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Geosynchrone Umlaufbahn

4Geosynchrone Umlaufbahn

Wir müssen nun die Umlaufdauer TT mit ins Spiel bringen. Sie spielt wie der Name geosynchron verrät, eine große Rolle.

Für die Geschwindigkeit vv bei einer Kreisbewegung mit dem Radius rr gilt:

v=WegZeit=KreisumfangUmlaufdauer=2⋅π⋅rTv= \frac{Weg}{Zeit} = \frac{Kreisumfang}{Umlaufdauer} = \frac{2 \cdot \pi \cdot r}{T} (2)(2)

Das ist die zweite Bedingung für die Geschwindigkeit des Satellits auf einer geosynchronen Bahn.

Wenn du Gleichung (1)(1) und (2)(2) gleichsetzt, erhälst du die Höhe rr eines Satelliten, der sich mit der Umlaufdauer TT um die Erde dreht.

G⋅mErder\displaystyle \sqrt{G \cdot \frac{m_{Erde}}{r}}==2⋅π⋅rT\displaystyle \frac{2 \cdot \pi \cdot r}{T}
↓

beide Seiten quadrieren

G⋅mErder\displaystyle G \cdot \frac{m_{Erde}}{r}==4⋅π2⋅r2T2\displaystyle \frac{4 \cdot \pi^2 \cdot r^2}{T^2}
↓

|⋅r\cdot r

G⋅mErde\displaystyle G \cdot m_{Erde}==4⋅π2⋅r3T2\displaystyle \frac{4 \cdot \pi^2 \cdot r^3}{T^2}
↓

|:(4⋅π2),⋅T2:(4 \cdot \pi^2), \cdot T^2

G⋅mErde⋅T24⋅π2\displaystyle \frac{G \cdot m_{Erde} \cdot T^2}{4 \cdot \pi^2}==r3\displaystyle r^3
↓

dritte Wurzel ziehen

r\displaystyle r==G⋅mErde⋅T24⋅π23\displaystyle \sqrt[3]{\frac{G \cdot m_{Erde} \cdot T^2}{4 \cdot \pi^2}}

Diese relativ komplizierte Formel beschreibt die Höhe rr über dem Erdmittelpunkt für alle Satelliten mit der Umlaufdauer TT.

Die dritte und letzte Bedingung für einen Satellit auf einer geosynchronen Bahn ist nun, dass die Umlaufdauer genau 1 Tag beträgt. Dann dauert der Umlauf des Satellits genau so lange wie die Umdrehungsdauer der Erde. Die Zeiten sind synchron.

Wie hoch ist denn jetzt eine geosynchrone Umlaufbahn?


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