Aufgaben zu quadratischen Gleichungen

Bestimme die Lösungen der Gleichung und gib die Lösungsmenge an.

Gib die Lösung in der Form " $x_{1}, x_{2}$ " in das Eingabefeld ein. Zum Beispiel: " $3 / 5; - 5,5$ ".

$x^{2} = 20 \cdot x$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: quadratische Gleichungen
$x^{2}$ $=$ $20 \cdot x$ $- 20 \cdot x$
↓
Alle Summanden auf eine Seite bringen.

$x^{2} - 20 \cdot x$ $=$ $0$
↓
Klammere $x$ aus.
$x \cdot (x - 20)$ $=$ $0$
↓
Ein Produkt ist null, wenn einer der Faktoren gleich null ist.
1. Faktor: $x = 0$
2. Faktor: $x - 20 = 0 \Rightarrow x = 20$
Die Gleichung hat die Lösungsmenge: $𝕃 = {0; 20}$
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Bringe alle Summanden auf eine Seite und klammere $x$ aus.
$2 x \cdot (x - 2,5) = 0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: quadratische Gleichungen
1. Faktor: $2 x = 0 \Rightarrow x = 0$
2. Faktor: $x - 2,5 = 0 \Rightarrow x = 2,5$
Die Gleichung hat die Lösungsmenge: $𝕃 = {0; 2,5}$
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Wende den Satz vom Nullprodukt an.
$2 x^{2} + 5 x = 5 x^{2} - 2 x$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: quadratische Gleichungen
$2 x^{2} + 5 x$ $=$ $5 x^{2} - 2 x$ $- 2 x^{2}$
↓
Alle Summanden auf eine Seite bringen.

$5 x$ $=$ $3 x^{2} - 2 x$ $- 5 x$
$0$ $=$ $3 x^{2} - 7 x$
↓
Klammere $x$ aus.
$0$ $=$ $x \cdot (3 x - 7)$
↓
Ein Produkt ist null, wenn einer der Faktoren gleich null ist.
1. Faktor: $x = 0$
2. Faktor: $3 x - 7 = 0 \Rightarrow x = \frac{7}{3}$
Die Gleichung hat die Lösungsmenge: $𝕃 = {0; \frac{7}{3}}$
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Bringe alle Summanden auf eine Seite und klammere $x$ aus.
$\frac{1}{2} x^{2} = 8 x$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: quadratische Gleichungen
$\frac{1}{2} x^{2}$ $=$ $8 \cdot x$ $- 8 \cdot x$
↓
Alle Summanden auf eine Seite bringen.

$\frac{1}{2} x^{2} - 8 x$ $=$ $0$
↓
Klammere $x$ aus.
$x \cdot (\frac{1}{2} x - 8)$ $=$ $0$
↓
Ein Produkt ist null, wenn einer der Faktoren gleich null ist.
1. Faktor: $x = 0$
2. Faktor: $\frac{1}{2} x - 8 = 0 \Rightarrow x = 16$
Die Gleichung hat die Lösungsmenge: $𝕃 = {0; 16}$
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Bringe alle Summanden auf eine Seite und klammere $x$ aus.

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CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$x^{2}$	$=$	$20 \cdot x$	$- 20 \cdot x$
	↓	Alle Summanden auf eine Seite bringen.
$x^{2} - 20 \cdot x$	$=$	$0$
	↓	Klammere $x$ aus.
$x \cdot (x - 20)$	$=$	$0$
	↓	Ein Produkt ist null, wenn einer der Faktoren gleich null ist.

$2 x^{2} + 5 x$	$=$	$5 x^{2} - 2 x$	$- 2 x^{2}$
	↓	Alle Summanden auf eine Seite bringen.
$5 x$	$=$	$3 x^{2} - 2 x$	$- 5 x$
$0$	$=$	$3 x^{2} - 7 x$
	↓	Klammere $x$ aus.
$0$	$=$	$x \cdot (3 x - 7)$
	↓	Ein Produkt ist null, wenn einer der Faktoren gleich null ist.

$\frac{1}{2} x^{2}$	$=$	$8 \cdot x$	$- 8 \cdot x$
	↓	Alle Summanden auf eine Seite bringen.
$\frac{1}{2} x^{2} - 8 x$	$=$	$0$
	↓	Klammere $x$ aus.
$x \cdot (\frac{1}{2} x - 8)$	$=$	$0$
	↓	Ein Produkt ist null, wenn einer der Faktoren gleich null ist.

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