Zwei ganze Zahlen sind genau dann kongruent modulo , wenn sie bei Division durch die natĂŒrliche Zahl den gleichen Rest ergeben.
Kongruenz natĂŒrlicher Zahlen
Du kennst dich mit Kongruenz modulo bereits gut aus: Du weiĂt, dass Heiligabend und Silvester immer auf den gleichen Wochentag fallen.
Warum ist das so?
Weil und kongruent modulo sind. Dies bedeutet, dass und bei Division durch denselben Rest ergeben (nÀmlich ).
Es ist nÀmlich
sowie
Es gibt Wochentage, und wenn Heiligabend, also der 24. Dezember, auf einen Mittwoch fÀllt, dann fÀllt auch Silvester, also der 31. Dezember, auf einen Mittwoch.

Wichtig ist, dass du zunĂ€chst die Zahl festlegst, bezĂŒglich derer du die Kongruenz betrachtest. Ob zwei Zahlen kongruent zueinander sind, ist also abhĂ€ngig von der Zahl (dem Modul) und dem Rest, den sie bei der Division durch ergeben. Ist dieser Rest bei beiden Zahlen gleich, dann sind die Zahlen kongruent modulo , andernfalls sind sie inkongruent modulo .
Allgemein schreibst du ist kongruent zu modulo folgendermaĂen:
In Klammern gibst du ganz am Ende der Formel an, bezĂŒglich welchen Moduls die Kongruenz gilt.
1) Aus der Rechnung von oben:
2) Alle positiven Zahlen, die auf dieselbe Ziffer enden, sind kongruent modulo 10, du kannst die Kongruenz mehrerer solcher Zahlen in eine Zeile schreiben:
ErklÀrung:
, aber .
hat also einen anderen Rest als , wenn man beide Zahlen durch teilt. und sind nicht kongruent.
Kongruenz negativer, ganzer Zahlen
Was ist mit den Zahlen und ? Sind diese kongruent modulo ?
Beide enden auf die Ziffer 4. Aber die erste Zahl ergibt bei Division durch 10 den Rest 4, die andere den Rest , also nicht den gleichen Rest. Also sind sie nach dem bisher ErklÀrtem nicht kongruent modulo , und das ist auch korrekt.
Aber die Zahlen und sind, obwohl die gleiche Argumentation gilt, dennoch kongruent modulo .
Wie kann das sein? Kannst du der Mathematik nicht mehr trauen?
Doch, aber du brauchst eine genaue Definition von "Rest" und am besten auch noch eine bessere Definition von "kongruent modulo ". Diese ist hier:
Zwei ganze Zahlen sind kongruent modulo , wenn ihre Differenz durch teilbar ist.
Allgemein lautet diese Definition also folgendermaĂen, fĂŒr alle ganzen Zahlen und und fĂŒr jede natĂŒrliche Zahl :
Der senkrechte Strich | bedeutet "teilt". Die Zahl teilt die Differenz . Oder die Differenz ist durch teilbar.
Wenn du diese Definition anwendest, siehst du, dass nicht durch 10 teilbar ist, dagegen sehr wohl.
Defintion des "Rests"
Einen Rest von oder wie in dem vorigen Beispiel gibt es eigentlich gar nicht. Denn ein Rest ist immer nichtnegativ. Er kann sein, oder er ist positiv. Die Definition lautet:
Der Rest bei Division einer ganzen Zahl durch eine natĂŒrliche Zahl ergibt sich als diejenige Zahl , fĂŒr die
wobei eine ganze Zahl ist.
Du stellst also die Zahl als Vielfaches von dar plus eine möglichst kleine, aber nichtnegative Zahl . Du kannst jede ganze Zahl auf diese Weise eindeutig darstellen.
Schau dir das folgende Beispiel an.
Wenn du die Definition mit und anwendest, erhÀltst du
Der Rest betrÀgt also , ist also verschieden vom Rest bei . Daher sind und nicht kongruent modulo 10.
Bei den Zahlen und dagegen betrÀgt der Rest in beiden FÀllen . Daher sind diese beiden Zahlen kongruent modulo .
Operation mod
Die Operation liefert genau diesen Rest, der sich bei Division einer ganzen Zahl durch ergibt
Beispielsweise ist . Denn ergibt bei Division durch den Rest . Damit ist automatisch . Beachte aber den Unterschied zwischen der Operation und der Kennzeichnung einer Kongruenz durch in Klammern. Es ist beispielsweise auch .
Rechnen mit Kongruenzen
Das Schöne an der Relation "kongruent modulo " ist, dass sie verknĂŒpfungstreu bezĂŒglich der VerknĂŒpfungen Addition und Multiplikation ist.
VerknĂŒpfungstreu bezĂŒglich Addition
Im Einzelnen bedeutet dies Folgendes: Wenn
gilt, dann bleibt die Kongruenz erhalten, wenn du auf der linken und auf der rechten Seite der Kongruenz jeweils die gleiche Zahl addierst:
Und die Zahlen, die du addierst, brauchen noch nicht einmal gleich zu sein - es genĂŒgt, wenn sie kongruent modulo sind. Wenn also auĂerdem
gilt, dann gilt auch
Im Grunde genommen ist dir dies vertraut, denn zum Beispiel ist ja , und wenn du auf der linken Seite 23 und auf der rechten Seite 13 addierst, also zwei Zahlen, die ebenfalls kongruent modulo 10 sind, dann bleibt die Kongruenz erhalten: .
VerknĂŒpfungstreu bezĂŒglich Multiplikation
Die VerknĂŒpfungstreue gilt auch fĂŒr die Multiplikation:
Modulo reduzieren
Besonders interessant ist es , wenn du auf beiden Seiten der Kongruenz jeweils Zahlen addierst (oder subtrahierst), die kongruent 0 modulo sind - denn 0 kannst du ohne Weiteres jederzeit addieren oder subtrahieren, ohne dass sich etwas Àndert.
Eine Zahl ist kongruent 0 modulo , wenn sie ein Vielfaches von ist. Wenn du von einer Zahl ein Vielfaches von subtrahierst, dann sagt man auch, du reduzierst sie modulo .
Beispiel 1
Du willst zum Beispiel ausrechnen, welcher Wochentag in Jahren und Tagen ist. Es ist
Hierbei reduzierst du die vorkommenden Zahlen so frĂŒh wie möglich modulo , also zum Beispiel reduzierst du zu , denn es ist .
Das Ergebnis am Ende ist , also derselbe Wochentag wie heute.
Beispiel 2
Und welcher Wochentag ist heute in Tagen?
Also Donnerstag, wenn heute Mittwoch ist.