Sie unterscheiden sich um mindestens 18, z. B. 3597 ? 3579.

Es gibt 24 verschiedene PIN. Dabei haben zwei verschiedene PIN eine besonders kleine Differenz, wenn die ersten beiden Stellen identisch sind, denn nur dann liegt die Differenz unter 100.

Liegen die beiden hinteren Ziffern näher beieinander, ist die Differenz niedriger. Also können die beiden hinteren Ziffern z.B. 35 und 53 sein oder 57 und 75 oder 79 und 97. In allen drei Fällen beträgt der Unterschied 18.

Allgemeiner Lösungsansatz:

Nehmen wir an, wir wollen 2 Ziffern $a\backslash textcolor\{blue\}\{a\}$ und $b\backslash textcolor\{red\}\{b\}$ vertauschen, die in Positionen $AA$ und $BB$ stehen, z.B.:

$\begin{array}{c}{\displaystyle X=5a3b}\\ {\displaystyle Y=5b3a}\end{array}\backslash def\backslash arraystretch\{1.25\}\; \backslash begin\{aligned\}\; X\; =\; 5\backslash ;\backslash textcolor\{blue\}\{a\}\backslash ;3\backslash ;\backslash textcolor\{red\}\{b\}\backslash \backslash \; Y\; =\; 5\backslash ;\backslash textcolor\{red\}\{b\}\backslash ;3\backslash ;\backslash textcolor\{blue\}\{a\}\; \backslash end\{aligned\}$

mit $A=3,B=1A\; =\; 3,\; B\; =\; 1$. Die Ersetzung $a\to b\backslash textcolor\{blue\}\{a\}\; \backslash to\; \backslash textcolor\{red\}\{b\}$ erhöht die Zahl um

$(b-a)\cdot {10}^{A-1}(\backslash textcolor\{red\}\{b\}\; -\; \backslash textcolor\{blue\}\{a\})\backslash cdot\; 10^\{A-1\}$

Die Ersetzung $b\to a\backslash textcolor\{red\}\{b\}\; \backslash to\; \backslash textcolor\{blue\}\{a\}$ erhöht die Zahl wiederum um

$(a-b)\cdot {10}^{B-1}(\backslash textcolor\{blue\}\{a\}\; -\; \backslash textcolor\{red\}\{b\})\; \backslash cdot\; 10^\{B-1\}$

wobein auch "negative Erhöhungen" (= Verringerungen) möglich sind. Insgesamt erhöht sich die Zahl damit um

$Y-X=(b-a)\cdot ({10}^{A-1}-{10}^{B-1})Y-X\; =(\backslash textcolor\{red\}\{b\}\; -\; \backslash textcolor\{blue\}\{a\})\; \backslash cdot\; (10^\{A-1\}\; -\; 10^\{B-1\})$

Der Betrag dieser Differenz wird möglichst klein, wenn sowohl $b\backslash textcolor\{red\}\{b\}$ und $a\backslash textcolor\{blue\}\{a\}$, als auch ${10}^{A-1}10^\{A-1\}$ und ${10}^{B-1}10^\{B-1\}$ möglichst nahe beieinander liegen. Im Fall der 4-stelligen Pin aus den Ziffern 3,5,7,9 ist die Wahl $A=2,B=1A=2,B=1$ (die letzten beiden Ziffern werden vertauscht) sowie $(b-a)=2(\backslash textcolor\{red\}\{b\}-\backslash textcolor\{blue\}\{a\})\; =\; 2$ optimal, z.B.

$\begin{array}{c}{\displaystyle X=3597}\\ {\displaystyle Y=3579}\end{array}\backslash def\backslash arraystretch\{1.25\}\; \backslash begin\{aligned\}\; X=3597\backslash \backslash \; Y=3579\; \backslash end\{aligned\}$

$\Rightarrow Y-X=(2)\cdot ({10}^{2-1}-{10}^{1-1})=2\cdot 9=18\backslash Rightarrow\; Y\; -\; X\; =\; (2)\backslash cdot(10^\{2-1\}-10^\{1-1\})\; =\; 2\; \backslash cdot\; 9\; =\; 18$

Die minimale Differenz zwischen 2 PINs ist demnach 18.