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7Bestimmen der Funktionsgleichung bei gegebenen Graphen

Beispielaufgabe:

Ermittle zum folgenden Graphen GfG_f der Funktion ff eine Funktionsgleichung.

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Lösung

Schritt 1

Zeichne eine Parallele zur x-Achse ein, von der die Hoch- und Tiefpunkte des Graphen gleich weit entfernt sind. Diese Parallele nennt man Mittellinie.

Schritt 2

Suche einen Schnittpunkt S von GfG_f und der Mittellinie, so dass GfG_f in der Umgebung von S steigt und der in sich in der Nähe der y-Achse befindet (Nur nötig, damit Lösung eindeutig ist). Diesen Schnittpunkt nennt man auch Startpunkt S.

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Schritt 3

Nun kann man die Parameter folgendermaßen bestimmen:

  • a: Der Abstand, den die Hoch- bzw. Tiefpunkte von der Mittellinie haben, ist a. Diesen Abstand nennt man Amplitude.

  • Vom Punkt S (oder von einem Hochpunkt oder von einem Tiefpunkt) ausgehend bestimmt man die Periode p und damit den Parameter b mit b=2πpb=\frac{2\pi}{p}.

  • c: |c| ist der Abstand von S zur y-Achse. Dabei ist c positiv, wenn S links von der y-Achse liegt, und c ist negativ, wenn S rechts von der y-Achse liegt. Bemerkung: c ist nicht eindeutig bestimmbar, da es mehrere Möglichkeiten für den Startpunkt gibt.

  • d: Die Verschiebung von S in y-Richtung ist d.

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Schritt 4

Aufstellen der Funktionsgleichung

y=asin[b(x+c)]+d=1,5sin[1(x+(π3)]+1=1,5sin(xπ3)+1]y=a\cdot\sin[b\cdot(x+c)]+d=1{,}5\cdot\sin\left[1\cdot\left(x+\left(-\frac{\pi}{3}\right)\right]+1=1{,}5\cdot\sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right)+1\right]

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Aufgabe 1:

Bestimme eine Funktionsgleichung zum folgenden Graphen.

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Aufgabe 2:

Bestimme eine Funktionsgleichung zum folgenden Graphen.

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