1Lösung 2b
Aufgabenstellung
Nach einer aktuellen Erhebung leiden % der Einwohner Deutschlands an einer Allergie. Aus den Einwohnern Deutschlands werden Personen zufällig ausgewählt.
) Bestimmen Sie, wie groß mindestens sein muss, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als % mindestens eine der ausgewählten Personen an einer Allergie leidet. (4 BE)
) Im Folgenden ist . Die Zufallsgröße beschreibt die Anzahl der Personen unter den ausgewählten Personen, die an einer Allergie leiden. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Wert der binomialverteilten Zufallsgröße höchstens um eine Standardabweichung von ihrem Erwartungswert abweicht. (5 BE)
Lösung
Du entnimmst aus der Aufgabenstellung, dass die Wahrscheinlichkeitsfunktion hat.
Du sollst nun die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass höchstens um eine Standardabweichung vom Erwartungswert abweicht. Mathematisch ausgedrückt:
Erwartungswert und Standardabweichung bestimmen
Für den Erwartungswert einer binomialverteilten Zufallsgröße gilt . Es folgt:
Für die Standardabweichung einer binomialverteilten Zufallsgröße gilt . Es folgt:
Wahrscheinlichkeit ausrechnen
Du formst jetzt um, so dass du das Tafelwerk verwenden kannst.
Es gilt:
Mit eingesetzten Werten also:
.
Antwort: Die Wahrscheinlichkeit beträgt Prozent.