Analysis, Teil A, Aufgabengruppe 1

Bei der Definitionsmenge musst du dir immer überlegen, wann die Funktion definiert ist und wann nicht. In diesem Fall musst du dir überlegen, wann eine Wurzel definiert ist: der Radikant darf nicht negativ werden!

Setze dafür den Term unter der Wurzel größer gleich Null.

$f(x)=\sqrt{1-\ln(x)}$

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rll}1-\ln(x)&\geq 0\quad &|+\ln(x)\\1&\geq \ln(x)\quad &|e^{()}\\e^1&\geq e^{\ln(x)}\\e&\geq x \end{array}$

Alternativ könntest du dir auch direkt bei der zweiten Ungleichung überlegen, für welchen Wert von $x$ der $\ln(x)$ gleich $1$ wird.

Beachte aber trotzdem, für welche $x$ der $\ln(x)$ definiert ist. Er ist nur für $x>0$ definiert, deshalb ist die Lösung:

$D=\;]0;e]$

$f(x)=2$

Setze die Funktion einfach gleich $2$ und löse nach $x$ auf.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrll}\sqrt{1-\ln(x)}&=&2\quad&|^2\\1-\ln(x)&=&4\quad &|+\ln(x) \; |-4\\-3&=&\ln(x)\quad &|e^{()}\\e^{-3}&=&x\end{array}$

Da dieser Teil ohne Taschenrechner bearbeitet werden kann, rechnest du mit dem exakten Ergebnis $e^{-3}$ weiter.

Mach die Probe, indem du das gefundene $x$ in die Funktion einsetzt.

$f(e^{-3})=\sqrt{1-\ln(e^{-3})}$ $f(e^{-3})=\sqrt{1-(-3))}$ $f(e^{-3})=\sqrt{4}$

$f(e^{-3})=2$

Super, das ist das richtige Ergebnis.

• Da die Funktion $f$ den Grad $3$ hat, hat die Ableitung $f'$ den Grad $2$. Der Graph der Ableitung ist also eine Parabel.

• Die Extremwerte der Funktion $f$ sind die Nullstellen der Ableitung $f'$, deswegen hat $f'$ die Nullstellen $x=1$ und $x=4$. Damit beinhaltet $f'$ die Punkte $(1|0)$ und $(4|0)$.

• Der erste Extrempunkt ist ein Hochpunkt, daher steigt der Graph erst und fällt dann. Vor dem Tiefpunkt fällt er erst und steigt anschließend. Also stellst du fest: Es gibt erst positive Steigung, dann negative und zum Schluss wieder positive. Das heißt, die Ableitungsfunktion ist genauso erst positiv, dann negativ und zuletzt wieder positiv. Damit kann der zugehörige Graph, die Parabel, nur nach oben geöffnet sein.

Du weißt bereits aus der vorherigen Teilaufgabe, dass die Ableitungsfunktion hier die Form einer nach oben geöffneten Parabel hat. Du weißt außerdem, dass Extremstellen der Ableitung Wendestellen der Funktion sind. Nun musst du dir also noch überlegen, wo die Extremstelle der Parabel liegt.

Bei einer Parabel liegt die Extremstelle genau in der Mitte zwischen den beiden Nullstellen. Du musst daher die Mitte von $x=1$ und $x=4$ finden: $\frac{1+4}{2}=\frac52=2{,}5$. Die Extremstelle der Ableitung und damit auch die Wendestelle der Funktion liegt also bei $x=2{,}5$.

Den Wert des Integrals kannst du näherungsweise in der Abbildung ablesen, da der Wert des Integrals gerade der Größe der Fläche unterhalb des Graphen entspricht.

Zähle jetzt einfach die Kästchen, die von der Kurve, den zwei senkrechten Linien und der $x$-Achse eingeschlossen sind. $4$ Kästchen zusammen geben eine Flächeneinheit ($1\, FE$).

$\int_3^5{f(x)\text{d}}x\approx 9 Kästchen = 2{,}25 FE$

Ob du $9$ oder $10$ Kästchen heraus bekommst, ist bei einem Näherungswert nicht wichtig. Punkte gibt es trotzdem ;).

Die Aufgabe ist einfach nur gemein gestellt und klingt total kompliziert. Ist es aber wirklich nicht! Was ist denn die Ableitung von der Stammfunktion $F$? Genau, einfach die Funktion $f$. Deswegen musst du beim ablesen von diesem Punkt einfach nur in der Abbildung, die du schon gegeben hast, den Punkt mit der $x$-Koordinate $2$ heraus suchen.

Bei $x=2$ ist $y=0{,}5$ da die Funktion $f$ die Ableitung der Stammfunktion $F$ ist.

Überlege dir, wie du die Funktion $f$ integrierst. Dazu benötigst du eine Stammfunktion. Diese hast du schon gegeben. Außerdem weißt du schon, dass $F(3)=0$. Aus dem Hauptsatz der Differential und Integralrechnung folgt:

$\int_a^b{f(x)\text{d}}x=F(b)-F(a)$

Setze die gegebenen Grenzen aus der Aufgabenstellung ein.

$\int_3^b{f(x)\text{d}}x=F(b)-F(3)$

Setze ein, was du schon weißt.

$\int_3^b{f(x)\text{d}}x=F(b)-0=F(b)$

Und schon bist du fertig! :)