Aufgaben zu quadratischen Gleichungen

…

Löse die folgenden quadratischen Gleichungen.

Gib die Lösung in der Form " $x_1,x_2$ " in das Eingabefeld ein. Zum Beispiel: " $3;-5{,}5$ ". Bei einer Lösung reicht zum Beispiel " $-5{,}5$ ".

$x^2-9x+20=0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratische Gleichungen

Die Lösung erfolgt hier mit der pq-Formel.

$x^2-9x+20=0$

Lies die Werte für $p$ und $q$ ab und setze sie in die pq-Formel ein:

$p=-9$ und $q=20$

$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle -\dfrac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q}$
	↓	Setze $p=-9$ und $q=20$ ein.
	$=$	$\displaystyle -\dfrac{(-9)}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{-9}{2}\right)^2-20}$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$\displaystyle 4{,}5\pm\sqrt{20{,}25-20}$
	$=$	$\displaystyle 4{,}5\pm\sqrt{0{,}25}$
	$=$	$\displaystyle 4{,}5\pm0{,}5$
$\displaystyle x_1$	$=$	$\displaystyle 4{,}5-0{,}5$
$\displaystyle x_1$	$=$	$\displaystyle 4$
$\displaystyle x_2$	$=$	$\displaystyle 4{,}5+0{,}5$
$\displaystyle x_2$	$=$	$\displaystyle 5$

Die Lösungsmenge der Gleichung lautet: $\mathbb{L}=\{4;5\}$

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$x^2+11x=-18$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratische Gleichungen

Bringe die Gleichung zunächst in die Normalform:

$\displaystyle x^2+11x$	$=$	$\displaystyle -18$	$\displaystyle +18$
	↓	Bringe in die Normalform.
$\displaystyle x^2+11x+18$	$=$	$\displaystyle 0$

Die Lösung der quadratischen Gleichung $x^2+11x+18=0$ erfolgt hier mit der pq-Formel.

Lies die Werte für $p$ und $q$ ab und setze sie in die pq-Formel ein:

$p=11$ und $q=18$

$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle -\dfrac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q}$
	↓	Setze $p=11$ und $q=18$ ein.
	$=$	$\displaystyle -\dfrac{11}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{11}{2}\right)^2-18}$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$\displaystyle -5{,}5\pm\sqrt{30{,}25-18}$
	$=$	$\displaystyle -5{,}5\pm\sqrt{12{,}25}$
	↓	Ziehe die Wurzel.
	$=$	$\displaystyle -5{,}5\pm 3{,}5$
$\displaystyle x_1$	$=$	$\displaystyle -5{,}5-3{,}5$
$\displaystyle x_1$	$=$	$\displaystyle -9$
$\displaystyle x_2$	$=$	$\displaystyle -5{,}5+3{,}5$
$\displaystyle x_2$	$=$	$\displaystyle -2$

Die Lösungsmenge der Gleichung lautet: $\mathbb{L}=\{-9;-2\}$

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$3x^2-3x-6=0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratische Gleichungen

Die Lösung der quadratischen Gleichung $3x^2-3x-6=0$ erfolgt hier mit der Mitternachtsformel.

Lies die Werte für $a$ , $b$ und $c$ ab und setze sie in die Mitternachtsformel ein:

$a=3$ , $b=-3$ und $c=-6$

$\displaystyle x_{1 , 2}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}$
	↓	Setze $a=3$ , $b=-3$ und $c=-6$ ein.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^{2}-4\cdot3\cdot(-6)}}{2\cdot3}$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{3 \pm \sqrt{9+72}}{6}$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{3 \pm \sqrt{81}}{6}$
	↓	Ziehe die Wurzel.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{3 \pm 9}{6}$
$\displaystyle x_1$	$=$	$\displaystyle \dfrac{3 - 9}{6}$
$\displaystyle x_1$	$=$	$\displaystyle -\dfrac{6}{6}$
	↓	Kürze.
$\displaystyle x_1$	$=$	$\displaystyle -1$
$\displaystyle x_2$	$=$	$\displaystyle \dfrac{3 + 9}{6}$
$\displaystyle x_2$	$=$	$\displaystyle \dfrac{12}{6}$
	↓	Kürze.
$\displaystyle x_2$	$=$	$\displaystyle 2$

Die Lösungsmenge der Gleichung lautet: $\mathbb{L}=\{-1;2\}$

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$x^2-153=8x$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratische Gleichungen

Bringe die quadratische Gleichung zunächst in die Normalform.

$\displaystyle x^2-153$	$=$	$\displaystyle 8x$	$\displaystyle -8x$
	↓	Normalform herstellen.
$\displaystyle x^2-8x-153$	$=$	$\displaystyle 0$

Die Lösung der quadratischen Gleichung $x^2-8x-153=0$ erfolgt hier mit der pq-Formel.

