7Bestimmen der Funktionsgleichung bei gegebenen Graphen

Ermittle zum folgenden Graphen $G_f$ der Funktion $f$ eine Funktionsgleichung.

Schritt 1

Zeichne eine Parallele zur x-Achse ein, von der die Hoch- und Tiefpunkte des Graphen gleich weit entfernt sind. Diese Parallele nennt man Mittellinie.

Schritt 2

Suche einen Schnittpunkt S von $G_f$ und der Mittellinie, so dass $G_f$ in der Umgebung von S steigt und der in sich in der Nähe der y-Achse befindet (Nur nötig, damit Lösung eindeutig ist). Diesen Schnittpunkt nennt man auch Startpunkt S.

Schritt 3

Nun kann man die Parameter folgendermaßen bestimmen:

• a: Der Abstand, den die Hoch- bzw. Tiefpunkte von der Mittellinie haben, ist a. Diesen Abstand nennt man Amplitude.

• Vom Punkt S (oder von einem Hochpunkt oder von einem Tiefpunkt) ausgehend bestimmt man die Periode p und damit den Parameter b mit $b=\frac{2\pi}{p}$.

• c: |c| ist der Abstand von S zur y-Achse. Dabei ist c positiv, wenn S links von der y-Achse liegt, und c ist negativ, wenn S rechts von der y-Achse liegt. Bemerkung: c ist nicht eindeutig bestimmbar, da es mehrere Möglichkeiten für den Startpunkt gibt.

• d: Die Verschiebung von S in y-Richtung ist d.

Schritt 4

Aufstellen der Funktionsgleichung

$y=a\cdot\sin[b\cdot(x+c)]+d=1{,}5\cdot\sin\left[1\cdot\left(x+\left(-\frac{\pi}{3}\right)\right]+1=1{,}5\cdot\sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right)+1\right]$

Du hast das Ende des Kurses zur allgemeinen Sinusfunktion erreicht.