Sonstige Kombinations- und Kombinatorikaufgaben

Von A nach B hast du 8 mögliche Wege. Von B nach C hast du 3 mögliche Wege. Das bedeutet, für jeden der 8 Wege von A nach B hast du 3 Möglichkeiten nach C zu kommen.

$8\cdot3=24$

Du hast also 24 Möglichkeiten von A nach C zu gelangen.

Du hast 24 mögliche Wege von A nach C über B.

Für jeden der 24 Wege von A nach C hast du 9 Möglichkeiten nach D zu kommen.

$24\cdot9=216$

Du hast also 216 Möglichkeiten von A nach D zu gelangen.

Bei dieser Aufgabe spielt die Reihenfolge der ausgewählten Buchstaben eine Rolle und ein Buchstabe kann nur einmal gewählt werden. Benutze deshalb das Modell "mit Reihenfolge, ohne Zurücklegen" aus der Kombinatorik.

Alternative ohne Urnenmodell: Der erste Buchstabe ist einer der 8, der zweite Buchstabe ist einer der verbleibenden 7. 8 mal 7 ist 56.

Benutze das Modell "mit Reihenfolge, ohne Zurücklegen" aus der Kombinatorik, da die Reihenfolge der Buchstaben beachtet wird, jeder aber nur einmal ausgewählt werden kann. Da nur Konsonanten ausgewählt werden kann ist n in diesem Fall gleich der Anzahl, also 5.

Damit ergibt sich diese Formel:

$\displaystyle \frac{5!}{(5-2)!}=5\cdot4=20$

Alternative ohne Urnenmodell: Der erste Buchstabe ist einer von fünf Konsonanten, der zweite ist einer der verbleibenden vier Konsonanten.

Benutze das Modell "mit Reihenfolge, ohne Zurücklegen" aus der Kombinatorik, da die Reihenfolge der Buchstaben beachtet wird, jeder aber nur einmal ausgewählt werden kann. Da nur Vokale ausgewählt werden kann ist n in diesem Fall gleich der Anzahl, also 3.

Damit ergibt sich diese Formel:

$\displaystyle \frac{3!}{(3-2)!}=3\cdot2=6$

Alternative ohne Urnenmodell: Der erste Buchstabe ist einer der drei Vokale, der zweite Buchstabe einer der verbleibenden zwei Vokale.

Das Ergebnis setzt sich aus zwei Fällen zusammen. Erstens, dass zuerst ein Vokal und dann ein Konsonant gezogen wird, und Zweitens, dass erst ein Konsonant gezogen wird. Die Möglichkeiten genau einen der Buchstaben auszuwählen ist dabei jeweils gleich der Anzahl dieser Buchstaben. Im ersten Fall gibt es damit $5\cdot3$ Möglichkeiten. Damit ergibt sich die Gesamtzahl:

$(3\cdot5)+(5\cdot 3)=15+15=30$

Möglichkeiten Abgeordnete auf den jeweiligen Sitzen zu verteilen, ohne dabei die Reihenfolge zu berücksichtigen:

Bei Sitz 1 hat man die Wahl aus 16 Abgeordneten, bei Sitz 2 15 usw…

Bei Sitz 1 hat man die Wahl aus 10 Abgeordneten, bei Sitz 2 hat man 9 usw….

Es gibt also 25200 Möglichkeiten.

Alternative Berechnung

$1\cdot{15\choose13}\cdot{10\choose6}=1\cdot 105 \cdot 210=22050$

Es gibt 22050 Möglichkeiten die Delegation aufzustellen.

Das ist nicht möglich!

Wenn nämlich drei Parlamentarier der Grünen grundsätzlich abgelehnt werden, dann hätten die Roten nur noch $16-3=13$ Möglichkeiten die 14 Sitze zu besetzen. Die Roten müssten also einlenken oder die Grünen noch einen weiteren Kandidaten aufstellen.

Da nur die Anordnung entscheidend ist, hast du eine Möglichkeit die erste Person zu platzieren. Dann gibt es 6! Möglichkeiten die übrigen Personen auf die restlichen Plätze zu setzen. Außerdem ist jede gespiegelte Anordnung gleich.