Lies die Werte für $p$ und $q$ ab und setze sie in die pq-Formel ein:

$p=-8$ und $q=-153$

$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle -\dfrac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q}$
	↓	Setze $p=-8$ und $q=-153$ ein.
	$=$	$\displaystyle -\dfrac{(-8)}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{-8}{2}\right)^2-(-153)}$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$\displaystyle 4\pm\sqrt{16+153}$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$\displaystyle 4\pm\sqrt{169}$
	↓	Ziehe die Wurzel.
	$=$	$\displaystyle 4\pm13$
$\displaystyle x_1$	$=$	$\displaystyle 4-13$
$\displaystyle x_1$	$=$	$\displaystyle -9$
$\displaystyle x_2$	$=$	$\displaystyle 4+13$
$\displaystyle x_2$	$=$	$\displaystyle 17$

Die Lösungsmenge der Gleichung lautet: $\mathbb{L}=\{-9;17\}$

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$45+30x=-5x^2$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratische Gleichungen

Bringe die quadratische Gleichung zunächst in die Normalform.

$\displaystyle 45+30x$	$=$	$\displaystyle -5x^2$	$\displaystyle +5x^2$
	↓	Normalform herstellen.
$\displaystyle 5x^2+30x+45$	$=$	$\displaystyle 0$

Die Lösung der quadratischen Gleichung $5x^2+30x+45=0$ erfolgt hier mit der Mitternachtsformel.

Lies die Werte für $a$ , $b$ und $c$ ab und setze sie in die Mitternachtsformel ein:

$a=5$ , $b=30$ und $c=45$

$\displaystyle x_{1 , 2}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}$
	↓	Setze $a=5$ , $b=30$ und $c=45$ ein.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{-30 \pm \sqrt{30^{2}-4 \cdot 5\cdot 45}}{2\cdot 5}$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{-30 \pm \sqrt{900-900}}{10}$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{-30 \pm \sqrt{0}}{10}$
	↓	Ziehe die Wurzel.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{-30 \pm 0}{10}$
	↓	Kürze.
	$=$	$\displaystyle -3$

Die Lösungsmenge der Gleichung lautet: $\mathbb{L}=\{-3\}$

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$\frac{1}{4}x^2+\frac{1}{4}x-\frac{1}{2}=0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratische Gleichungen

Die Lösung der quadratischen Gleichung $\frac{1}{4}x^2+\frac{1}{4}x-\frac{1}{2}=0$ erfolgt hier mit der Mitternachtsformel.

Lies die Werte für $a$ , $b$ und $c$ ab und setze sie in die Mitternachtsformel ein:

$a=\frac{1}{4}$ , $b=\frac{1}{4}$ und $c=-\frac{1}{2}$

$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}$
	↓	Setze $a=\frac{1}{4}$ , $b=\frac{1}{4}$ und $c=-\frac{1}{2}$ ein.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{-\frac{1}{4} \pm \sqrt{(\frac{1}{4})^{2}-4\cdot \frac{1}{4}\cdot (-\frac{1}{2})}}{2\cdot \frac{1}{4}}$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{-\frac{1}{4} \pm \sqrt{\frac{1}{16}+\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}$
	↓	Addiere die Brüche unter der Wurzel.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{-\frac{1}{4} \pm \sqrt{\frac{9}{16}}}{\frac{1}{2}}$
	↓	Ziehe die Wurzel.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{-\frac{1}{4} \pm \frac{3}{4}}{\frac{1}{2}}$
$\displaystyle x_1$	$=$	$\displaystyle \dfrac{-\frac{1}{4} - \frac{3}{4}}{\frac{1}{2}}$
	↓	Vereinfache.
$\displaystyle x_1$	$=$	$\displaystyle \dfrac{-1}{\frac{1}{2}}$
$\displaystyle x_1$	$=$	$\displaystyle -2$
$\displaystyle x_2$	$=$	$\displaystyle \dfrac{-\frac{1}{4} + \frac{3}{4}}{\frac{1}{2}}$
	↓	Vereinfache.
$\displaystyle x_2$	$=$	$\displaystyle \dfrac{ \frac{1}{2}}{\frac{1}{2}}$
	↓	Kürze.
$\displaystyle x_2$	$=$	$\displaystyle 1$

Die Lösungsmenge der Gleichung lautet: $\mathbb{L}=\{-2;1\}$

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$8x^2+4x=4$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratische Gleichungen

Bringe die quadratische Gleichung zunächst in die Normalform.

$\displaystyle 8x^2+4x$	$=$	$\displaystyle 4$	$\displaystyle -4$
	↓	Stelle Normalform her.
$\displaystyle 8x^2+4x-4$	$=$	$\displaystyle 0$

Die Lösung der quadratischen Gleichung $8x^2+4x-4=0$ erfolgt hier mit der Mitternachtsformel.

