Aufgaben zu quadratischen Gleichungen

Löse die folgenden quadratischen Gleichungen.

Gib die Lösung in der Form " $x_{1}, x_{2}$ " in das Eingabefeld ein. Zum Beispiel: " $3; - 5,5$ ". Bei einer Lösung reicht zum Beispiel " $- 5,5$ ".

$x^{2} - 9 x + 20 = 0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratische Gleichungen
Die Lösung erfolgt hier mit der pq-Formel.
$x^{2} - 9 x + 20 = 0$
Lies die Werte für $p$ und $q$ ab und setze sie in die pq-Formel ein:
$p = - 9$ und $q = 20$
$x_{1,2}$ $=$ $- \frac{p}{2} \pm \sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
↓
Setze $p = - 9$ und $q = 20$ ein.
$=$ $- \frac{(- 9)}{2} \pm \sqrt{{(\frac{- 9}{2})}^{2} - 20}$
↓
Vereinfache.
$=$ $4,5 \pm \sqrt{20,25 - 20}$
$=$ $4,5 \pm \sqrt{0,25}$
$=$ $4,5 \pm 0,5$
$x_{1}$ $=$ $4,5 - 0,5$
$x_{1}$ $=$ $4$
$x_{2}$ $=$ $4,5 + 0,5$
$x_{2}$ $=$ $5$
Die Lösungsmenge der Gleichung lautet: $𝕃 = {4; 5}$
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$x^{2} + 11 x = - 18$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratische Gleichungen
Bringe die Gleichung zunächst in die Normalform:
$x^{2} + 11 x$ $=$ $- 18$ $+ 18$
↓
Bringe in die Normalform.
$x^{2} + 11 x + 18$ $=$ $0$
Die Lösung der quadratischen Gleichung $x^{2} + 11 x + 18 = 0$ erfolgt hier mit der pq-Formel.
Lies die Werte für $p$ und $q$ ab und setze sie in die pq-Formel ein:
$p = 11$ und $q = 18$
$x_{1,2}$ $=$ $- \frac{p}{2} \pm \sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
↓
Setze $p = 11$ und $q = 18$ ein.
$=$ $- \frac{11}{2} \pm \sqrt{{(\frac{11}{2})}^{2} - 18}$
↓
Vereinfache.
$=$ $- 5,5 \pm \sqrt{30,25 - 18}$
$=$ $- 5,5 \pm \sqrt{12,25}$
↓
Ziehe die Wurzel.
$=$ $- 5,5 \pm 3,5$
$x_{1}$ $=$ $- 5,5 - 3,5$
$x_{1}$ $=$ $- 9$
$x_{2}$ $=$ $- 5,5 + 3,5$
$x_{2}$ $=$ $- 2$
Die Lösungsmenge der Gleichung lautet: $𝕃 = {- 9; - 2}$
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$3 x^{2} - 3 x - 6 = 0$

$x^{2} - 153 = 8 x$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratische Gleichungen
Bringe die quadratische Gleichung zunächst in die Normalform.
$x^{2} - 153$ $=$ $8 x$ $- 8 x$
↓
Normalform herstellen.
$x^{2} - 8 x - 153$ $=$ $0$
Die Lösung der quadratischen Gleichung $x^{2} - 8 x - 153 = 0$ erfolgt hier mit der pq-Formel.
Lies die Werte für $p$ und $q$ ab und setze sie in die pq-Formel ein:
$p = - 8$ und $q = - 153$
$x_{1,2}$ $=$ $- \frac{p}{2} \pm \sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
↓
Setze $p = - 8$ und $q = - 153$ ein.
$=$ $- \frac{(- 8)}{2} \pm \sqrt{{(\frac{- 8}{2})}^{2} - (- 153)}$
↓
Vereinfache.
$=$ $4 \pm \sqrt{16 + 153}$
↓
Fasse zusammen.
$=$ $4 \pm \sqrt{169}$
↓
Ziehe die Wurzel.
$=$ $4 \pm 13$
$x_{1}$ $=$ $4 - 13$
$x_{1}$ $=$ $- 9$
$x_{2}$ $=$ $4 + 13$
$x_{2}$ $=$ $17$
Die Lösungsmenge der Gleichung lautet: $𝕃 = {- 9; 17}$
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$45 + 30 x = - 5 x^{2}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratische Gleichungen
Bringe die quadratische Gleichung zunächst in die Normalform.
$45 + 30 x$ $=$ $- 5 x^{2}$ $+ 5 x^{2}$
↓
Normalform herstellen.
$5 x^{2} + 30 x + 45$ $=$ $0$
Die Lösung der quadratischen Gleichung $5 x^{2} + 30 x + 45 = 0$ erfolgt hier mit der Mitternachtsformel.
Lies die Werte für $a$ , $b$ und $c$ ab und setze sie in die Mitternachtsformel ein:
$a = 5$ , $ b = 30$ und $c = 45$
$x_{1, 2}$ $=$ $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$
↓
Setze $a = 5$ , $b = 30$ und $c = 45$ ein.
$=$ $\frac{- 30 \pm \sqrt{30^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 45}}{2 \cdot 5}$
↓
Fasse zusammen.
$=$ $\frac{- 30 \pm \sqrt{900 - 900}}{10}$
↓
Vereinfache.
$=$ $\frac{- 30 \pm \sqrt{0}}{10}$
↓
Ziehe die Wurzel.
$=$ $\frac{- 30 \pm 0}{10}$
↓
Kürze.
$=$ $- 3$
Die Lösungsmenge der Gleichung lautet: $𝕃 = {- 3}$
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$\frac{1}{4} x^{2} + \frac{1}{4} x - \frac{1}{2} = 0$

