Aufgaben zu quadratischen Gleichungen

Berechne möglichst geschickt die Lösungen der folgenden Gleichungen. Überprüfe deine Ergebnisse grafisch, z. B. mithilfe eines Funktionsplotters.

$2 x^{2} + 16 = 12 x$

$2 = {(3 + x)}^{2}$

$- x^{2} - 2 = 0,25 + 9 x$

$x^{2} + \sqrt{2} x - 1 = 0$

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$2 x^{2} + 16$	$=$	$12 x$	$- 12 x$
$0$	$=$	$2 x^{2} - 12 x + 16$
	↓	Diskriminante berechnen
$D$	$=$	${(- 12)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 16$
	$=$	$144 - 128$
	$=$	$16$
$\Rightarrow 16$	$>$	$0$
	↓	daher 2 Lösungen
$2 x^{2} + 16$	$=$	$2 x$
	↓	In die Mitternachtsformel einsetzen dabei die berechnete Diskriminante einsetzen
$x_{1,2}$	$=$	$\frac{12 \pm \sqrt{16}}{2 \cdot 2}$
	↓	$x_{1}$ berechnen
$x_{1}$	$=$	$\frac{12 + 4}{4}$
	$=$	$\frac{16}{4} = 4$
$x_{2}$	$=$	$\frac{12 - 4}{4}$
	$=$	$\frac{8}{4} = 2$
$𝕃$	$=$	${4; 2}$

$2$	$=$	${(3 + x)}^{2}$	$- 2$
$0$	$=$	${(3 + x)}^{2} - 2$
	↓	Klammer mit Hilfe der 1. Binomischen Formel ausmultiplizieren.
$0$	$=$	$x^{2} + 6 x + 9 - 2$
	↓	Gleiche Elemente zusammenfassen
	$=$	$x^{2} + 6 x + 7$
	↓	Diskriminante berechnen
$D$	$=$	$6^{2} - 4 \cdot^{\cdot 7}$
	$=$	$36 - 28 = 8$
$\Rightarrow 8$	$>$	$0$
	↓	daher 2 Lösungen
$0$	$=$	$x^{2} + 6 x + 7$
	↓	In die Mitternachtsformel einsetzten, dabei die berechnete Diskriminante einsetzen.
$x_{1,2}$	$=$	$\frac{- 6 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$
$x_{1}$	$=$	$\frac{- 6 + 2 \sqrt{2}}{2} = - 3 + \sqrt{2}$
$x_{2}$	$=$	$\frac{- 6 - 2 \sqrt{2}}{2} = - 3 - \sqrt{2}$
$L$	$=$	${- 3 + \sqrt{2}; - 3 - \sqrt{2}}$

$- x^{2} - 2$	$=$	$0,25 + 9 x$
	↓	Stelle die Gleichung so um, dass auf einer Seite 0 ist
$0$	$=$	$x^{2} + 9 x + 2,25$
	↓	Setze in die Mitternachtsformel ein
$x_{1 / 2}$	$=$	$\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot 2,25}}{2}$
	↓	$x_{1} u n d x_{2}$ ausrechnen
$x_{1}$	$\approx$	$- 0,26$
$x_{2}$	$\approx$	$- 8,74$
$𝕃$	$=$	${- 0,26; - 8,74}$

$x^{2} + \sqrt{2} x - 1$	$=$	$0$
	↓	Die Gleichung liegt in der Normalform vor. Nach der pq-Formel gilt: $x^{2} + px + p$ mit $p = \sqrt{2}$ und $q = - 1$
$x_{1,2}$	$=$	$- \frac{p}{q} \pm \sqrt{(\frac{p}{2})^{2} - q}$
	↓	Einsetzen der Werte
	$=$	$- \frac{\sqrt{2}}{2} \pm \sqrt{(\frac{\sqrt{2}}{2})^{2} + 1}$
	↓	Vereinfachen der Wurzel
	$=$	$\begin{array}{l} - \frac{\sqrt{2}}{2} \pm \sqrt{\frac{1}{2} + 1} = - \frac{\sqrt{2}}{2} \pm \sqrt{\frac{3}{2}} \end{array}$
$x_{1}$	$=$	$x_{1} = \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{2}} \lor$
$x_{2}$	$=$	$- \frac{1 + \sqrt{3}}{\sqrt{2}}$

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$x^{2} - x$	$=$	$x - x^{2}$	$- x + x^{2}$
$x^{2} - x - x + x^{2}$	$=$	$0$
	↓	Gleiches zusammenfassen
$2 x^{2} - 2 x$	$=$	$0$
	↓	x ausklammern.
$x (2 x - 2)$	$=$	$0$
$\begin{array}{l} \Rightarrow x_{1} \end{array}$	$=$	$0$
$\begin{array}{l} \Rightarrow x_{2} \end{array}$	$=$	$1$