Lies die Werte für $a$ , $b$ und $c$ ab und setze sie in die Mitternachtsformel ein:

$a=8$ , $b=4$ und $c=-4$

$\displaystyle x_{1 , 2}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}$
	↓	Setze $a=8$ , $b=4$ und $c=-4$ ein.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{-4 \pm \sqrt{4^{2}-4\cdot 8\cdot (-4)}}{2\cdot 8}$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{-4 \pm \sqrt{16+128}}{16}$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{-4 \pm \sqrt{144}}{16}$
	↓	Ziehe die Wurzel.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{-4 \pm 12}{16}$
$\displaystyle x_1$	$=$	$\displaystyle \dfrac{-4 -12}{16}$
	↓	Fasse zusammen.
$\displaystyle x_1$	$=$	$\displaystyle -\dfrac{16}{16}$
	↓	Kürze.
$\displaystyle x_1$	$=$	$\displaystyle -1$
$\displaystyle x_2$	$=$	$\displaystyle \dfrac{-4 +12}{16}$
	↓	Fasse zusammen.
$\displaystyle x_2$	$=$	$\displaystyle \dfrac{8}{16}$
	↓	Kürze.
$\displaystyle x_2$	$=$	$\displaystyle \dfrac{1}{2}$

Die Lösungsmenge der Gleichung lautet: $\mathbb{L}=\{-1;\frac{1}{2}\}$

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$2x^2+8{,}8x+8{,}4=0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratische Gleichungen

Die Lösung der quadratischen Gleichung $2x^2+8{,}8x+8{,}4=0$ erfolgt hier mit der Mitternachtsformel.

Lies die Werte für $a$ , $b$ und $c$ ab und setze sie in die Mitternachtsformel ein:

$a=2$ , $b=8{,}8$ und $c=8{,}4$

$\displaystyle x_{1 , 2}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}$
	↓	Setze $a=2$ , $b=8{,}8$ und $c=8{,}4$ ein.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{-8{,}8 \pm \sqrt{8{,}8^{2}-4\cdot 2\cdot8{,}4}}{2 \cdot 2}$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{-8{,}8 \pm \sqrt{77{,}44-67{,}2}}{4}$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{-8{,}8 \pm \sqrt{10{,}24}}{4}$
	↓	Ziehe die Wurzel.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{-8{,}8 \pm3{,}2}{4}$
$\displaystyle x_1$	$=$	$\displaystyle \dfrac{-8{,}8 -3{,}2}{4}$
	↓	Vereinfache.
$\displaystyle x_1$	$=$	$\displaystyle -\dfrac{12}{4}$
	↓	Kürze.
$\displaystyle x_1$	$=$	$\displaystyle -3$
$\displaystyle x_2$	$=$	$\displaystyle \dfrac{-8{,}8 +3{,}2}{4}$
	↓	Vereinfache.
$\displaystyle x_2$	$=$	$\displaystyle -\dfrac{5{,}6}{4}$
$\displaystyle x_2$	$=$	$\displaystyle -1{,}4$

Die Lösungsmenge der Gleichung lautet: $\mathbb{L}=\{-3;-1{,}4\}$

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$13x^2+18{,}2x+3{,}12=0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratische Gleichungen

Die Lösung der quadratischen Gleichung $13x^2+18{,}2x+3{,}12=0$ erfolgt hier mit der Mitternachtsformel.

Lies die Werte für $a$ , $b$ und $c$ ab und setze sie in die Mitternachtsformel ein:

$a=13$ , $b=18{,}2$ und $c=3{,}12$

$\displaystyle x_{1 , 2}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}$
	↓	Setze $a=13$ , $b=18{,}2$ und $c=3{,}12$ ein.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{-18{,}2 \pm \sqrt{18{,}2^{2}-4\cdot 13\cdot3{,}12}}{2 \cdot 13}$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{-18{,}2 \pm \sqrt{331{,}24-162{,}24}}{26}$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{-18{,}2 \pm \sqrt{169}}{26}$
	↓	Ziehe die Wurzel.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{-18{,}2 \pm 13}{26}$
$\displaystyle x_1$	$=$	$\displaystyle \dfrac{-18{,}2 - 13}{26}$
	↓	Vereinfache.
$\displaystyle x_1$	$=$	$\displaystyle -\dfrac{31{,}2}{26}$
$\displaystyle x_1$	$=$	$\displaystyle -1{,}2$
$\displaystyle x_2$	$=$	$\displaystyle \dfrac{-18{,}2 + 13}{26}$
	↓	Vereinfache.
$\displaystyle x_2$	$=$	$\displaystyle -\dfrac{5{,}2}{26}$
$\displaystyle x_2$	$=$	$\displaystyle -0{,}2$

Die Lösungsmenge der Gleichung lautet: $\mathbb{L}=\{-1{,}2;-0{,}2\}$

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