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Kurs

Allgemeine Sinusfunktion f(x)=a⋅sin[b⋅(x+c)]+d

1 Einführung

Verändert man den Funktionsterm der Sinusfunktion f(x)=sin(x)f(x)=\sin(x) mithilfe von Parametern, z. Bsp. asin(x)a⋅\sin(x) oder sin(x+c)\sin(x+c), so gehen die zugehörigen Graphen aus dem der Sinusfunktion durch Strecken, Verschieben oder Spiegeln hervor.

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In diesem Kurs wird der Einfluss der Paramater a,b,ca,b,c und dd bei der allgemeinen Sinusfunktion f(x)=asin[b(x+c)]+df(x)=a⋅sin \left[ b⋅ \left( x+c \right) \right] +d untersucht.

Auf der nächsten Seite wird der Einfluss des Parameters aa bei der Funktion g(x)=asin(x)g(x)=a\cdot\sin(x) untersucht.

2 Parameter a

g(x)=asin(x)g(x)=a\cdot sin(x)

Untersuche die Auswirkung des Parameters a auf den Graphen der Funktion, indem du durch Betätigung des Schiebereglers oberhalb der Sinuskurve den Parameter a veränderst.

Beantworte anschließend die Fragen unterhalb des Geogebra-Applets.

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Merke

y=asin (x)y=a\cdot\sin\ \left(x\right) mit aϵRa \:\epsilon \:\mathbb{R} und a0a\ne0

Streckung mit dem Faktor |aa| in y-Richtung

Für a<0a<0 wird der Graph der Sinusfunktion an der x-Achse gespiegelt.

Wertemenge: W = [-|aa|; |aa|]

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Die Ruhelage ist derjenige Funktionswert, um den die Funktion (bildlich gesprochen) schwingt. Sie liegt also in der Mitte zwischen dem höchsten und niedrigsten Funktionswert.

Die Amplitude entspricht dem größten Abstand der Funktion zur Ruhelage. Sie wird auch als "größte Auslenkung" beschrieben.

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Merke

Der Betrag von a wird als Amplitude bezeichnet.

Auf der nächsten Seite wird der Einfluss des Parameters bb bei der Funktion g(x)=sin(bx)g(x)=\sin(b\cdot x) untersucht.

3 Parameter b

g(x)=sin(bx)g(x)=\sin(b\cdot x)

Untersuche die Auswirkung des Parameters b auf den Graphen der Funktion, indem du durch Betätigung des Schiebereglers oberhalb der Sinuskurve den Parameter b veränderst.

Beantworte anschließend die Fragen unterhalb des Geogebra-Applets.

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Merke

y=sin(bx)y=\sin(b\cdot x) mit bb ϵR\epsilon \: \mathbb{R} und b \ne 0

Streckung um Faktor 1b\frac{1}{|b|} in x-Richtung

Falls b<0b<0 wird der Graph der Sinusfunktion an der y-Achse gespiegelt.

Periode: p=2πbp=\frac{2\pi}{|b|}

Nullstellen: xk=πbkx_k=\frac{\pi}{b}\cdot k mit k ϵ\epsilon Z\mathbb {Z}

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Auf der nächsten Seite wird der Einfluss des Parameters cc bei der Funktion g(x)=sin(x+c)g(x)=\sin(x+c) untersucht.

4 Parameter c

g(x)=sin(x+c)g(x)=\sin(x+c)

Untersuche die Auswirkung des Parameters c auf den Graphen der Funktion, indem du durch Betätigung des Schiebereglers oberhalb der Sinuskurve den Parameter c veränderst.

Beantworte anschließend die Fragen unterhalb des Geogebra-Applets.

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Merke

y=sin(x+c)y=\sin(x+c) mit cϵRc \: \epsilon \: \mathbb {R}

Verschiebung um c-c in x-Richtung

Nullstellen xk=kπcx_k=k\cdot\pi-c mit kϵZ k \: \epsilon \: \mathbb {Z}

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Auf der nächsten Seite wird der Einfluss des Parameters dd bei der Funktion g(x)=sin(x)+dg(x)=\sin(x)+d untersucht.

5 Parameter d

g(x)=sin(x)+dg(x)=\sin(x)+d

Untersuche die Auswirkung des Parameters dd auf den Graphen der Funktion, indem du durch Betätigung des Schiebereglers oberhalb der Sinuskurve den Parameter dd veränderst.

