyle 4$	$\displaystyle +2$
	↓	Gleichung nach $x$ auflösen.
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 6$

$\displaystyle x-2$	$=$	$\displaystyle -4$	$\displaystyle +2$
	↓	Gleichung nach $x$ auflösen.
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle -2$

$\displaystyle x^2$	$=$	$\displaystyle 25x$	$\displaystyle -25x$
$\displaystyle x^2-25x$	$=$	$\displaystyle 0$
$\displaystyle 1\cdot x^2+\left(-25\right)\cdot x+0$	$=$	$\displaystyle 0$

$\displaystyle \left(x+1\right)\left(x-2\right)$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Multipliziere die Klammern aus.
$\displaystyle x^2-2x+x-2$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Fasse zusammen.
$\displaystyle x^2-x-2$	$=$	$\displaystyle 0$
$\displaystyle 1\cdot x^2+\left(-1\right)\cdot x+\left(-2\right)$	$=$	$\displaystyle 0$

$\displaystyle dx-gx^2$	$=$	$\displaystyle h$	$\displaystyle -h$
$\displaystyle -gx^2+dx-h$	$=$	$\displaystyle 0$
$\displaystyle \left(-g\right)x^2+d\cdot x+\left(-h\right)$	$=$	$\displaystyle 0$

$\displaystyle \left(x+3\right)^2$	$=$	$\displaystyle 25$
	↓	Auf beiden Seiten radizieren. Dabei muss beachtet werden, dass die Ausdrücke auf beiden Seiten stets positiv sind. In diesem Fall ist das so.
$\displaystyle \sqrt{\left(x+3\right)^2}$	$=$	$\displaystyle \sqrt{25}$
	↓	Beim Wurzelziehen den Betrag nicht vergessen!
$\displaystyle \left\|x+3\right\|$	$=$	$\displaystyle 5$

$\displaystyle x+3$	$=$	$\displaystyle 5$	$\displaystyle -3$
	↓	Gleichung nach x auflösen
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 2$

$\displaystyle \left(x+8\right)^2$	$=$	$\displaystyle 36$
	↓	Auf beiden Seiten radizieren. Dabei muss beachtet werden, dass die Ausdrücke auf beiden Seiten stets positiv sind. In diesem Fall ist das so.
$\displaystyle \sqrt{\left(x+8\right)^2}$	$=$	$\displaystyle \sqrt{36}$
	↓	Beim Wurzelziehen den Betrag nicht vergessen!
$\displaystyle \left\|x+8\right\|$	$=$	$\displaystyle 6$

$\displaystyle x+8$	$=$	$\displaystyle 6$	$\displaystyle -8$
	↓	Gleichung nach $x$ auflösen.
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle -2$

$\displaystyle x+8$	$=$	$\displaystyle -6$	$\displaystyle -8$
	↓	Gleichung nach $x$ auflösen.
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle -14$

$\displaystyle \left(x-1\right)^2$	$=$	$\displaystyle 10$
	↓	Auf beiden Seiten radizieren. Dabei muss beachtet werden, dass die Ausdrücke auf beiden Seiten stets positiv sind. In diesem Fall ist das so.
$\displaystyle \sqrt{\left(x-1\right)^2}$	$=$	$\displaystyle \sqrt{10}$
	↓	Beim Wurzelziehen den Betrag nicht vergessen!
$\displaystyle \left\|x-1\right\|$	$=$	$\displaystyle \sqrt{10}$

$\displaystyle x-1$	$=$	$\displaystyle \sqrt{10}$	$\displaystyle +1$
	↓	Gleichung nach $x$ auflösen.
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 1+\sqrt{10}$

$\displaystyle x-1$	$=$	$\displaystyle -\sqrt{10}$	$\displaystyle +1$
	↓	Gleichung nach $x$ auflösen.
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 1-\sqrt{10}$

$\displaystyle x^2+6x-16$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Quadratisch ergänzen mit $3^2$ .
$\displaystyle x^2+6x+3^2-3^2-16$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Zur 1. binomischen Formel zusammenfassen.
$\displaystyle \left(x+3\right)^2-9-16$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Zusammenfassen
$\displaystyle \left(x+3\right)^2-25$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +25$
$\displaystyle \left(x+3\right)^2$	$=$	$\displaystyle 25$	$\displaystyle \sqrt{ }$
$\displaystyle x+3$	$=$	$\displaystyle \pm5$	$\displaystyle -3$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \pm5-3$
$\displaystyle x_1$	$=$	$\displaystyle -8$
$\displaystyle x_2$	$=$	$\displaystyle 2$
	↓	Lösungsmenge angeben.
$\displaystyle L$	$=$	$\displaystyle \{-8;2\}$

$\displaystyle x^2+10x+9$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Ergänze quadratisch mit $5^2$ .
$\displaystyle x^2+2\cdot5x+5^2-5^2+9$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Fasse zusammen.
$\displaystyle \left(x^2+2\cdot5x+5^2\right)-16$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Fasse als 1. binomische Formel zusammen.
$\displaystyle \left(x+5\right)^2-16$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +16$
$\displaystyle \left(x+5\right)^2$	$=$	$\displaystyle 16$	$\displaystyle \sqrt{ }$
$\displaystyle x+5$	$=$	$\displaystyle \pm4$
$\displaystyle x_1$	$=$	$\displaystyle 4-5\ =-1$
$\displaystyle x_2$	$=$	$\displaystyle -4-5=-9$
	↓	Lösungsmenge angeben.
$\displaystyle L$	$=$	$\displaystyle \{-1;-9\}$

