Aufgaben zu quadratischen Gleichungen

Löse die folgenden Gleichungen und überprüfe dein Ergebnis mit dem Satz von Vieta.

Gib die Lösung in der Form " $x_{1}; x_{2}$ " an. Zum Beispiel: " $5; - 4$ "

$x^{2} - 5 x + 6 = 0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: quadratische Gleichungen
Die Lösung der Gleichung kannst du mit der Mitternachtsformel oder pq-Formel berechnen:
Lösung mit der Mitternachtsformel
$x^{2} - 5 x + 6 = 0$
$a = 1$ , $b = - 5$ und $c = 6$
Die drei Koeffizienten der Gleichung in die Mitternachtsformel einsetzen.
$x_{1,2} = \frac{- (- 5) \pm \sqrt{(- 5)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$
$= \frac{5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2} = \frac{5 \pm 1}{2}$
$\begin{array}{l} \Rightarrow x_{1} = 3 \\ \Rightarrow x_{2} = 2 \end{array}$
Lösung mit der pq-Formel
$x^{2} - 5 x + 6 = 0$
$p = - 5$ und $q = 6$
Die 2 Koeffizienten in die pq-Formel einsetzen:
$\begin{array}{rcl} x_{1,2} & = & - \frac{p}{2} \pm \sqrt{{(\frac{p}{2} )}^{2} - q} \\ = & - \frac{(- 5)}{2} \pm \sqrt{{(\frac{- 5}{2})}^{2} - 6} \\ = & \frac{5}{2} \pm \sqrt{\frac{25}{4} - 6} \\ = & \frac{5}{2} \pm \sqrt{\frac{25}{4} - \frac{24}{4}} \\ = & \frac{5}{2} \pm \sqrt{\frac{1}{4}} \\ = & \frac{5}{2} \pm \frac{1}{2} \end{array}$
$\Rightarrow x_{1} = \frac{5}{2} + \frac{1}{2} = \frac{6}{2} = 3$
$\Rightarrow x_{2} = \frac{5}{2} - \frac{1}{2} = \frac{4}{2} = 2$
Überprüfung der Lösung mit dem Satz von Vieta
Für eine Gleichung der Form $x^{2} + p x + q = 0$ erfüllen die Lösungen $x_{1}$ und $x_{2}$ nach dem Satz von Vieta folgende Bedingungen:
$\begin{array}{ccccc} I & x_{1} + x_{2} & = & - p \\ I I & x_{1} \cdot x_{2} & = & q \end{array}$
Setze $x_{1} = 3, x_{2} = 2, p = - 5$ und $q = 6$ in die Formeln ein und prüfe, ob die Gleichungen $I$ und $I I$ stimmen:
$\begin{array}{ccccc} I & 3 + 2 & = & - (- 5) & ✓ \\ I I & 3 \cdot 2 & = & 6 & ✓ \end{array}$
Die berechneten Ergebnisse sind richtig.
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$x^{2} - 6 x - 27 = 0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: quadratische Gleichungen
Die Lösung der Gleichung kannst du mit der Mitternachtsformel oder pq-Formel berechnen:
Lösung mit der Mitternachtsformel
$x^{2} - 6 x - 27 = 0$
$a = 1, b = - 6, c = - 27$
Die drei Kooeffizienten der Gleichung in die Mitternachtsformel einsetzen.
$x_{1,2} = \frac{- (- 6) \pm \sqrt{(- 6)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 27)}}{2 \cdot 1}$
$= \frac{6 \pm \sqrt{36 + 108}}{2} = \frac{6 \pm 12}{2}$
$\Rightarrow$ $x_{1} = \frac{18}{2}$ und $x_{2} = \frac{- 6}{2}$
Die Lösungen sind also $x_{1} = 9$ und $x_{2} = - 3$ .
Lösung mit der pq-Formel
$x^{2} - 6 x - 27 = 0$
$p = - 6$ und $q = - 27$
Die 2 Koeffizienten in die pq-Formel einsetzen:
$\begin{array}{rcl} x_{1,2} & = & - \frac{p}{2} \pm \sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q} \\ = & - \frac{- 6}{2} \pm \sqrt{{(\frac{- 6}{2})}^{2} - (- 27)} \\ = & \frac{6}{2} \pm \sqrt{\frac{36}{4} + 27} \\ = & 3 \pm \sqrt{9 + 27} \\ = & 3 \pm \sqrt{36} \\ = & 3 \pm 6 \end{array}$
$\Rightarrow x_{1} = 3 + 6 = 9$
$\Rightarrow x_{2} = 3 - 6 = - 3$
Überprüfung der Lösung mit dem Satz von Vieta
Für eine Gleichung der Form $x^{2} + p x + q = 0$ erfüllen die Lösungen $x_{1}$ und $x_{2}$ nach dem Satz von Vieta folgende Bedingungen:
$\begin{array}{l} \begin{array}{ccccc} I & x_{1} + x_{2} & = & - p \\ I I & x_{1} \cdot x_{2} & = & q \end{array} \end{array}$
Setze $x_{1} = 9, x_{2} = - 3, p = - 6$ und $q = - 27$ in die Formeln ein und prüfe, ob die Gleichungen $I$ und $I I$ stimmen:
$\begin{array}{ccccc} I & 9 + (- 3) & = & - (- 6) & ✓ \\ I I & 9 \cdot (- 3) & = & - 27 & ✓ \end{array}$
Die berechneten Ergebnisse sind richtig.
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$\frac{1}{3} x^{2} + 3 x - 12 = 0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: quadratische Gleichungen
Die Lösung der Gleichung kannst du mit der Mitternachtsformel oder pq-Formel berechnen:
Lösung mit Mitternachtsformel
$\frac{1}{3} x^{2} + 3 x - 12 = 0$
Die Koeffizienten sind $a = \frac{1}{3}, b = 3, c = - 12$ .
Eingesetzt in die Mitternachtsformel erhältst du:
$x_{1,2}$ $=$ $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot \frac{1}{3} \cdot (- 12)}}{2 \cdot \frac{1}{3}}$
$=$ $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 16}}{\frac{2}{3}}$
$=$ $\frac{- 3 \pm \sqrt{25}}{\frac{2}{3}}$
$=$ $\frac{- 3 \pm 5}{\frac{2}{3}}$
↓
Multipliziere mit dem Kehrbruch.
$=$ $\frac{(- 3 \pm 5) \cdot 3}{2}$
$\Rightarrow x_{1} = 3$ und $x_{2} = - 12$
Lösung mit der pq-Formel
$\frac{1}{3} x^{2} + 3 x - 12 = 0$
Die pq-Formel lässt sich nur auf Gleichungen der Form $x^{2} + p x + q = 0$ anwenden. Klammere also zuerst $\frac{1}{3}$ aus:
$\begin{array}{rcl} \frac{1}{3} (x^{2} + 9 x - 36) & = & 0 & | \cdot 3 \\ x^{2} + 9 x - 36 & = & 0 \end{array}$
$p = 9$ und $q = - 36$
Die 2 Koeffizienten in die pq-Formel einsetzen:
$\begin{array}{rcl} x_{1,2} & = & - \frac{p}{2} \pm \sqrt{(\frac{p}{2} )^{2} - q} \\ = & - \frac{9}{2} \pm \sqrt{{(\frac{9}{2})}^{2} - (- 36)} \\ = & - \frac{9}{2} \pm \sqrt{\frac{81}{4} + 36} \\ = & - \frac{9}{2} \pm \sqrt{\frac{81}{4} + \frac{144}{4}} \\ = & - \frac{9}{2} \pm \sqrt{\frac{225}{4}} \\ = & - \frac{9}{2} \pm \sqrt{{(\frac{15}{2})}^{2}} \\ = & - \frac{9}{2} \pm \frac{15}{2} \end{array}$
$\Rightarrow x_{1} = - \frac{9}{2} + \frac{15}{2} = \frac{6}{2} = 3$
$\Rightarrow x_{2} = - \frac{9}{2} - \frac{15}{2} = - \frac{24}{2} = - 12$
Überprüfung der Lösung mit dem Satz von Vieta
Für eine Gleichung der Form $x^{2} + p x + q = 0$ erfüllen die Lösungen $x_{1}$ und $x_{2}$ nach dem Satz von Vieta folgende Bedingungen:
$\begin{array}{ccccc} I & x_{1} + x_{2} & = & - p \\ I I & x_{1} \cdot x_{2} & = & q \end{array}$
Geg: $\frac{1}{3} x^{2} + 3 x - 12 = 0$
Da $a = \frac{1}{3} \neq 1$ ist muss man zuerst $a$ ausklammern, um den Satz von Vieta anwenden zu können.
$\frac{1}{3} (x^{2} + 9 x - 36) = 0$
Hierauf kannst du den Satz von Vieta nun anwenden.
Setze $x_{1} = 3, x_{2} = - 12, p = 9$ und $q = - 36$ in die Formeln ein und prüfe, ob die Gleichungen $I$ und $I I$ stimmen:
$\begin{array}{ccccc} I & 3 + (- 12) & = & - 9 = 5 & ✓ \\ I I & 3 \cdot (- 12) & = & - 36 & ✓ \end{array}$
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$x_{1,2}$	$=$	$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot \frac{1}{3} \cdot (- 12)}}{2 \cdot \frac{1}{3}}$
	$=$	$\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 16}}{\frac{2}{3}}$
	$=$	$\frac{- 3 \pm \sqrt{25}}{\frac{2}{3}}$
	$=$	$\frac{- 3 \pm 5}{\frac{2}{3}}$
	↓	Multipliziere mit dem Kehrbruch.
	$=$	$\frac{(- 3 \pm 5) \cdot 3}{2}$

Lösung mit der Mitternachtsformel

Lösung mit der pq-Formel

Überprüfung der Lösung mit dem Satz von Vieta

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Lösung mit der Mitternachtsformel

Lösung mit der pq-Formel

Überprüfung der Lösung mit dem Satz von Vieta

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Lösung mit Mitternachtsformel

Lösung mit der pq-Formel

Überprüfung der Lösung mit dem Satz von Vieta

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