Aufgaben zu quadratischen Gleichungen

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Löse die folgenden quadratischen Gleichungen mit quadratischer Ergänzung.

Die Lösungen kannst du durch ein Semikolon getrennt in das Lösungsfeld eingeben.

Sie die Lösungen z.B. $x_{1} = 2$ und $x_{2} = - 3$ , so kannst du entweder " $2; - 3$ " oder " $- 3; 2$ " (ohne die Anführungszeichen) eingeben.

$x^{2} + 6 x - 16 = 0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratische Ergänzung

$x^{2} + 6 x - 16$	$=$	$0$
	↓	Quadratisch ergänzen mit $3^{2}$ .
$x^{2} + 6 x + 3^{2} - 3^{2} - 16$	$=$	$0$
	↓	Zur 1. binomischen Formel zusammenfassen.
${(x + 3)}^{2} - 9 - 16$	$=$	$0$
	↓	Zusammenfassen
${(x + 3)}^{2} - 25$	$=$	$0$	$+ 25$
${(x + 3)}^{2}$	$=$	$25$	$\sqrt{}$
$x + 3$	$=$	$\pm 5$	$- 3$
$x$	$=$	$\pm 5 - 3$
$x_{1}$	$=$	$- 8$
$x_{2}$	$=$	$2$
	↓	Lösungsmenge angeben.
$L$	$=$	${- 8; 2}$

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$x^{2} + 10 x + 9 = 0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratische Ergänzung

$x^{2} + 10 x + 9$	$=$	$0$
	↓	Ergänze quadratisch mit $5^{2}$ .
$x^{2} + 2 \cdot 5 x + 5^{2} - 5^{2} + 9$	$=$	$0$
	↓	Fasse zusammen.
$(x^{2} + 2 \cdot 5 x + 5^{2}) - 16$	$=$	$0$
	↓	Fasse als 1. binomische Formel zusammen.
${(x + 5)}^{2} - 16$	$=$	$0$	$+ 16$
${(x + 5)}^{2}$	$=$	$16$	$\sqrt{}$
$x + 5$	$=$	$\pm 4$
$x_{1}$	$=$	$4 - 5 = - 1$
$x_{2}$	$=$	$- 4 - 5 = - 9$
	↓	Lösungsmenge angeben.
$L$	$=$	${- 1; - 9}$

$0,5 x^{2} - 1,5 x - 14 = 0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratische Ergänzung

$0,5 x^{2} - 1,5 x - 14$	$=$	$0$
	↓	0,5 ausklammern.
$0,5 (x^{2} - 3 x) - 14$	$=$	$0$
	↓	Quadratisch ergänzen.
$0,5 (x^{2} - 3 x + {(\frac{3}{2})}^{2} - {(\frac{3}{2})}^{2}) - 14$	$=$	$0$
	↓	Zur 2. binomischen Formel zusammenfassen.
$0,5 ({(x - \frac{3}{2})}^{2} - \frac{9}{4}) - 14$	$=$	$0$
	↓	Ausmultiplizieren.
$0,5 {(x - \frac{3}{2})}^{2} - \frac{9}{8} - 14$	$=$	$0$	$+ 14 + \frac{9}{8}$
	↓	Gleichung umformen.
$0,5 {(x - \frac{3}{2})}^{2}$	$=$	$14 + \frac{9}{8}$	$\cdot 2$
${(x - \frac{3}{2})}^{2}$	$=$	$28 + \frac{9}{4}$	$\sqrt{}$
$x - \frac{3}{2}$	$=$	$\pm \sqrt{\frac{121}{4}}$	$+ \frac{3}{2}$
$x$	$=$	$\frac{3}{2} \pm \frac{11}{2}$
	↓	Lösungsmenge angeben.
$L$	$=$	${- 4; 7}$

$- \frac{1}{2} x^{2} + 7 x + 7,5 = 0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratische Ergänzung