Beantworte anschließend die Fragen unterhalb des Geogebra-Applets.

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Merke

y=sin(x)+dy=\sin(x)+d mit dϵRd \: \epsilon \: \mathbb {R}

Verschiebung um d in y-Richtung

W=[1+d; 1+d]W=[-1+d;\ 1+d]

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Auf der nächsten Seite findest du eine Zusammenfassung der bisherigen Ergebnisse.

6 Zusammenfassung

Allgemeine Sinusfunktion f(x)=asin(bx+c)+df(x)=a\cdot\sin(b\cdot x+c)+d

y=asin(x)y=a\cdot\sin(x) mit a ϵ\epsilon R\mathbb{R}

Streckung mit dem Faktor |aa| in y-Richtung

Wertemenge: W = [-|aa|; |aa|]

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Für a<0 wird der Graph der Sinusfunktion an der x-Achse gespiegelt.

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y=sin(bx)y=\sin(b\cdot x) mit b ϵ\epsilon R\mathbb {R} und b0b\ne0

Streckung um Faktor 1b\frac{1}{|b|} in x-Richtung

Periode: p=2πbp=\frac{2\pi}{|b|}

Wertemenge: W =[-1;1]

Nullstellen: xk=πbkx_k=\frac{\pi}{b}\cdot k mit k ϵ\epsilon Z\mathbb {Z}

Bild

Falls b<0b<0 wird der Graph der Sinusfunktion an der y-Achse gespiegelt.

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y=sin(x+c)y=\sin(x+c) mit c ϵ\epsilon R\mathbb{R}

Verschiebung um c-c in x-Richtung

Nullstellen xk=kπcx_k=k\cdot\pi-c mit kϵZ k \: \epsilon \: \mathbb {Z}

Bild
y=sin(x)+dy=\sin(x)+d mit d ϵ\epsilon R\mathbb{R}

Verschiebung um d in y-Richtung

W=[1+d; 1+d]W=[-1+d;\ 1+d]

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Auf der nächsten Seite lernst du, wie man zu einem gegebenen Graphen die zugehörige Funktionsgleichung bestimmen kann.

7 Bestimmen der Funktionsgleichung bei gegebenen Graphen

Beispielaufgabe:

Ermittle zum folgenden Graphen GfG_f der Funktion ff eine Funktionsgleichung.

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Lösung

Schritt 1

Zeichne eine Parallele zur x-Achse ein, von der die Hoch- und Tiefpunkte des Graphen gleich weit entfernt sind. Diese Parallele nennt man Mittellinie.

Schritt 2

Suche einen Schnittpunkt S von GfG_f und der Mittellinie, so dass GfG_f in der Umgebung von S steigt und der in sich in der Nähe der y-Achse befindet (Nur nötig, damit Lösung eindeutig ist). Diesen Schnittpunkt nennt man auch Startpunkt S.

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Schritt 3

Nun kann man die Parameter folgendermaßen bestimmen:

  • a: Der Abstand, den die Hoch- bzw. Tiefpunkte von der Mittellinie haben, ist a. Diesen Abstand nennt man Amplitude.

  • Vom Punkt S (oder von einem Hochpunkt oder von einem Tiefpunkt) ausgehend bestimmt man die Periode p und damit den Parameter b mit b=2πpb=\frac{2\pi}{p}.

  • c: |c| ist der Abstand von S zur y-Achse. Dabei ist c positiv, wenn S links von der y-Achse liegt, und c ist negativ, wenn S rechts von der y-Achse liegt. Bemerkung: c ist nicht eindeutig bestimmbar, da es mehrere Möglichkeiten für den Startpunkt gibt.

  • d: Die Verschiebung von S in y-Richtung ist d.

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Schritt 4

Aufstellen der Funktionsgleichung

y=asin[b(x+c)]+d=1,5sin[1(x+(π3)]+1=1,5sin(xπ3)+1]y=a\cdot\sin[b\cdot(x+c)]+d=1{,}5\cdot\sin\left[1\cdot\left(x+\left(-\frac{\pi}{3}\right)\right]+1=1{,}5\cdot\sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right)+1\right]

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Aufgabe 1:

Bestimme eine Funktionsgleichung zum folgenden Graphen.

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Aufgabe 2:

Bestimme eine Funktionsgleichung zum folgenden Graphen.

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