Es ergibt sich also folgende Rechnung:

$\displaystyle \underbrace{1}_{\text{Für die erste Person}} \cdot \overbrace{ \frac{6!}{2}}^{\text{Für die restlichen Personen}}=6\cdot5\cdot4\cdot3=360$

Es gibt also 360 verschiedene Möglichkeiten die Personen anzuordnen.

Betrachte zunächst die beiden Personen, die nebeneinander sitzen sollen, als Einheit. Da nur die Anordnung entscheidend ist, hast du eine Möglichkeit diese Einheit zu platzieren. Dann gibt es 5! Möglichkeiten die übrigen Personen auf die restlichen Plätze zu setzen. Außerdem ist jede gespiegelte Anordnung gleich. Innerhalb der Einheit hast du 2 Möglichkeiten bzgl. der Anordnung.

Es ergibt sich folgende Rechnung:

$\displaystyle\underbrace{2}_{\text{Einheit}}\cdot\overbrace{\frac{5!}{2}}^{\text{Für die restlichen Personen}} =2\cdot\frac{120}{2}=120$

Es gibt also 120 verschiedene Möglichkeiten die Personen anzuordnen, sodass 2 bestimmte Personen nebeneinander sitzen.

Betrachte die vier Personen, die nebeneinander sitzen sollen, als Einheit. Da nur die Anordnung entscheidend ist, hast du eine Möglichkeit dieseEinheit zu platzieren.

Dann gibt es 3! Möglichkeiten die übrigen Personen auf die restlichen Plätze zu setzen. Außerdem ist jede gespiegelte Anordnung gleich. Innerhalb der Einheit hast du 4 Möglichkeiten bzgl. der Anordnung.

Es ergibt sich folgende Rechnung:

$\displaystyle \underbrace{4!}_{\text{Einheit}} \cdot \overbrace{\frac{3!}{2}}^{\text{Für die restlichen Personen}}= 24 \cdot \frac{6}{2} =72$

Es gibt also 72 verschiedene Möglichkeiten die Personen anzuordnen, sodass 4 bestimmte Personen nebeneinander sitzen.

Betrachte die Person und die zwei Nachbarn als Einheit. Da nur die Anordnung entscheidend ist, hast du eine Möglichkeit diese Einheit zu platzieren.

Dann gibt es 4! Möglichkeiten die übrigen Personen auf die restlichen Plätze zu setzen. Außerdem ist jede gespiegelte Anordnung gleich. Innerhalb der Einheit hast du 2 Möglichkeiten der Anordnung.

Es ergibt sich folgende Rechnung:

$\displaystyle \underbrace{2}_{\text{Einheit}} \cdot \overbrace{\frac{4!}{2}}^{\text{Für die restlichen Personen}}= 24$

Es gibt also 24 verschieden Möglichkeiten die Personen anzuordnen, sodass eine bestimmte Person zwei bestimmte Nachbarn hat.

Es gibt $5!=5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1=120$ Summanden.

Jeder Summand hat $5$ Stellen, die jeweils mit unterschiedlichem Wert in die Summe eingehen:

• Die erste Stelle (von vorne) ist die Zehntausenderstelle: Sie geht mit dem Wert $10\,000$ in die Summe ein.

• Die zweite Stelle ist die Tausenderstelle: Sie geht mit dem Wert $1000$ in die Summe ein.

• Die dritte Stelle ist die Hunderterstelle: Sie geht mit dem Wert $100$ in die Summe ein.

• Die vierte Stelle ist die Zehnerstelle: Sie geht mit dem Wert $10$ in die Summe ein.

• Die fünfte Stelle ist die Einerstelle: Sie geht mit dem Wert $1$ in die Summe ein.

Setzt du eine beliebige Zahl an die Einerstelle, können die restlichen $4$ Zahlen noch auf die vorigen Stellen verteilt werden, also gibt es insgesamt $4\cdot3\cdot2\cdot1=24$ Zahlen mit dieser Zahl an der Einerstelle.

Die Summe der Einerstellen aller Summanden beträgt somit $24\cdot\left(1+3+5+7+9\right)=24\cdot25=600$.

