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Aufgaben zu Fasskreisbogen und Satz des Thales

Teste dein Wissen zu Fasskreisbogen und Satz des Thales und übe, damit zu rechnen.

  1. 1

    Blickwinkel

    Eine Sehne [AB][AB] zerlege einen Kreis in zwei unterschiedlich lange Bogen.

    1. Klicke an was stimmt!

    2. Klicke an was stimmt!

    3. Klicke an was stimmt!

  2. 2

    Randwinkel und zugehörige Mittelpunktswinkel

    Randwinkel und Mittelpunktswinkel

    Der Randwinkelsatz (Umfangswinkelsatz; Peripheriewinkelsatz) besagt, dass ein Randwinkel gerade halb so groß ist, wie der zugehörige Mittelpunktswinkel.

    1. Klicke an was stimmt!

    2. Klicke an was stimmt!

    3. Randwinkelsumme

      Die beiden Randwinkel auf verschiedenen Seiten einer Sehne ergänzen sich zu 180°.

      Zeige, dass hier also gilt:

  3. 3
    Kreis

    Konstruiere in einem Kreis mit Radius r=3cmr=3\,\mathrm{cm} zwei Sehnen, zu denen das Randwinkelpaar 60° und 120° gehört.

  4. 4

    Ein Randwinkel φ\,\varphi\, ist um 40° kleiner als der zugehörige Mittelpunktswinkel μ\,\mu.

    Wie groß sind φ\varphi und μ\mu?

  5. 5

    Ein Randwinkel φ\,\varphi\, und sein zugehöriger Mittelpunktswinkel μ\mu betragen zusammen 210°.

    Wie groß sind φ\varphi und μ\mu?

  6. 6
    Textaufgabe zwei Fasskreisbogen

    Die Punkte A,B,CA,B,C liegen auf einer Geraden (siehe Zeichnung).

    Wie viele Punkte in der Zeichenebene gibt es, von denen aus die Strecke [AB][AB] unter einem Winkel von 50° und gleichzeitig die Strecke [BC][BC] unter dem Winkel 30° erscheint?

    Klicke an, was stimmt!

  7. 7

    Konstruiere den Bereich der Zeichenebene, von dem aus eine gegebene Strecke [AB][AB] unter einem Winkel φ\varphi mit 60°φ100°60°\leq\varphi\leq100° erscheint.

  8. 8
    Bild

    Gegeben ist ein gleichschenkliges Dreieck ABCABC mit der Basislänge AB=6cm\overline{AB}=6\,cm und der Schenkellänge AC=BC=5cm\overline{AC}=\overline{BC}=5\,cm.

    Konstruiere unter Beibehaltung der Basis [AB][AB] ein gleichschenkliges Dreieck, dessen Winkel an der Spitze

    a) halb so groß ist,

    b) doppelt so groß ist,

    wie der Winkel γ\gamma im Dreieck ABCABC.

    Hinweis:

    Die Konstruktion soll ohne Winkelmessungen oder Winkelkonstruktionen erfolgen.

  9. 9
    Abbildung Thaleskreis mit Winkel

    Berechne für die nebenstehende Figur den Winkel α\alpha, wenn β=55°\beta=55°.

    Die Punkte A,B,CA, B, C liegen auf dem Halbkreis.

    °
  10. 10
    Ein Dreieck viele Winkel

    Die Punkte A,B,CA, B, C liegen auf dem Halbkreis.

    Gegeben sind weiter die Winkel α=45°\alpha=45° und δ=75°\delta=75°.

    Berechne die Winkel ε,  λ,  β\varepsilon,\;\lambda,\;\beta und μ\mu.

  11. 11
    Bild

    Gegeben ist - wie in nebenstehender Abbildung dargestellt - der Kreis K1K_1 mit Mittelpunkt MM und ein Punkt AA, der außerhalb des Kreises liegt.

    Konstruiere eine Tangente des Kreises K1K_1 durch den Punkt AA.

  12. 12

    Konstruiere ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenusenlänge AB=6cm\overline{AB}=6\,\mathrm{cm} und der zugehörigen Höhe h=1,5cmh=1{,}5\,\mathrm{cm}. Gibt es mehrere Lösungen?

  13. 13

    Beweiskunst

    Bild

    Der Punkt P liege auf dem Fasskreis der Sehne [AB][AB] so, dass die Strecke [PA][PA] Durchmesser ist.

    Beweise für diese Lage von P den Randwinkelsatz, indem du zeigst, dass gilt:

    .

  14. 14

    Der Randwinkelsatz (Umfangswinkelsatz; Peripheriewinkelsatz) - Beweis

    Bild

    Zeige:

    Für jeden von AA und BB verschiedenen Punkt PP auf dem Fasskreis der Sehne [AB][AB] gilt:

    • Der Randwinkel φ\varphi bei PP ist halb so groß wie der zugehörige Mittelpunktswinkel μ\mu.

    • Der Randwinkel φ\varphi bei PP ist gleich dem Sehnen-Tangentenwinkel τ\tau.

  15. 15

    Konstruiere mithilfe des Thaleskreises die Winkel α\alpha und β\beta. Du darfst nur Zirkel und Lineal (kein Geodreieck) verwenden.

    1. α=45\alpha=45^{\circ}

    2. β=30\beta=30^\circ


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