Aufgaben zu quadratischen Gleichungen

Löse die folgenden quadratischen Gleichungen mit quadratischer Ergänzung.

Die Lösungen kannst du durch ein Semikolon getrennt in das Lösungsfeld eingeben.

Sie die Lösungen z.B. $x_1=2$ und $x_2=-3$ , so kannst du entweder " $2;-3$ " oder " $-3;2$ " (ohne die Anführungszeichen) eingeben.

$x^2+6x-16=0$

$x^2+10x+9=0$

$0{,}5x^2-1{,}5x-14=0$

$-\frac12x^2+7x+7{,}5=0$

$2x^2+2x-\frac89=0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratische Ergänzung

$\displaystyle 2x^2+2x-\frac{9}{8}$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Klammere den Faktor $2$ vor den x-Termen aus.
$\displaystyle 2\left(x^2+x\right)-\frac{8}{9}$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Ergänze quadratisch mit $\left(\frac12\right)^2$ .
$\displaystyle 2\left(x^2+2\cdot\frac{1}{2}x+\left(\frac{1}{2}\right)^2-\left(\frac{1}{2}\right)^2\right)-\frac{8}{9}$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Fasse zu 1. binomischen Formel zusammen.
$\displaystyle 2\left(\left(x+\frac{1}{2}\right)^2-\frac{1}{4}\right)-\frac{8}{9}$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Multipliziere die Klammern aus.
$\displaystyle 2\left(x+\frac{1}{2}\right)^2-\frac{1}{2}-\frac{16}{18}$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Erweitere die Brüche auf den gemeinsamen Nenner.
$\displaystyle 2\left(x+\frac{1}{2}\right)^2-\frac{9}{18}-\frac{16}{18}$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Fasse zusammen.
$\displaystyle 2\left(x+\frac{1}{2}\right)^2-\frac{25}{18}$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +\frac{25}{18}$
$\displaystyle 2\left(x+\frac{1}{2}\right)^2$	$=$	$\displaystyle \frac{25}{18}$	$\displaystyle \cdot\frac{1}{2}$
$\displaystyle \left(x+\frac{1}{2}\right)^2$	$=$	$\displaystyle \frac{25}{36}$	$\displaystyle \sqrt{ }$
$\displaystyle x+\frac{1}{2}$	$=$	$\displaystyle \pm\frac{5}{6}$
	↓	Forme weiter um.
$\displaystyle x_1$	$=$	$\displaystyle \frac{5}{6}-\frac{1}{2}$
	$=$	$\displaystyle \frac{5}{6}-\frac{3}{6}$
	$=$	$\displaystyle \frac{2}{6}=\frac{1}{3}$
$\displaystyle x_2$	$=$	$\displaystyle -\frac{5}{6}-\frac{1}{2}$
	$=$	$\displaystyle -\frac{5}{6}-\frac{3}{6}$
	$=$	$\displaystyle -\frac{8}{6}=-\frac{4}{3}$
	↓	Lösungsmenge angeben.
$\displaystyle L$	$=$	$\displaystyle \{-\frac{4}{3};\frac{1}{3}\}$

Hast du eine Frage oder Feedback?

Kommentiere hier 👇

$2x^2=x+1$

$\displaystyle x^2+6x-16$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Quadratisch ergänzen mit $3^2$ .
$\displaystyle x^2+6x+3^2-3^2-16$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Zur 1. binomischen Formel zusammenfassen.
$\displaystyle \left(x+3\right)^2-9-16$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Zusammenfassen
$\displaystyle \left(x+3\right)^2-25$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +25$
$\displaystyle \left(x+3\right)^2$	$=$	$\displaystyle 25$	$\displaystyle \sqrt{ }$
$\displaystyle x+3$	$=$	$\displaystyle \pm5$	$\displaystyle -3$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \pm5-3$
$\displaystyle x_1$	$=$	$\displaystyle -8$
$\displaystyle x_2$	$=$	$\displaystyle 2$
	↓	Lösungsmenge angeben.
$\displaystyle L$	$=$	$\displaystyle \{-8;2\}$

$\displaystyle x^2+10x+9$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Ergänze quadratisch mit $5^2$ .
$\displaystyle x^2+2\cdot5x+5^2-5^2+9$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Fasse zusammen.
$\displaystyle \left(x^2+2\cdot5x+5^2\right)-16$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Fasse als 1. binomische Formel zusammen.
$\displaystyle \left(x+5\right)^2-16$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +16$
$\displaystyle \left(x+5\right)^2$	$=$	$\displaystyle 16$	$\displaystyle \sqrt{ }$
$\displaystyle x+5$	$=$	$\displaystyle \pm4$
$\displaystyle x_1$	$=$	$\displaystyle 4-5\ =-1$
$\displaystyle x_2$	$=$	$\displaystyle -4-5=-9$
	↓	Lösungsmenge angeben.
$\displaystyle L$	$=$	$\displaystyle \{-1;-9\}$

