Aufgaben zu quadratischen Gleichungen

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Berechne möglichst geschickt die Lösungen der folgenden Gleichungen. Überprüfe deine Ergebnisse grafisch, z. B. mithilfe eines Funktionsplotters.

$2x^2+16=12x$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichung

$\displaystyle 2x^2+16$	$=$	$\displaystyle 12x$	$\displaystyle -12x$
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle 2x^2-12x+16$
	↓	Diskriminante berechnen
$\displaystyle D$	$=$	$\displaystyle \left(-12\right)^2-4\cdot2\cdot16$
	$=$	$\displaystyle 144-128$
	$=$	$\displaystyle 16$
$\displaystyle \;\;\Rightarrow\;\;16$	$>$	$\displaystyle 0$
	↓	daher 2 Lösungen
$\displaystyle 2x^2+16$	$=$	$\displaystyle 2x$
	↓	In die Mitternachtsformel einsetzen dabei die berechnete Diskriminante einsetzen
$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \frac{12\pm\sqrt{16}}{2\cdot2}$
	↓	$x_1\$ berechnen
$\displaystyle x_1$	$=$	$\displaystyle \frac{12+4}{4}$
	$=$	$\displaystyle \frac{16}{4}=4$
$\displaystyle x_2$	$=$	$\displaystyle \frac{12-4}{4}$
	$=$	$\displaystyle \frac{8}{4}=2$
$\displaystyle \mathbb{L}$	$=$	$\displaystyle \left\{4;2\right\}$

Hast du eine Frage oder Feedback?

$2=\left(3+x\right)^2$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichung

$\displaystyle 2$	$=$	$\displaystyle \left(3+x\right)^2$	$\displaystyle -2$
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle \left(3+x\right)^2-2$
	↓	Klammer mit Hilfe der 1. Binomischen Formel ausmultiplizieren.
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle x^2+6x+9-2$
	↓	Gleiche Elemente zusammenfassen
	$=$	$\displaystyle x^2+6x+7$
	↓	Diskriminante berechnen
$\displaystyle D$	$=$	$\displaystyle 6^2-4\cdot^{\cdot7}$
	$=$	$\displaystyle 36-28\ =8$
$\displaystyle \;\;\Rightarrow\;\;8$	$>$	$\displaystyle 0$
	↓	daher 2 Lösungen
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle x^2+6x+7$
	↓	In die Mitternachtsformel einsetzten, dabei die berechnete Diskriminante einsetzen.
$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \;\frac{-6\pm\sqrt8}{2\cdot1}$
$\displaystyle x_1$	$=$	$\displaystyle \;\frac{-6+2\sqrt2}2=\;-3+\sqrt2$
$\displaystyle x_2$	$=$	$\displaystyle \;\frac{-6-2\sqrt2}2=\;-3-\sqrt2$
$\displaystyle L$	$=$	$\displaystyle \left\{-3+\sqrt2;\;-3-\sqrt2\right\}$

$-x^2-2=0{,}25+9x$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Mitternachtsformel (Quadratische Lösungsformel)

$\displaystyle -x^2-2$	$=$	$\displaystyle 0{,}25+9x$
	↓	Stelle die Gleichung so um, dass auf einer Seite 0 ist
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle x^2+9x+2{,}25$
	↓	Setze in die Mitternachtsformel ein
$\displaystyle \mathrm{x}_{1/2}$	$=$	$\displaystyle \frac{-9\pm\sqrt{9^2-4\cdot2{,}25}}{2}$
	↓	$x_{1\ }und\ x_2$ ausrechnen
$\displaystyle x_1$	$≈$	$\displaystyle -0{,}26$
$\displaystyle x_2$	$≈$	$\displaystyle -8{,}74$
$\displaystyle \mathbb{L}$	$=$	$\displaystyle \left\{-0{,}26;-8{,}74\right\}$

$2x+x+16=0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Äquivalenzumformungen

$x^2+\sqrt2x-1=0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Mitternachtsformel (Quadratische Lösungsformel)

$\displaystyle x^2+\sqrt{2}x-1$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Die Gleichung liegt in der Normalform vor. Nach der pq-Formel gilt: $x^2+\mathrm{px}+p$ mit $\;\;p=\sqrt2$ und $q=-1$
$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle -\frac{p}{q}\pm\sqrt{(\frac{p}{2})^2-q}$
	↓	Einsetzen der Werte
	$=$	$\displaystyle -\frac{\sqrt2}{2\;}\pm\sqrt{(\frac{\sqrt2}{2\;})^2+1}$
	↓	Vereinfachen der Wurzel
	$=$	$\def\arraystretch{1.25} \displaystyle \begin{array}{l}-\frac{\sqrt2}2\pm\sqrt{\frac12+1}=-\frac{\sqrt2}2\pm\sqrt{\frac32}\end{array}$
$\displaystyle x_1$	$=$	$\displaystyle x_1=\frac{\sqrt3-1}{\sqrt2}\;\;\;\;\;\vee\;\;$
$\displaystyle x_2$	$=$	$\displaystyle \;\;-\frac{1+\sqrt3}{\sqrt2}$

$x^2-x=x-x^2$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratische Gleichung

$\displaystyle x^2-x$	$=$	$\displaystyle x-x^2$	$\displaystyle -x\ +x^2$
$\displaystyle x^2-x-x+x^2$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Gleiches zusammenfassen
$\displaystyle 2x^2-2x$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	x ausklammern.
$\displaystyle x\left(2x-2\right)$	$=$	$\displaystyle 0$
$\def\arraystretch{1.25} \displaystyle \begin{array}{l}\Rightarrow\;x_1\;\end{array}$	$=$	$\displaystyle 0$
$\def\arraystretch{1.25} \displaystyle \begin{array}{l}\Rightarrow\;x_2\end{array}$	$=$	$\displaystyle 1$