An jeder anderen Stelle ergibt sich analog $600$. Damit ergibt sich die Gesamtsumme aller Summanden als:

$600\cdot1+600\cdot10+600\cdot100+600\cdot1000+600\cdot10000=$

$=600\cdot11111=$

$=6666600$

Lisa zieht erst garantiert (also zu $100\ \%$, siehe Wahrscheinlichkeit) ein grünes Gummibärchen, wenn keine andersfarbigen Bärchen mehr in der Tüte sind. Summiere also die Anzahl der andersfarbigen Bärchen.

$27+18+25=70$

Nach $70$ Ziehungen sind also nur noch grüne Bärchen in der Tüte, das bedeutet beim $71$. Hineingreifen zieht Lisa garantiert ein grünes Bärchen.

Im ungünstigsten Fall bleiben nur noch alle Bärchen einer Farbe übrig. Lisa zieht also eine bestimmte Farbe erst garantiert, wenn alle andersfarbigen Bärchen bereits gezogen wurden. Die Tabelle gibt an, wie viele Ziehungen nötig sind, bis eine Farbe übrig bleibt.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l| c }\text{Farbe} & \text{notwendige Ziehungen}\\\hline \text{gelb} & 18+33+25=76 \\\hline \text{weiß} & 27+33+25=85 \\\hline \text{grün} & 27+18+25=70 \\\hline \text{rot} & 27+18+33=78 \end{array}$

Also zieht Lisa erst nach $85$ Ziehungen garantiert ein weißes Bärchen, sie muss somit mindestens $86$ mal ziehen, um garantiert ein Bärchen jeder Farbe zu bekommen.

(Die Tabelle ist unnötig, wenn man sich klarmacht, dass im ungünstigsten Fall die Farben gezogen werden, die am meisten vorkommen, also eben gelb, grün und rot.)

Im ungünstigsten Fall zieht Lisa jede Farbe zunächst genau zweimal. Dann hat sie nach $8$ Ziehungen genau $2$ Bären von jeder Farbe. Bei der neunten Ziehung muss sie dann das dritte Bärchen einer Farbe ziehen.

Für jede Ziffer, die Anja aufschreibt, hat sie $2$ Möglichkeiten ($1$ oder $2$). Da sie eine dreistellige Zahl aufschreibt, gibt es insgesamt $2^3=2\cdot 2 \cdot2 = 8$ Möglichkeiten. Die sind:

$222, 221, 212, 122, 111, 112, 121, 211$

Iris muss also mindestens diese $8$ Zahlen aufschreiben, um mit Sicherheit eine Zahl aufgeschrieben zu haben, die mit Anjas übereinstimmt.

Wähle hier dreimal eine Zahl, mit Zurücklegen und mit Beachtung der Reihenfolge.

Iris muss zwei Zahlen aufschreiben: $222$, $111$. Jede der acht Möglichkeiten enthält mindestens einen, Zweier oder mindestens einen Einser.

Auch $212$ und $121$ sind möglich. Die beiden Zahlen müssen sich nur an jeder Stelle unterscheiden.

Auch hier genügen die Zahlen $222$ und $111$, da jede der acht Möglichkeiten mindestens zwei Zweier oder mindestens zwei Einser enthält.

Auch $212$ und $121$ sind möglich. Die beiden Zahlen müssen sich nur an jeder Stelle unterscheiden.

Insgesamt gibt es vier Mannschaften. Jede Mannschaft soll gegen jede andere Mannschaft spielen, d.h. jede Mannschaft macht $3$ Spiele. Da es vier Mannschaften gibt, ergeben sich $4\cdot 3=12$ Spiele. Da jedoch in jedem Spiel $2$ Mannschaften aufeinander treffen, wurden bei dieser Rechnung die Spiele doppelt gezählt, d.h. insgesamt gibt es $\frac{12}{2}=6$ Spiele.

Um die Gesamtpunktevergabe angeben zu können, muss betrachtet werden, wie viele der Spiele unentschieden ausgehen. Beachte, dass bei einem Sieg $3$ Punkte (für die Siegermannschaft) und bei einem Unentschieden $2$ Punkte (je einen für jede Mannschaft) vergeben werden.