$- \frac{1}{2} x^{2} + 7 x + 7,5$	$=$	$0$
	↓	Klammere $- \frac{1}{2}$ vor den x-Termen aus.
$- \frac{1}{2} (x^{2} - 14 x) + 7,5$	$=$	$0$
	↓	Ergänze quadratisch mit $7^{2}$ .
$- \frac{1}{2} (x^{2} - 2 \cdot 7 x + 7^{2} - 7^{2}) + 7,5$	$=$	$0$
	↓	Fasse als 2. binomische Formel zusammen.
$- \frac{1}{2} ({(x - 7)}^{2} - 49) + 7,5$	$=$	$0$
	↓	Multipliziere die Klammer aus.
$- \frac{1}{2} ({(x - 7)}^{2}) + 24,5 + 7,5$	$=$	$0$
	↓	Fasse zusammen.
$- \frac{1}{2} {(x - 7)}^{2} + 32$	$=$	$0$	$- 32$
$- \frac{1}{2} {(x - 7)}^{2}$	$=$	$- 32$	$- 2$
${(x - 7)}^{2}$	$=$	$64$
	↓	Ziehe Wurzel auf beiden Seiten.
$x - 7$	$=$	$\pm 8$
	↓	Forme weiter um.
$x_{1}$	$=$	$8 + 7 = 15$
$x_{2}$	$=$	$- 8 + 7 = - 1$
	↓	Lösungsmenge angeben.
$L$	$=$	${- 1; 15}$

$2 x^{2} + 2 x - \frac{8}{9} = 0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratische Ergänzung

$2 x^{2} + 2 x - \frac{9}{8}$	$=$	$0$
	↓	Klammere den Faktor $2$ vor den x-Termen aus.
$2 (x^{2} + x) - \frac{8}{9}$	$=$	$0$
	↓	Ergänze quadratisch mit ${(\frac{1}{2})}^{2}$ .
$2 (x^{2} + 2 \cdot \frac{1}{2} x + {(\frac{1}{2})}^{2} - {(\frac{1}{2})}^{2}) - \frac{8}{9}$	$=$	$0$
	↓	Fasse zu 1. binomischen Formel zusammen.
$2 ({(x + \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4}) - \frac{8}{9}$	$=$	$0$
	↓	Multipliziere die Klammern aus.
$2 {(x + \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{2} - \frac{16}{18}$	$=$	$0$
	↓	Erweitere die Brüche auf den gemeinsamen Nenner.
$2 {(x + \frac{1}{2})}^{2} - \frac{9}{18} - \frac{16}{18}$	$=$	$0$
	↓	Fasse zusammen.
$2 {(x + \frac{1}{2})}^{2} - \frac{25}{18}$	$=$	$0$	$+ \frac{25}{18}$
$2 {(x + \frac{1}{2})}^{2}$	$=$	$\frac{25}{18}$	$\cdot \frac{1}{2}$
${(x + \frac{1}{2})}^{2}$	$=$	$\frac{25}{36}$	$\sqrt{}$
$x + \frac{1}{2}$	$=$	$\pm \frac{5}{6}$
	↓	Forme weiter um.
$x_{1}$	$=$	$\frac{5}{6} - \frac{1}{2}$
	$=$	$\frac{5}{6} - \frac{3}{6}$
	$=$	$\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$
$x_{2}$	$=$	$- \frac{5}{6} - \frac{1}{2}$
	$=$	$- \frac{5}{6} - \frac{3}{6}$
	$=$	$- \frac{8}{6} = - \frac{4}{3}$
	↓	Lösungsmenge angeben.
$L$	$=$	${- \frac{4}{3}; \frac{1}{3}}$

$2 x^{2} = x + 1$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratische Ergänzung

$2 x^{2}$	$=$	$x + 1$	$- x + 1$
	↓	Alle Summanden auf eine Seite bringen.
$2 x^{2} - x - 1$	$=$	$0$
	↓	Den Faktor 2 ausklammern.
$2 (x^{2} - \frac{1}{2} x) - 1$	$=$	$0$
	↓	Quadratisch ergänzen.
$2 (x^{2} - \frac{1}{2} x + {(\frac{1}{4})}^{2} - {(\frac{1}{4})}^{2}) - 1$	$=$	$0$
	↓	Zur 2. binomischen Formel zusammenfassen.
$2 ({(x - \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{16}) - 1$	$=$	$0$
	↓	Die Klammer ausmultiplizieren.
$2 {(x - \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{8} - 1$	$=$	$0$
	↓	Die Gleichung nach x auflösen.
$2 {(x - \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{8} - 1$	$=$	$0$	$+ 1 + \frac{1}{8}$
$2 {(x - \frac{1}{4})}^{2}$	$=$	$\frac{1}{8} + 1$	$: 2$
${(x - \frac{1}{4})}^{2}$	$=$	$\frac{9}{16}$	$\sqrt{}$
$x - \frac{1}{4}$	$=$	$\pm \frac{3}{4}$	$+ \frac{1}{4}$
$x$	$=$	$\frac{1}{4} \pm \frac{3}{4}$
	↓	Lösungsmenge angeben.
$L$	$=$	${- \frac{1}{2}; 1}$

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