$\displaystyle 0{,}5x^2-1{,}5x-14$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	0,5 ausklammern.
$\displaystyle 0{,}5\left(x^2-3x\right)-14$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Quadratisch ergänzen.
$\displaystyle 0{,}5\left(x^2-3x+\left(\frac{3}{2}\right)^2-\left(\frac{3}{2}\right)^2\right)-14$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Zur 2. binomischen Formel zusammenfassen.
$\displaystyle 0{,}5\left(\left(x-\frac{3}{2}\right)^2-\frac{9}{4}\right)-14$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Ausmultiplizieren.
$\displaystyle 0{,}5\left(x-\frac{3}{2}\right)^2-\frac{9}{8}-14$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +14+\frac{9}{8}$
	↓	Gleichung umformen.
$\displaystyle 0{,}5\left(x-\frac{3}{2}\right)^2$	$=$	$\displaystyle 14+\frac{9}{8}$	$\displaystyle \cdot2$
$\displaystyle \left(x-\frac{3}{2}\right)^2$	$=$	$\displaystyle 28+\frac{9}{4}$	$\displaystyle \sqrt{ }$
$\displaystyle x-\frac{3}{2}$	$=$	$\displaystyle \pm\sqrt{\frac{121}{4}}$	$\displaystyle +\frac{3}{2}$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \frac{3}{2}\pm\frac{11}{2}$
	↓	Lösungsmenge angeben.
$\displaystyle L$	$=$	$\displaystyle \{-4;7\}$

$\displaystyle -\frac{1}{2}x^2+7x+7{,}5$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Klammere $-\frac12$ vor den x-Termen aus.
$\displaystyle -\frac{1}{2}\left(x^2-14x\right)+7{,}5$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Ergänze quadratisch mit $7^2$ .
$\displaystyle -\frac{1}{2}\left(x^2-2\cdot7x+7^2-7^2\right)+7{,}5$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Fasse als 2. binomische Formel zusammen.
$\displaystyle -\frac{1}{2}\left(\left(x-7\right)^2-49\right)+7{,}5$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Multipliziere die Klammer aus.
$\displaystyle -\frac{1}{2}\left(\left(x-7\right)^2\right)+24{,}5+7{,}5$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Fasse zusammen.
$\displaystyle -\frac{1}{2}\left(x-7\right)^2+32$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle -32$
$\displaystyle -\frac{1}{2}\left(x-7\right)^2$	$=$	$\displaystyle -32$	$\displaystyle -2$
$\displaystyle \left(x-7\right)^2$	$=$	$\displaystyle 64$
	↓	Ziehe Wurzel auf beiden Seiten.
$\displaystyle x-7$	$=$	$\displaystyle \pm8$
	↓	Forme weiter um.
$\displaystyle x_1$	$=$	$\displaystyle 8+7=15$
$\displaystyle x_2$	$=$	$\displaystyle -8+7=-1$
	↓	Lösungsmenge angeben.
$\displaystyle L$	$=$	$\displaystyle \{-1;15\}$

$\displaystyle 2x^2$	$=$	$\displaystyle x+1$	$\displaystyle -x+1$
	↓	Alle Summanden auf eine Seite bringen.
$\displaystyle 2x^2-x-1$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Den Faktor 2 ausklammern.
$\displaystyle 2\left(x^2-\frac{1}{2}x\right)-1$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Quadratisch ergänzen.
$\displaystyle 2\left(x^2-\frac{1}{2}x+\left(\frac{1}{4}\right)^2-\left(\frac{1}{4}\right)^2\right)-1$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Zur 2. binomischen Formel zusammenfassen.
$\displaystyle 2\left(\left(x-\frac{1}{4}\right)^2-\frac{1}{16}\right)-1$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Die Klammer ausmultiplizieren.
$\displaystyle 2\left(x-\frac{1}{4}\right)^2-\frac{1}{8}-1$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Die Gleichung nach x auflösen.
$\displaystyle 2\left(x-\frac{1}{4}\right)^2-\frac{1}{8}-1$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +1+\frac{1}{8}$
$\displaystyle 2\left(x-\frac{1}{4}\right)^2$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{8}+1$	$\displaystyle :2$
$\displaystyle \left(x-\frac{1}{4}\right)^2$	$=$	$\displaystyle \frac{9}{16}$	$\displaystyle \sqrt{ }$
$\displaystyle x-\frac{1}{4}$	$=$	$\displaystyle \pm\frac{3}{4}$	$\displaystyle +\frac{1}{4}$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{4}\pm\frac{3}{4}$
	↓	Lösungsmenge angeben.
$\displaystyle L$	$=$	$\displaystyle \{-\frac{1}{2};1\}$

$\displaystyle 11$	$=$	$\displaystyle 2x+\frac{12}{x}$	$\displaystyle \cdot x$
$\displaystyle 11x$	$=$	$\displaystyle 2x^2+12$

Aufgaben zu quadratischen Gleichungen

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

1. Fall

2. Fall

Hast du eine Frage oder Feedback?

1. Fall

2. Fall

Hast du eine Frage oder Feedback?

1. Fall

2. Fall

Hast du eine Frage oder Feedback?

1. Fall

2. Fall

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Lösung mit der Mitternachtsformel

Lösung mit der pq-Formel

Überprüfung der Lösung mit dem Satz von Vieta

Hast du eine Frage oder Feedback?

Lösung mit der Mitternachtsformel

Lösung mit der pq-Formel

Überprüfung der Lösung mit dem Satz von Vieta

Hast du eine Frage oder Feedback?

Lösung mit Mitternachtsformel

Lösung mit der pq-Formel

Überprüfung der Lösung mit dem Satz von Vieta

Hast du eine Frage oder Feedback?