$\displaystyle 0{,}5x^2-1{,}5x-14$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	0,5 ausklammern.
$\displaystyle 0{,}5\left(x^2-3x\right)-14$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Quadratisch ergänzen.
$\displaystyle 0{,}5\left(x^2-3x+\left(\frac{3}{2}\right)^2-\left(\frac{3}{2}\right)^2\right)-14$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Zur 2. binomischen Formel zusammenfassen.
$\displaystyle 0{,}5\left(\left(x-\frac{3}{2}\right)^2-\frac{9}{4}\right)-14$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Ausmultiplizieren.
$\displaystyle 0{,}5\left(x-\frac{3}{2}\right)^2-\frac{9}{8}-14$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +14+\frac{9}{8}$
	↓	Gleichung umformen.
$\displaystyle 0{,}5\left(x-\frac{3}{2}\right)^2$	$=$	$\displaystyle 14+\frac{9}{8}$	$\displaystyle \cdot2$
$\displaystyle \left(x-\frac{3}{2}\right)^2$	$=$	$\displaystyle 28+\frac{9}{4}$	$\displaystyle \sqrt{ }$
$\displaystyle x-\frac{3}{2}$	$=$	$\displaystyle \pm\sqrt{\frac{121}{4}}$	$\displaystyle +\frac{3}{2}$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \frac{3}{2}\pm\frac{11}{2}$
	↓	Lösungsmenge angeben.
$\displaystyle L$	$=$	$\displaystyle \{-4;7\}$

$\displaystyle -\frac{1}{2}x^2+7x+7{,}5$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Klammere $-\frac12$ vor den x-Termen aus.
$\displaystyle -\frac{1}{2}\left(x^2-14x\right)+7{,}5$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Ergänze quadratisch mit $7^2$ .
$\displaystyle -\frac{1}{2}\left(x^2-2\cdot7x+7^2-7^2\right)+7{,}5$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Fasse als 2. binomische Formel zusammen.
$\displaystyle -\frac{1}{2}\left(\left(x-7\right)^2-49\right)+7{,}5$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Multipliziere die Klammer aus.
$\displaystyle -\frac{1}{2}\left(\left(x-7\right)^2\right)+24{,}5+7{,}5$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Fasse zusammen.
$\displaystyle -\frac{1}{2}\left(x-7\right)^2+32$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle -32$
$\displaystyle -\frac{1}{2}\left(x-7\right)^2$	$=$	$\displaystyle -32$	$\displaystyle -2$
$\displaystyle \left(x-7\right)^2$	$=$	$\displaystyle 64$
	↓	Ziehe Wurzel auf beiden Seiten.
$\displaystyle x-7$	$=$	$\displaystyle \pm8$
	↓	Forme weiter um.
$\displaystyle x_1$	$=$	$\displaystyle 8+7=15$
$\displaystyle x_2$	$=$	$\displaystyle -8+7=-1$
	↓	Lösungsmenge angeben.
$\displaystyle L$	$=$	$\displaystyle \{-1;15\}$

$\displaystyle 2x^2$	$=$	$\displaystyle x+1$	$\displaystyle -x+1$
	↓	Alle Summanden auf eine Seite bringen.
$\displaystyle 2x^2-x-1$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Den Faktor 2 ausklammern.
$\displaystyle 2\left(x^2-\frac{1}{2}x\right)-1$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Quadratisch ergänzen.
$\displaystyle 2\left(x^2-\frac{1}{2}x+\left(\frac{1}{4}\right)^2-\left(\frac{1}{4}\right)^2\right)-1$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Zur 2. binomischen Formel zusammenfassen.
$\displaystyle 2\left(\left(x-\frac{1}{4}\right)^2-\frac{1}{16}\right)-1$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Die Klammer ausmultiplizieren.
$\displaystyle 2\left(x-\frac{1}{4}\right)^2-\frac{1}{8}-1$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Die Gleichung nach x auflösen.
$\displaystyle 2\left(x-\frac{1}{4}\right)^2-\frac{1}{8}-1$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +1+\frac{1}{8}$
$\displaystyle 2\left(x-\frac{1}{4}\right)^2$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{8}+1$	$\displaystyle :2$
$\displaystyle \left(x-\frac{1}{4}\right)^2$	$=$	$\displaystyle \frac{9}{16}$	$\displaystyle \sqrt{ }$
$\displaystyle x-\frac{1}{4}$	$=$	$\displaystyle \pm\frac{3}{4}$	$\displaystyle +\frac{1}{4}$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{4}\pm\frac{3}{4}$
	↓	Lösungsmenge angeben.
$\displaystyle L$	$=$	$\displaystyle \{-\frac{1}{2};1\}$