Schreibe die Angabe in eine Tabelle:

Mache folgende Überlegung: Vilsbiburg hat $7$ Punkte, d.h. 2-mal gewonnen und 1-mal unentschieden gespielt. Seyboldsdorf hat $5$ Punkte, d.h. 1-mal gewonnen und 2-mal unentschieden gespielt.

Da also weder Vilsbiburg, noch Seyboldsdorf verloren haben, müssen sie gegeneinander unentschieden gespielt haben!

Damit folgt, dass Vilsbiburg die anderen Spiele gegen Frontenhausen und Geisenhausen gewonnen hat.

Da Frontenhausen nun bereits gegen Vilsbiburg verloren hat, muss es seine $3$ Punkte durch einen Sieg erreicht haben (und nicht durch $3$ Unentschieden).

Da Seyboldsdorf und Vilsbiburg kein Spiel verloren haben, muss Frontenhausen gegen Geisenhausen gewonnen haben.

Damit hat Seyboldsdof gegen Frontenhausen gewonnen.

Es verbleibt noch ein Unentscheiden zwischen Geisenhausen und Seyboldsdorf (da Geisenhausen $1$ Punkt hat).

Das Ergebnis ist noch einmal in der folgenden Tabelle verdeutlicht:

Gegeben ist die Anzahl der Vorspeisen (2) und Hauptspeisen (3).

Für alle Möglichkeiten der zweigängigen Speisefolgen multipliziere die Anzahl der Vorspeisen mit der Anzahl der Hauptspeisen.

$2\cdot3=62⋅3=6$

⇒ Es gibt $6$ verschiedene Möglichkeiten für ein zweigängiges Menü.

Für die Möglichkeiten eines dreigängiges Menü multipliziere die Anzahl der Vorspeisen (2) und Hauptspeisen (3) mit der Nachspeisen (2).

$2\cdot 3\cdot 2=12$

$\Rightarrow\;$ Es gibt $12$ verschiedene dreigängige Menüzusammensetzungen.

Wenn zusätzlich noch Getränke angeboten werden, gibt es $60$ verschiedene Möglichkeiten für dreigängige Menüs.

Für die Anzahl der angebotenen Getränke dividiere die Möglichkeiten für das dreigängige Menü mit Getränk durch die Anzahl der Möglichkeiten für ein dreigängiges Menü ohne Getränk.

$\frac{60}{2\cdot 3\cdot 2}=\frac{60}{12}=5$

⇒ Es gibt $5$ Getränke auf der Speisekarte.

Für die Zehnerstelle ist die $0$ nicht von Bedeutung, d.h. du hast hier $9$ Möglichkeiten. An der Einerstelle hast du nun eine Zahl weniger, jedoch kann hier die $0$ wieder stehen, also wieder $9$ Möglichkeiten $(10-1-1+1)$.

$9\cdot 9=81$

Es gibt also $81$ verschiedene Zweistellige Ziffern, die jede Zahl nur einmal verwenden.

Nachdem du bereits zwei Steine verwendet hast ($81$ Möglichkeiten), hast du noch $8$ Steine für die Hunderterstelle, $7$ für die Tausenderstelle usw.$\def\arraystretch{1.25}$$\def\arraystretch{1.25}$

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{c|c}\text{Anzahl Zahlen} & \text{Anzahl Ziffern}\\\hline9\cdot9\cdot8&\text{dreistellig}\\\hline9^2\cdot8\cdot7&\text{vierstellig}\\\hline9^2\cdot8\cdot7\cdot6&\text{fünfstellig}\\\hline\vdots&\vdots\\\hline 9^2\cdot8! & \text{zehnstellig}\end{array}$

Durch eine Abwandlung des Pascalschen Dreiecks erhalten wir nebenstehende Abbildung. Kreise entsprechen Kreuzungen, die Zahl in den Kreisen entsprechen der Anzahl der Möglichkeiten zu den jeweiligen Kreuzungen zu gelangen.

Es gibt nur jeweils eine Möglichkeit zu den ersten beiden Kreuzungen zu gelangen. Die Anzahl der Möglichkeiten zu den nächsten zu gelangen ergibt sich aus der Summe der Möglichkeiten zu den jeweils vorherigen Kreuzungen zu gelangen.

