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Ganze Zahlen

Die Menge der ganzen Zahlen enthält alle natürlichen Zahlen, die Null und alle negativen Gegenzahlen der natürlichen Zahlen. Für ganze Zahlen verwendet man den Buchstaben Z\mathbb{Z}. Die Zahlenmenge kann folgendermaßen beschrieben werden:

Man kann die ganzen Zahlen an der Zahlengeraden veranschaulichen.

Rechenvorteile durch Anwendung von Rechengesetzen

Kommutativgesetz

Für die Addition und Multiplikation ganzer Zahlen gilt das Kommutativgesetz. Das heißt, du kannst die Reihenfolge der Summanden bzw. Faktoren beliebig vertauschen, ohne dass sich das Ergebnis ändert.

Beispiel 1 (Addition)

Beschreibung

Berechnung

Betrachte (4)+(3)(-4) + (-3)

(3)+(4)=7(-3) + (-4)=-7

Das Ergebnis beider Rechnungen ist gleich, das sagt dir auch das Kommutativgesetz.

(4)+(3)=7(-4)+(-3)=-7

Beispiel 2 (Multiplikation)

Beschreibung

Berechnung

Das Vertauschen der Faktoren ändert nach dem Kommutativgesetz das Ergebnis nicht.

(25)17(4)(-25)\cdot17\cdot(-4)

Berechne (25)(4)=100(-25) \cdot (-4) =100

(25)(4)(17)=10017(-25)\cdot(-4)\cdot(17)= 100 \cdot 17

Berechne das Ergebnis

10017=1700100 \cdot 17=1700

Das Kommutativgesetz hilft dir Rechnungen zu vereinfachen. Im Beispiel gerade eben lässt sich (25)(4)(-25) \cdot (-4) viel leichter berechnen als (25)17(-25) \cdot 17.

Assoziativgesetz

Für die Addition und Multiplikation ganzer Zahlen gilt das Assoziativgesetz. Das heißt, du kannst die Reihenfolge, in der du die einzelnen Summanden bzw. Faktoren miteinander verrechnest, frei wählen.

Merke: Das Assoziativgesetz gilt nur bei reiner Addition und Multiplikation.

Beispiel 1 (Addition)

Beschreibung

Berechnung

Setze nun die Klammer um 7+(7)7+(-7).

(17+7)+(7)=24+(7)=17\left(17+7 \right)+(-7)=24+(-7)=17

Das Ergebnis ist identisch. Das ist die Aussage des Assoziativgesetzes für Addition.

17+(7+(7))=17+0=1717+\bigl(7+(-7)\bigr)=17+0=17

Die Reihenfolge der Multiplikation kannst du nach dem Assoziativgesetz frei wählen.

(2)(9)11(-2) \cdot (-9) \cdot11

Berechne (9)11=99\bigl(-9) \cdot 11 = -99

(2)(9)11=(2)((9)11)=(2)(99)(−2)⋅(−9)⋅11 = (-2) \cdot \bigl((-9) \cdot 11 \bigr)=(-2)\cdot (-99)

(2)(99)=198(-2)\cdot (-99)=198

Das Assoziativgesetz kannst du nutzen, um vorteilhaft zu rechnen. Im Beispiel gerade eben lässt sich (7+(7))\bigl(7+(-7)\bigr) leichter berechnen als (17+7)(17 +7).

Beispiel 2 (Multiplikation)

Distributivgesetz

Das Distributivgesetz erlaubt dir, Klammern in Rechnungen "aufzulösen".

Beispiel 1

Beschreibung

Berechnung

Du darfst nach dem Distributivgesetz die Klammer auflösen.

(2)(4+5)(-2) \cdot (4 +5)

Multipliziere die einzelnen Summanden aus.

=(2)4+(2)5=(8)+(10)=18= (-2) \cdot 4 + (-2) \cdot 5 \\= (-8) + (-10)\\= -18

Du kannst das Distributivgesetz auch verwenden, um Klammern zu "erstellen". Dies machst du ganz unbewusst, wenn du eine zweistellige Zahl mit einer anderen multiplizierst.

Beispiel 2

Beschreibung

Berechnung

Ersetze 4747 durch 40+740 +7. Vergiss dabei nicht,

eine Klammer zu setzen.

(8)(47)(-8) \cdot (47)

Verwende nun das Distributivgesetz.

=(8)(40+7)= (-8) \cdot (40+7)

Multipliziere die einzelnen Summanden aus.

=(8)40+(8)7=(320)+(56)=376= (-8) \cdot 40 + (-8) \cdot 7 \\ = (-320) + (-56) \\ = -376

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