1Lösung 2b

Aufgabenstellung

$2.2.$ Nach einer aktuellen Erhebung leiden $2525$ % der Einwohner Deutschlands an einer Allergie. Aus den Einwohnern Deutschlands werden $nn$ Personen zufällig ausgewählt.

$aa$) Bestimmen Sie, wie groß $nn$ mindestens sein muss, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als $9999$ % mindestens eine der ausgewählten Personen an einer Allergie leidet. (4 BE)

Lösung

Du entnimmst aus der Aufgabenstellung, dass $XX$ die Wahrscheinlichkeitsfunktion $B(200;\mathrm{0,25})B(200;0\{,\}25)$ hat.

Du sollst nun die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass $XX$ höchstens um eine Standardabweichung ${\sigma }_X\backslash sigma\_X$ vom Erwartungswert $E(X)E(X)$ abweicht. Mathematisch ausgedrückt:

Erwartungswert und Standardabweichung bestimmen

Für den Erwartungswert einer binomialverteilten Zufallsgröße $YY$ gilt $E(Y)=n\cdot pE(Y)\; =\; n\backslash cdot\; p$. Es folgt:

Für die Standardabweichung einer binomialverteilten Zufallsgröße $YY$ gilt ${\sigma }_Y=\sqrt{np(1-p)}\backslash sigma\_Y\; =\; \backslash sqrt\{np(1-p)\}$. Es folgt:

${\sigma }_X=\sqrt{200\cdot \mathrm{0,25}\cdot \mathrm{0,75}}=\sqrt{\mathrm{37,5}}\approx \mathrm{6,1}\backslash sigma\_X\; =\; \backslash sqrt\{200\backslash cdot0\{,\}25\backslash cdot\; 0\{,\}75\}\; =\; \backslash sqrt\{37\{,\}5\}\; \backslash approx\; 6\{,\}1$

Wahrscheinlichkeit ausrechnen

Du formst jetzt $P(\mathrm{\mid }X-E(X)\mathrm{\mid }\le {\sigma }_X)P(|X-E(X)|\backslash leq\; \backslash sigma\_X)$ um, so dass du das Tafelwerk verwenden kannst.

Es gilt:

$P(\mathrm{\mid }X-E(X)\mathrm{\mid }\le {\sigma }_X)=P(-{\sigma }_X+E(X)\le X\le {\sigma }_X+E(X))=P(X\le {\sigma }_X+E(X))-P(X<E(X)-{\sigma }_X)P(|X-E(X)|\backslash leq\; \backslash sigma\_X)\; =\; P(-\backslash sigma\_X\; +\; E(X)\backslash leq\; X\backslash leq\; \backslash sigma\_X\; +\; E(X))\; =\; P(X\backslash leq\; \backslash sigma\_X\; +\; E(X))\; -\; P(X\backslash lt\; E(X)\; -\; \backslash sigma\_X)$

Mit eingesetzten Werten also:

$P(X\le \mathrm{56,1})-P(X<\mathrm{43,9})=P(X\le 56)-P(X\le 43)=\mathrm{0,8555}-\mathrm{0,1438}\approx \mathrm{0,71}P(X\backslash leq\; 56\{,\}1)\; -\; P(X\backslash lt\; 43\{,\}9)=P(X\backslash leq\; 56)\; -\; P(X\backslash le\; 43)\; =\; 0\{,\}8555\; -\; 0\{,\}1438\; \backslash approx\; 0\{,\}71$.

Antwort: Die Wahrscheinlichkeit beträgt $7171$ Prozent.