Die Lösung der Gleichung kannst du mit der Mitternachtsformel oder pq-Formel berechnen:

Lösung mit der Mitternachtsformel

$x^2-5x+6=0$

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{ccccc}I &x_1+x_2&=&-p&\\II&x_1\cdot x_2&=&q\end{array}$

Setze $x_1=3, x_2=2, p=-5$ und $q=6$ in die Formeln ein und prüfe, ob die Gleichungen $I$ und $II$ stimmen:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{ccccc}I &3+2&=&-(-5)&\checkmark\\II&3\cdot 2&=&6&\checkmark\end{array}$

Die berechneten Ergebnisse sind richtig.

Die Lösung der Gleichung kannst du mit der Mitternachtsformel oder pq-Formel berechnen:

Lösung mit der Mitternachtsformel

Die Lösungen sind also $x_1=9$ und $x_2=-3$.

Lösung mit der pq-Formel

$x^2-6x-27=0$

$p=−6$ und $q=-27$

Die 2 Koeffizienten in die pq-Formel einsetzen:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}x_{1{,}2}&​=&−\frac p 2 \pm \sqrt{\left( \frac p 2 \right) ^2−q}\\&​=&−\frac {-6} 2 \pm \sqrt{\left( \frac {-6} 2 \right) ^2−(-27)}\\&​=&\frac 6 2 \pm \sqrt{\frac {36} {4}​+27}\\&​=&3 \pm \sqrt{9+27}\\&​=&3 \pm \sqrt{36}\\&=&3\pm6\end{array}$

$\Rightarrow x_1=3+6=9$

$\Rightarrow x_2=3-6=-3$

Überprüfung der Lösung mit dem Satz von Vieta

Für eine Gleichung der Form $x^2+px+q=0$ erfüllen die Lösungen $x_1$ und $x_2$ nach dem Satz von Vieta folgende Bedingungen:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}\begin{array}{ccccc}I &x_1+x_2&=&-p&\\II&x_1\cdot x_2&=&q\end{array}\end{array}$

Setze $x_1=9,x_2=-3,p=-6$ und $q=-27$ in die Formeln ein und prüfe, ob die Gleichungen $I$ und $II$ stimmen:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{ccccc}I &9+(-3)&=&-(-6)&\checkmark\\II&9\cdot (-3)&=&-27&\checkmark\end{array}$

Die berechneten Ergebnisse sind richtig.

Die Lösung der Gleichung kannst du mit der Mitternachtsformel oder pq-Formel berechnen:

Lösung mit Mitternachtsformel

$p=9$ und $q=-36$

Die 2 Koeffizienten in die pq-Formel einsetzen:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}x_{1{,}2}&​=&−\frac p 2 \pm \sqrt{(\frac p 2​)^2−q}\\&​=&−\frac 9 2 \pm \sqrt{ \left( \frac 9 2 \right) ^2−(-36)}\\&​=&−\frac 9 2 \pm \sqrt{\frac {81} {4}​+36}\\&=&-\frac 92\pm \sqrt{\frac{81}{4}+\frac{144}{4}}\\&=&-\frac 92\pm \sqrt{\frac{225}{4}}\\&=&-\frac 92\pm \sqrt{\left( \frac{15}{2}\right )^2}\\&=&-\frac 92\pm \frac{15}{2}\end{array}$

$\Rightarrow x_1=-\frac 92+\frac{15}{2}=\frac 62 =3$

$\Rightarrow x_2=-\frac 92-\frac{15}{2}=-\frac{24}{2}=-12$

Überprüfung der Lösung mit dem Satz von Vieta

Für eine Gleichung der Form $x^2+px+q=0$ erfüllen die Lösungen $x_1$ und $x_2$ nach dem Satz von Vieta folgende Bedingungen:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{ccccc}I &x_1+x_2&=&-p&\\II&x_1\cdot x_2&=&q\end{array}$

Geg: $\frac13x^2+3x-12=0$

Da $a=\frac13\neq1$ ist muss man zuerst $a$ ausklammern, um den Satz von Vieta anwenden zu können.

$\frac{1}{3}\left(x^2+9x-36\right)=0$

Hierauf kannst du den Satz von Vieta nun anwenden.

Setze $x_1=3,x_2=-12,p=9$ und $q=-36$ in die Formeln ein und prüfe, ob die Gleichungen $I$ und $II$ stimmen:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{ccccc}I &3+(-12)&=&-9=5&\checkmark\\II&3\cdot (-12)&=&-36&\checkmark\end{array}$

Die berechneten Ergebnisse sind richtig.