Aufgaben zu quadratischen Gleichungen

Entscheide, ob folgende Gleichungen quadratische Gleichungen sind. Begründe deine Antwort.

$3 x^{2} + 2 x + 1 = 0$
- quadratische Gleichung
- keine quadratische Gleichung
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: quadratische Gleichung
Die Gleichung $3 x^{2} + 2 x + 1 = 0$ ist quadratisch!
Erklärung:
Sie hat die Form $a x^{2} + b x + c = 0$ (mit $a \in ℝ ∖ {0}$ und $b, c \in ℝ$ ):
$\underset{a}{\underset{⏟}{3}} x^{2} + \underset{b}{\underset{⏟}{2}} x + \underset{c}{\underset{⏟}{1}} = 0$
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$\frac{1}{2} x^{2} + 1 = 0$
- quadratische Gleichung
- keine quadratische Gleichung
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: quadratische Gleichung
Die Gleichung $\frac{1}{2} x^{2} + 1 = 0$ ist quadratisch!
Erklärung:
Sie hat die Form $a x^{2} + b x + c = 0$ (mit $a \in ℝ ∖ {0}$ und $b, c \in ℝ$ ):
$\begin{array}{l} \frac{1}{2} x^{2} + 1 = 0 \end{array}$ $\Leftrightarrow \underset{a}{\underset{⏟}{\frac{1}{2}}} x^{2} + \underset{b}{\underset{⏟}{0}} \cdot x + \underset{c}{\underset{⏟}{1}} = 0$
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$5 x - 1 = 2 x^{3}$
- quadratische Gleichung
- keine quadratische Gleichung
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: quadratische Gleichung
Die Gleichung ist nicht quadratisch!
Erklärung:
Die Gleichung enthält einen Term dritten Graden ( $2 x^{3}$ ), welches sich nicht durch Äquivalenzumformungen entfernen lässt (z.B. durch kürzen oder subtrahieren)
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$x^{2} = 25 x$
- quadratische Gleichung
- keine quadratische Gleichung
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: quadratische Gleichung
Die Gleichung ist quadratisch!
Erklärung:
Durch Umformungen kannst du sie in die Form $a x^{2} + b x + c = 0$ (mit $a \in ℝ ∖ {0}$ und $b, c \in ℝ$ ) bringen:
$x^{2}$ $=$ $25 x$ $- 25 x$
$x^{2} - 25 x$ $=$ $0$
$1 \cdot x^{2} + (- 25) \cdot x + 0$ $=$ $0$
$\underset{a}{\underset{⏟}{1}} \cdot x^{2} + \underset{b}{\underset{⏟}{(- 25)}} \cdot x + \underset{c}{\underset{⏟}{0}} = 0$
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$\frac{1}{3} x + 2 = 0$
- quadratische Gleichung
- keine quadratische Gleichung
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: quadratische Gleichung
Die Gleichung ist nicht quadratisch!
Erklärung:
Für eine quadratische Gleichung benötigt es einen quadratischen Term (etwas mit $x^{2}$ ), welcher hier nicht vorkommt.
(In der allgemeinen Form einer quadratischen Gleichung $a x^{2} + b x + c = 0$ dürfen $b$ und $c$ Null sein, aber nicht $a$ .)
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$(x + 1) (x - 2) = 0$
- quadratische Gleichung
- keine quadratische Gleichung
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: quadratische Gleichung
Die Gleichung ist quadratisch!
Erklärung:
Durch Umformungen kannst du sie in die Form $a x^{2} + b x + c = 0$ (mit $a \in ℝ ∖ {0}$ und $b, c \in ℝ$ ) bringen:
$(x + 1) (x - 2)$ $=$ $0$
↓
Multipliziere die Klammern aus.