$8 x^{2} + 4 x = 4$

$2 x^{2} + 8,8 x + 8,4 = 0$

$13 x^{2} + 18,2 x + 3,12 = 0$

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$x_{1,2}$	$=$	$- \frac{p}{2} \pm \sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
	↓	Setze $p = - 9$ und $q = 20$ ein.
	$=$	$- \frac{(- 9)}{2} \pm \sqrt{{(\frac{- 9}{2})}^{2} - 20}$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$4,5 \pm \sqrt{20,25 - 20}$
	$=$	$4,5 \pm \sqrt{0,25}$
	$=$	$4,5 \pm 0,5$
$x_{1}$	$=$	$4,5 - 0,5$
$x_{1}$	$=$	$4$
$x_{2}$	$=$	$4,5 + 0,5$
$x_{2}$	$=$	$5$

$x^{2} + 11 x$	$=$	$- 18$	$+ 18$
	↓	Bringe in die Normalform.
$x^{2} + 11 x + 18$	$=$	$0$

$x_{1,2}$	$=$	$- \frac{p}{2} \pm \sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
	↓	Setze $p = 11$ und $q = 18$ ein.
	$=$	$- \frac{11}{2} \pm \sqrt{{(\frac{11}{2})}^{2} - 18}$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$- 5,5 \pm \sqrt{30,25 - 18}$
	$=$	$- 5,5 \pm \sqrt{12,25}$
	↓	Ziehe die Wurzel.
	$=$	$- 5,5 \pm 3,5$
$x_{1}$	$=$	$- 5,5 - 3,5$
$x_{1}$	$=$	$- 9$
$x_{2}$	$=$	$- 5,5 + 3,5$
$x_{2}$	$=$	$- 2$

$x_{1, 2}$	$=$	$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$
	↓	Setze $a = 3$ , $b = - 3$ und $c = - 6$ ein.
	$=$	$\frac{- (- 3) \pm \sqrt{(- 3)^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 3}$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$\frac{3 \pm \sqrt{9 + 72}}{6}$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$\frac{3 \pm \sqrt{81}}{6}$
	↓	Ziehe die Wurzel.
	$=$	$\frac{3 \pm 9}{6}$
$x_{1}$	$=$	$\frac{3 - 9}{6}$
$x_{1}$	$=$	$- \frac{6}{6}$
	↓	Kürze.
$x_{1}$	$=$	$- 1$
$x_{2}$	$=$	$\frac{3 + 9}{6}$
$x_{2}$	$=$	$\frac{12}{6}$
	↓	Kürze.
$x_{2}$	$=$	$2$

$x^{2} - 153$	$=$	$8 x$	$- 8 x$
	↓	Normalform herstellen.
$x^{2} - 8 x - 153$	$=$	$0$

$x_{1,2}$	$=$	$- \frac{p}{2} \pm \sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
	↓	Setze $p = - 8$ und $q = - 153$ ein.
	$=$	$- \frac{(- 8)}{2} \pm \sqrt{{(\frac{- 8}{2})}^{2} - (- 153)}$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$4 \pm \sqrt{16 + 153}$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$4 \pm \sqrt{169}$
	↓	Ziehe die Wurzel.
	$=$	$4 \pm 13$
$x_{1}$	$=$	$4 - 13$
$x_{1}$	$=$	$- 9$
$x_{2}$	$=$	$4 + 13$
$x_{2}$	$=$	$17$

$45 + 30 x$	$=$	$- 5 x^{2}$	$+ 5 x^{2}$
	↓	Normalform herstellen.
$5 x^{2} + 30 x + 45$	$=$	$0$

$x_{1, 2}$	$=$	$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$
	↓	Setze $a = 5$ , $b = 30$ und $c = 45$ ein.
	$=$	$\frac{- 30 \pm \sqrt{30^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 45}}{2 \cdot 5}$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$\frac{- 30 \pm \sqrt{900 - 900}}{10}$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$\frac{- 30 \pm \sqrt{0}}{10}$
	↓	Ziehe die Wurzel.
	$=$	$\frac{- 30 \pm 0}{10}$
	↓	Kürze.
	$=$	$- 3$