So gelangt man Schrittweise von einer Kreuzung zur nächsten.

Benutze wieder die vorherige Abbildung und verfahre genauso wie oben, nur ohne die genannte Straße zu beachten.

Möglichst wenige:

Möglichst viele:

Geg.: $4$ Mädchen

$4$ Positionen

jeweils $3$ Hüte

jeweils $2$ Sonnenbrillen

Jedes Mädchen hat die Auswahl zwischen $3$ Hüten und $2$ Sonnenbrillen. Bestimme die Möglichkeiten der Auswahl von Hüten und Sonnenbrillen für jedes Mädchen und nehme das Ergebnis hoch $4$ (da es vier Mädchen gibt).

Möglichkeiten für jedes einzelne Mädchen:

$3\cdot2=6$

Gesamtmöglichkeiten:

$6^4=1296$

Betrachte nun die unterschiedlichen Aufstellungen der Mädchen: Auf der $1.$ Position kann noch jedes Mädchen stehen. Auf der $2.$ nur noch $3$, da eine der Mädchen ja schon auf der $1.$ Position steht. Auf der $3.$ können nur noch $2$ stehen und auf der $4.$ Position nur $1$ Mädchen.

$4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=4!=24$

Die Gesamtzahl der möglichen Aufnahmen ergibt sich damit als Produkt aus Möglichkeiten der Auswahl von Sonnenbrillen bzw. Hüten und Aufstellungen.

$1296\cdot 24=31104$

Geg.:$4$ Mädchen

$4$ Positionen

$12$ Hüte

$8$ Sonnenbrillen

Betrachte zunächst die Möglichkeiten der $4$ Mädchen, die $12$ Hüte in verschiedenen Zusammenstellungen aufzusetzen. Das $1.$ Mädchen kann noch zwischen $12$ Hüten auswählen. Das $2.$ nur noch zwischen $11$, weil einer ja schon vom $1.$ Mädchen getragen wird. Das $3.$ Mädchen hat noch $10$ Auswahlmöglichkeiten, das $4.$ noch $9$ Möglichkeiten.

$12\cdot 11\cdot 10\cdot 9=11880$

betrachte nun die Möglichkeiten der $4$ Mädchen die $8$ Sonnenbrillen in verschiedenen Zusammenstellungen aufzusetzen. Das $1.$ Mädchen kann noch zwischen $8$ Sonnenbrillen auswählen. Das $2.$ nur noch zwischen $7$, weil ja eine Sonnenbrille schon vom $1.$ Mädchen getragen wird. Das $3.$ Mädchen hat noch $6$ Auswahlmöglichkeiten, das $4.$ noch $5$.

$8\cdot 7\cdot 6\cdot 5=1680$

Für die verschiedenen Positionen der Mädchen ist das Ergebnis $4!$ wie bei Teilaufgabe $1$.

$4!=4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=24$

Multipliziere die jeweiligen Möglichkeiten:

$\underbrace{12\cdot 11\cdot 10\cdot 9}_{\mathrm{Hüte}}\cdot\underbrace{8\cdot 7 \cdot 6 \cdot 5}_{\mathrm{Brillen}}\cdot \underbrace{4!}_{\mathrm{Anordnungen}}=$$12\cdot11\cdot10\cdot9\cdot8\cdot7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1=12!=479.001.600$

Es gilt nach Annahme: Für ein Foto werden $10\ s$ gebraucht.

$12!\;\cdot\;10\;sek=4.790.016.000\;sek$

$1\ \min$ hat $60\ s$.

in Minuten:

$4.790.016.000\;:\;60=\;79.833.600$

$1\ h$ hat $60\min$.

in Stunden:

$79.833.600\;:\;60=\;1.330.560$

$1$ Tag hat $24\ h$.

in Tagen: 

$1.330.560\;:\;24\;=55.440$

$1$ Jahr hat $365$ Tage

in Jahren:

$55.440\;:\;365\;\approx\;151{,}89$

D.h. dies würde ungefähr $152$ Jahre dauern.