$x^{2} - 2 x + x - 2$ $=$ $0$
↓
Fasse zusammen.
$x^{2} - x - 2$ $=$ $0$
$1 \cdot x^{2} + (- 1) \cdot x + (- 2)$ $=$ $0$
$\underset{a}{\underset{⏟}{1}} \cdot x^{2} + \underset{b}{\underset{⏟}{(- 1)}} \cdot x + \underset{c}{\underset{⏟}{(- 2)}} = 0$
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$5 {(x + 1)}^{2} = x$
- quadratische Gleichung
- keine quadratische Gleichung
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: quadratische Gleichung
Die Gleichung ist quadratisch!
Erklärung:
Durch Umformungen kannst du sie in die Form $a x^{2} + b x + c = 0$ (mit $a \in ℝ ∖ {0}$ und $b, c \in ℝ$ ) bringen:
$5 {(x + 1)}^{2}$ $=$ $x$
↓
Löse die binomische Formel.
$5 \cdot (x^{2} + 2 x + 1)$ $=$ $x$
↓
Multipliziere aus,
$5 x^{2} + 10 x + 5$ $=$ $x$ $- x$
$5 x^{2} + 9 x + 5$ $=$ $0$
$\underset{a}{\underset{⏟}{5}} \cdot x^{2} + \underset{b}{\underset{⏟}{9}} \cdot x + \underset{c}{\underset{⏟}{5}} = 0$
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$x^{2} \cdot (- x + 3) = - 5$
- quadratische Gleichung
- keine quadratische Gleichung
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: quadratische Gleichung
Die Gleichung ist nicht quadratisch!
Erklärung:
Die Gleichung enthält ausmultipliziert einen Term dritten Graden, welches sich nicht durch Äquivalenzumformungen entfernen lässt (z.B. durch kürzen oder subtrahieren)
$x^{2} \cdot (- x + 3)$ $=$ $- 5$
↓
Multipliziere aus.
$- x^{3} + 3 x^{2}$ $=$ $- 5$ $+ 5$
$- x^{3} + 3 x^{2} + 5$ $=$ $0$
Der Term $- x^{3}$ bleibt.
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$d x - g x^{2} = h$ (mit $d, g, h \in ℝ$ , $g \neq 0$ )
- quadratische Gleichung
- keine quadratische Gleichung
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: quadratische Gleichung
Die Gleichung ist quadratisch!
Erklärung:
Durch Umformungen kannst du sie in die Form $a x^{2} + b x + c = 0$ (mit $a \in ℝ ∖ {0}$ und $b, c \in ℝ$ ) bringen:
$d x - g x^{2}$ $=$ $h$ $- h$
$- g x^{2} + d x - h$ $=$ $0$
$(- g) x^{2} + d \cdot x + (- h)$ $=$ $0$
$\underset{a}{\underset{⏟}{(- g)}} \cdot x^{2} + \underset{b}{\underset{⏟}{d}} \cdot x + \underset{c}{\underset{⏟}{(- h)}} = 0$
(Da $g \neq 0$ enthält die Gleichung immer einen quadratischen Term.)
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CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$x^{2}$	$=$	$25 x$	$- 25 x$
$x^{2} - 25 x$	$=$	$0$
$1 \cdot x^{2} + (- 25) \cdot x + 0$	$=$	$0$

$(x + 1) (x - 2)$	$=$	$0$
	↓	Multipliziere die Klammern aus.
$x^{2} - 2 x + x - 2$	$=$	$0$
	↓	Fasse zusammen.
$x^{2} - x - 2$	$=$	$0$
$1 \cdot x^{2} + (- 1) \cdot x + (- 2)$	$=$	$0$

$5 {(x + 1)}^{2}$	$=$	$x$
	↓	Löse die binomische Formel.
$5 \cdot (x^{2} + 2 x + 1)$	$=$	$x$
	↓	Multipliziere aus,
$5 x^{2} + 10 x + 5$	$=$	$x$	$- x$
$5 x^{2} + 9 x + 5$	$=$	$0$

$x^{2} \cdot (- x + 3)$	$=$	$- 5$
	↓	Multipliziere aus.
$- x^{3} + 3 x^{2}$	$=$	$- 5$	$+ 5$
$- x^{3} + 3 x^{2} + 5$	$=$	$0$

$d x - g x^{2}$	$=$	$h$	$- h$
$- g x^{2} + d x - h$	$=$	$0$
$(- g) x^{2} + d \cdot x + (- h)$	$=$	$0$

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