Zu einem Randwinkel gehört stets der "gegenüberliegende" Mittelpunktswinkel, d.h. derjenige, in dessen Winkelfeld der Randpunkt nicht liegt.

Zum Punkt $P_1$ gehört also der Mittelpunktswinkel $\beta$.

$\varphi_2$ liegt nicht im Winkelfeld von $\alpha$. Also ist $\alpha$ der zu $\varphi_2$ gehörende Mittelpunktswinkel und doppelt so groß wie $\varphi_2$.

$\displaystyle\varphi_1+\varphi_2=\frac{1}{2}\beta+\frac{1}{2}\alpha=\frac{1}{2}(\beta+\alpha)=\frac{1}{2}\cdot \color{red}{\text{360°}}=180°$