$x_{1,2}$	$=$	$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$
	↓	Setze $a = \frac{1}{4} $ , $b = \frac{1}{4}$ und $c = - \frac{1}{2}$ ein.
	$=$	$\frac{- \frac{1}{4} \pm \sqrt{(\frac{1}{4})^{2} - 4 \cdot \frac{1}{4} \cdot (- \frac{1}{2})}}{2 \cdot \frac{1}{4}}$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$\frac{- \frac{1}{4} \pm \sqrt{\frac{1}{16} + \frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}$
	↓	Addiere die Brüche unter der Wurzel.
	$=$	$\frac{- \frac{1}{4} \pm \sqrt{\frac{9}{16}}}{\frac{1}{2}}$
	↓	Ziehe die Wurzel.
	$=$	$\frac{- \frac{1}{4} \pm \frac{3}{4}}{\frac{1}{2}}$
$x_{1}$	$=$	$\frac{- \frac{1}{4} - \frac{3}{4}}{\frac{1}{2}}$
	↓	Vereinfache.
$x_{1}$	$=$	$\frac{- 1}{\frac{1}{2}}$
$x_{1}$	$=$	$- 2$
$x_{2}$	$=$	$\frac{- \frac{1}{4} + \frac{3}{4}}{\frac{1}{2}}$
	↓	Vereinfache.
$x_{2}$	$=$	$\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}}$
	↓	Kürze.
$x_{2}$	$=$	$1$

$8 x^{2} + 4 x$	$=$	$4$	$- 4$
	↓	Stelle Normalform her.
$8 x^{2} + 4 x - 4$	$=$	$0$

$x_{1, 2}$	$=$	$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$
	↓	Setze $a = 8$ , $b = 4$ und $c = - 4$ ein.
	$=$	$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 8 \cdot (- 4)}}{2 \cdot 8}$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 128}}{16}$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$\frac{- 4 \pm \sqrt{144}}{16}$
	↓	Ziehe die Wurzel.
	$=$	$\frac{- 4 \pm 12}{16}$
$x_{1}$	$=$	$\frac{- 4 - 12}{16}$
	↓	Fasse zusammen.
$x_{1}$	$=$	$- \frac{16}{16}$
	↓	Kürze.
$x_{1}$	$=$	$- 1$
$x_{2}$	$=$	$\frac{- 4 + 12}{16}$
	↓	Fasse zusammen.
$x_{2}$	$=$	$\frac{8}{16}$
	↓	Kürze.
$x_{2}$	$=$	$\frac{1}{2}$

$x_{1, 2}$	$=$	$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$
	↓	Setze $a = 2$ , $b = 8,8$ und $c = 8,4$ ein.
	$=$	$\frac{- 8,8 \pm \sqrt{{8,8}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 8,4}}{2 \cdot 2}$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$\frac{- 8,8 \pm \sqrt{77,44 - 67,2}}{4}$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$\frac{- 8,8 \pm \sqrt{10,24}}{4}$
	↓	Ziehe die Wurzel.
	$=$	$\frac{- 8,8 \pm 3,2}{4}$
$x_{1}$	$=$	$\frac{- 8,8 - 3,2}{4}$
	↓	Vereinfache.
$x_{1}$	$=$	$- \frac{12}{4}$
	↓	Kürze.
$x_{1}$	$=$	$- 3$
$x_{2}$	$=$	$\frac{- 8,8 + 3,2}{4}$
	↓	Vereinfache.
$x_{2}$	$=$	$- \frac{5,6}{4}$
$x_{2}$	$=$	$- 1,4$

$x_{1, 2}$	$=$	$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$
	↓	Setze $a = 13$ , $b = 18,2$ und $c = 3,12$ ein.
	$=$	$\frac{- 18,2 \pm \sqrt{{18,2}^{2} - 4 \cdot 13 \cdot 3,12}}{2 \cdot 13}$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$\frac{- 18,2 \pm \sqrt{331,24 - 162,24}}{26}$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$\frac{- 18,2 \pm \sqrt{169}}{26}$
	↓	Ziehe die Wurzel.
	$=$	$\frac{- 18,2 \pm 13}{26}$
$x_{1}$	$=$	$\frac{- 18,2 - 13}{26}$
	↓	Vereinfache.
$x_{1}$	$=$	$- \frac{31,2}{26}$
$x_{1}$	$=$	$- 1,2$
$x_{2}$	$=$	$\frac{- 18,2 + 13}{26}$
	↓	Vereinfache.
$x_{2}$	$=$	$- \frac{5,2}{26}$
$x_{2}$	$=$	$- 0,2$

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