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Aufgaben zu Fasskreisbogen und Satz des Thales

Teste dein Wissen zu Fasskreisbogen und Satz des Thales und übe, damit zu rechnen.

  1. 1

    Blickwinkel

    Eine Sehne [AB] zerlege einen Kreis in zwei unterschiedlich lange Bogen.

    1. Klicke an was stimmt!

    2. Klicke an was stimmt!

    3. Klicke an was stimmt!

  2. 2

    Randwinkel und zugehörige Mittelpunktswinkel

    Der Randwinkelsatz (Umfangswinkelsatz; Peripheriewinkelsatz) besagt, dass ein Randwinkel gerade halb so groß ist, wie der zugehörige Mittelpunktswinkel.

    Randwinkel und Mittelpunktswinkel
    1. Klicke an was stimmt!

    2. Klicke an was stimmt!

    3. Die beiden Randwinkel auf verschiedenen Seiten einer Sehne ergänzen sich zu 180°.

      Zeige, dass hier also gilt:

      Randwinkelsumme
  3. 3

    Konstruiere in einem Kreis mit Radius r=3cm zwei Sehnen, zu denen das Randwinkelpaar 60° und 120° gehört.

    Kreis
  4. 4

    Ein Randwinkel φ ist um 40° kleiner als der zugehörige Mittelpunktswinkel μ.

    Wie groß sind φ und μ?

  5. 5

    Ein Randwinkel φ und sein zugehöriger Mittelpunktswinkel μ betragen zusammen 210°.

    Wie groß sind φ und μ?

  6. 6

    Die Punkte A,B,C liegen auf einer Geraden (siehe Zeichnung).

    Wie viele Punkte in der Zeichenebene gibt es, von denen aus die Strecke [AB] unter einem Winkel von 50° und gleichzeitig die Strecke [BC] unter dem Winkel 30° erscheint?

    Klicke an, was stimmt!

    Textaufgabe zwei Fasskreisbogen
  7. 7

    Konstruiere den Bereich der Zeichenebene, von dem aus eine gegebene Strecke [AB] unter einem Winkel φ mit 60°φ100° erscheint.

  8. 8

    Gegeben ist ein gleichschenkliges Dreieck ABC mit der Basislänge AB=6cm und der Schenkellänge AC=BC=5cm.

    Konstruiere unter Beibehaltung der Basis [AB] ein gleichschenkliges Dreieck, dessen Winkel an der Spitze

    a) halb so groß ist,

    b) doppelt so groß ist,

    wie der Winkel γ im Dreieck ABC.

    Bild

    Hinweis:

    Die Konstruktion soll ohne Winkelmessungen oder Winkelkonstruktionen erfolgen.

  9. 9

    Berechne für die nebenstehende Figur den Winkel α, wenn β=55°.

    Die Punkte A,B,C liegen auf dem Halbkreis.

    Abbildung Thaleskreis mit Winkel
    °
  10. 10

    Die Punkte A,B,C liegen auf dem Halbkreis.

    Gegeben sind weiter die Winkel α=45° und δ=75°.

    Berechne die Winkel ε,λ,β und μ.

    Ein Dreieck viele Winkel
  11. 11

    Gegeben ist - wie in nebenstehender Abbildung dargestellt - der Kreis K1 mit Mittelpunkt M und ein Punkt A, der außerhalb des Kreises liegt.

    Konstruiere eine Tangente des Kreises K1 durch den Punkt A.

    Bild
  12. 12

    Konstruiere ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenusenlänge AB=6cm und der zugehörigen Höhe h=1,5cm. Gibt es mehrere Lösungen?

  13. 13

    Beweiskunst

    Der Punkt P liege auf dem Fasskreis der Sehne [AB] so, dass die Strecke [PA] Durchmesser ist.

    Beweise für diese Lage von P den Randwinkelsatz, indem du zeigst, dass gilt:

    μ=2φundτ=φ

    .

    Bild
  14. 14

    Der Randwinkelsatz (Umfangswinkelsatz; Peripheriewinkelsatz) - Beweis

    Zeige:

    Für jeden von A und B verschiedenen Punkt P auf dem Fasskreis der Sehne [AB] gilt:

    • Der Randwinkel φ bei P ist halb so groß wie der zugehörige Mittelpunktswinkel μ.

      φ=12μ

    • Der Randwinkel φ bei P ist gleich dem Sehnen-Tangentenwinkel τ.

      φ=τ

    Bild
  15. 15

    Konstruiere mithilfe des Thaleskreises die Winkel α und β. Du darfst nur Zirkel und Lineal (kein Geodreieck) verwenden.

    1. α=45

    2. β=30


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