Satz des Thales

Der Satz des Thales beschreibt folgenden Zusammenhang:

Zeichne einen Halbkreis und markiere einen Punkt auf dem Kreisbogen. Wenn du diesen Punkt mit den Eckpunkten des Durchmessers verbindest, entsteht ein rechtwinkliges Dreieck. Der rechte Winkel befindet sich gegenüber des Durchmessers des Kreises.

Zudem ist auch die Umkehrung des Satzes richtig.

Vorgehen

Man beginnt mit einer beliebigen Strecke (hier: Strecke $[AB]$ ).

Nun konstruiert man einen Thaleskreis (hier mit Mittelpunkt $M$ ).

Nun kann man einen beliebigen Punkt auf dem Kreisbogen markieren (hier Punkt $C$ ).

Nun verbindet man die Punkte $A,B$ und $C$ zu einem Dreieck.

Der Winkel $\sphericalangle ACB$ ist ein rechter Winkel.

Umkehrung des Satzes des Thales

Es gilt auch die Umkehrung des Satzes:

In einem rechtwinkligen Dreieck ist der Mittelpunkt der Hypotenuse der Mittelpunkt des Umkreises.

Anwendung

Der Thaleskreis ist hilfreich zur Konstruktion rechtwinkliger Dreiecke.

Außerdem kann man mit ihm eine Tangente an einen Kreis konstruieren, die durch einen beliebigen Punkt außerhalb des Kreises verläuft.

Warum gilt der Satz des Thales?

Dass der Satz des Thales immer gilt, zeigt folgender Beweis:

Man zeichnet zuerst ein Dreieck $\triangle ABC$ mit Hypotenuse als Durchmesser eines Kreises und den dritten Punkt des Dreiecks auf den Kreisbogen des Kreises (hier: Punkt $C$ ).

Zusätzlich trägt man die Seitenhalbierende $h$ der Hypotenuse ein. Damit entstehen zwei neue Dreiecke:

\displaystyle \triangle AMC\text{ und }\triangle MBC.

Wenn man die Winkel in den Dreiecken nun noch benennt, erhältst du folgendes Bild:

Nun ist bereits bekannt, dass die Innenwinkelsumme eines Dreiecks $180°$ beträgt.

Also sowohl in dem Dreieck $\triangle ABC$ als auch in den Dreiecken $\triangle AMC$ und $\triangle MBC$ .

Daher folgt:

\displaystyle \triangle AMC\text{ und }\triangle MBC.

Außerdem gilt:

\displaystyle \triangle AMC\text{ und }\triangle MBC.

Die Dreiecke $\triangle AMC$ und $\triangle MBC$ sind gleichschenklig, da $p=q=h= \text{Radius des Thaleskreises}$ .

Also:

\displaystyle \triangle AMC\text{ und }\triangle MBC.

\displaystyle \triangle AMC\text{ und }\triangle MBC.

Damit kommt man auf die Rechnung:

$\displaystyle \alpha+\beta+(\gamma_1+\gamma_2)$	$=$	$\displaystyle 180°$
	↓	Ersetze $\alpha = \gamma _1$ und $\beta =\gamma _2$ aus der Überlegung von vorhin.
$\displaystyle \gamma_1+\gamma_2+(\gamma_1+\gamma_2)$	$=$	$\displaystyle 180°$
	↓	Fasse zusammen.
$\displaystyle 2\cdot\left(\gamma_1+\gamma_2\right)$	$=$	$\displaystyle 180°$	$\displaystyle :2$
$\displaystyle \gamma_1+\gamma_2$	$=$	$\displaystyle 90°$
$\displaystyle \gamma$	$=$	$\displaystyle 90°$

Damit ist gezeigt, dass der Winkel $\gamma=\gamma_1+\gamma_2$ ein rechter Winkel ist, egal wie man den Punkt auf der Kreisbahn wählt.

Übungsaufgaben: Satz des Thales

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Aufgaben zu Fasskreisbogen und Satz des Thales

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Quellen

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