Aufgaben zu quadratischen Gleichungen

Beim Lösen quadratischer Gleichungen erhält man z. B. Ausdrücke der folgenden Art. Vereinfache diese:

$x_{1/2}=\frac{-14\pm\sqrt{14^2-4\cdot8}}2$

$x_{1/2}=\frac{-5\pm\sqrt{5^2+4\cdot\sqrt{7}\cdot2\sqrt{7}}}{2\sqrt{7}}$

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$\displaystyle x_{1/2}$	$=$	$\displaystyle \frac{-14\pm\sqrt{14^2-4\cdot8}}{2}$
	↓	Fasse alles unter der Wurzel zusammen.
$\displaystyle x_{1/2}$	$=$	$\displaystyle \frac{-14\pm\sqrt{164}}{2}$
	↓	Ziehe $2$ aus der Wurzel .
$\displaystyle x_{1/2}$	$=$	$\displaystyle \frac{-14\pm\sqrt{4\cdot41}}{2}=\frac{-14\pm2\sqrt{41}}{2}$
	↓	Kürze den Bruch mit $2$ .
$\displaystyle x_{1/2}$	$=$	$\displaystyle -7\pm\sqrt{41}$

$\displaystyle x_{1/2}$	$=$	$\displaystyle \frac{-5\pm\sqrt{5^2+4\cdot\sqrt{7}\cdot2\sqrt{7}}}{2\sqrt{7}}$
	↓	Fasse alles unter der Wurzel zusammen.
$\displaystyle x_{1/2}$	$=$	$\displaystyle \frac{-5\pm\sqrt{81}}{2\sqrt{7}}=\frac{-5\pm9}{2\sqrt{7}}$
	↓	Berechne den Bruch einmal mit $+$ und einmal mit $-$ .
$\displaystyle x_1$	$=$	$\displaystyle \frac{-5+9}{2\sqrt{7}}=\frac{4}{2\sqrt{7}}$
	↓	Kürze den Bruch mit $2$ .
$\displaystyle x_1$	$=$	$\displaystyle \frac{2}{\sqrt{7}}$
	↓	Erweitere den Bruch mit $\sqrt7$ .
$\displaystyle x_1$	$=$	$\displaystyle \frac{2\cdot\sqrt{7}}{\sqrt{7}\cdot\sqrt{7}}=\frac{2\sqrt{7}}{7}$
$\displaystyle x_2$	$=$	$\displaystyle \frac{-5-9}{2\sqrt{7}}=\frac{-14}{2\sqrt{7}}$
	↓	Erweitere den Bruch mit $\sqrt7$ .
$\displaystyle x_2$	$=$	$\displaystyle \frac{-14\sqrt{7}}{2\sqrt{7}\sqrt{7}}=\frac{-14\sqrt{7}}{2\cdot7}=\frac{-14\sqrt{7}}{14}$
	↓	Kürze den Bruch mit 14.
$\displaystyle x_2$	$=$	$\displaystyle -\sqrt{7}$