Überprüfe zuerst die Symmetrie

$g(x)=x^2\cdot\sin(x)$

Setze für $x$ jetzt $-x$ ein und überprüfe, ob die Gleichung $g(-x)=-g(x)$ erfüllt ist, dann ist die Punktsymmetrie gegeben.

$g(-x)=(-x)^2\cdot sin(-x)$

Da der Sinus punktsymmetrisch ist, kannst du das Minus in der Klammer nach außen ziehen.

$g(-x)=-x^2\cdot sin(x)=-g(x)$

Damit ist die Punktsymmetrie bestätigt.

Jetzt kannst du das Integral berechnen

$\int_{-\pi}^{\pi}{x^2\cdot sin(x)}\text{d}x$

Du hast gerade ausgerechnet, dass die Funktion punktsymmetrisch ist. Dazu kommt noch, dass du zwei Grenzen hast, die gleichweit vom Ursprung entfernt sind. Das sagt dir, dass die Flächen von $-\pi$ bis $0$ und von $0$ bis $\pi$ den gleichen Betrag haben. Da eine Fläche oberhalb und eine Fläche unterhalb der $x$-Achse liegt, ist eine positiv und eine negativ. Wenn du sie jetzt addierst, ist der Wert deines Integrals einfach $0$.

Aufgrund von Punktsymmetrie und symmetrischen Integrationsgrenzen gilt:

$\int_{-\pi}^{\pi}{x^2\cdot sin(x)}\text{d}x=0$