Allgemeine Sinusfunktion f(x)=a⋅sin[b⋅(x+c)]+d

1 Einführung

Verändert man den Funktionsterm der Sinusfunktion $f(x)=\sin(x)$ mithilfe von Parametern, z. Bsp. $a⋅\sin(x)$ oder $\sin(x+c)$ , so gehen die zugehörigen Graphen aus dem der Sinusfunktion durch Strecken, Verschieben oder Spiegeln hervor.

In diesem Kurs wird der Einfluss der Paramater $a, b, c$ und $d$ bei der allgemeinen Sinusfunktion $f(x)=a⋅sin \left[ b⋅ \left( x+c \right) \right] +d$ untersucht.

Auf der nächsten Seite wird der Einfluss des Parameters $a$ bei der Funktion $g(x)=a\cdot\sin(x)$ untersucht.

2 Parameter a

$g(x)=a\cdot sin(x)$

Untersuche die Auswirkung des Parameters a auf den Graphen der Funktion, indem du durch Betätigung des Schiebereglers oberhalb der Sinuskurve den Parameter a veränderst.

Beantworte anschließend die Fragen unterhalb des Geogebra-Applets.

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Merke

$y=a\cdot\sin\ \left(x\right)$ mit $a \:\epsilon \:\mathbb{R}$ und $a\ne0$

Streckung mit dem Faktor | $a$ | in y-Richtung

Für $a < 0$ wird der Graph der Sinusfunktion an der x-Achse gespiegelt.

Wertemenge: W = [-| $a$ |; | $a$ |]

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Die Ruhelage ist derjenige Funktionswert, um den die Funktion (bildlich gesprochen) schwingt. Sie liegt also in der Mitte zwischen dem höchsten und niedrigsten Funktionswert.

Die Amplitude entspricht dem größten Abstand der Funktion zur Ruhelage. Sie wird auch als "größte Auslenkung" beschrieben.

Merke

Der Betrag von a wird als Amplitude bezeichnet.

Auf der nächsten Seite wird der Einfluss des Parameters $b$ bei der Funktion $g(x)=\sin(b\cdot x)$ untersucht.

3 Parameter b

$g(x)=\sin(b\cdot x)$

Untersuche die Auswirkung des Parameters b auf den Graphen der Funktion, indem du durch Betätigung des Schiebereglers oberhalb der Sinuskurve den Parameter b veränderst.

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Merke

$y=\sin(b\cdot x)$ mit $b$ $\epsilon \: \mathbb{R}$ und b $\neq \ne$ 0

Streckung um Faktor $\frac{1}{|b|}$ in x-Richtung

Falls $b < 0$ wird der Graph der Sinusfunktion an der y-Achse gespiegelt.

Periode: $p=\frac{2\pi}{|b|}$

Nullstellen: $x_k=\frac{\pi}{b}\cdot k$ mit k $\epsilon$ $\mathbb {Z}$

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Auf der nächsten Seite wird der Einfluss des Parameters $c$ bei der Funktion $g(x)=\sin(x+c)$ untersucht.

4 Parameter c

$g(x)=\sin(x+c)$

Untersuche die Auswirkung des Parameters c auf den Graphen der Funktion, indem du durch Betätigung des Schiebereglers oberhalb der Sinuskurve den Parameter c veränderst.

Beantworte anschließend die Fragen unterhalb des Geogebra-Applets.

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Merke

$y=\sin(x+c)$ mit $c \: \epsilon \: \mathbb {R}$

Verschiebung um $- c$ in x-Richtung

Nullstellen $x_k=k\cdot\pi-c$ mit $k \: \epsilon \: \mathbb {Z}$

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Auf der nächsten Seite wird der Einfluss des Parameters $d$ bei der Funktion $g(x)=\sin(x)+d$ untersucht.

5 Parameter d

$g(x)=\sin(x)+d$

Untersuche die Auswirkung des Parameters $d$ auf den Graphen der Funktion, indem du durch Betätigung des Schiebereglers oberhalb der Sinuskurve den Parameter $d$ veränderst.

Beantworte anschließend die Fragen unterhalb des Geogebra-Applets.

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Merke

$y=\sin(x)+d$ mit $d \: \epsilon \: \mathbb {R}$

Verschiebung um d in y-Richtung

$W=[-1+d;\ 1+d]$

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Auf der nächsten Seite findest du eine Zusammenfassung der bisherigen Ergebnisse.

6 Zusammenfassung

Allgemeine Sinusfunktion $f(x)=a\cdot\sin(b\cdot x+c)+d$

$y=a\cdot\sin(x)$ mit a $\epsilon$ $\mathbb{R}$

Streckung mit dem Faktor | $a$ | in y-Richtung

Wertemenge: W = [-| $a$ |; | $a$ |]

Für a<0 wird der Graph der Sinusfunktion an der x-Achse gespiegelt.

$y=\sin(b\cdot x)$ mit b $\epsilon$ $\mathbb {R}$ und $b\ne0$

Streckung um Faktor $\frac{1}{|b|}$ in x-Richtung

Periode: $p=\frac{2\pi}{|b|}$

Wertemenge: W =[-1;1]

Nullstellen: $x_k=\frac{\pi}{b}\cdot k$ mit k $\epsilon$ $\mathbb {Z}$

Falls $b < 0$ wird der Graph der Sinusfunktion an der y-Achse gespiegelt.

$y=\sin(x+c)$ mit c $\epsilon$ $\mathbb{R}$

Verschiebung um $- c$ in x-Richtung

Nullstellen $x_k=k\cdot\pi-c$ mit $k \: \epsilon \: \mathbb {Z}$

$y=\sin(x)+d$ mit d $\epsilon$ $\mathbb{R}$

Verschiebung um d in y-Richtung

$W=[-1+d;\ 1+d]$

Auf der nächsten Seite lernst du, wie man zu einem gegebenen Graphen die zugehörige Funktionsgleichung bestimmen kann.

7 Bestimmen der Funktionsgleichung bei gegebenen Graphen

Beispielaufgabe:

Ermittle zum folgenden Graphen $G_{f}$ der Funktion $f$ eine Funktionsgleichung.

Lösung

Schritt 1

Zeichne eine Parallele zur x-Achse ein, von der die Hoch- und Tiefpunkte des Graphen gleich weit entfernt sind. Diese Parallele nennt man Mittellinie.

Schritt 2

Suche einen Schnittpunkt S von $G_{f}$ und der Mittellinie, so dass $G_{f}$ in der Umgebung von S steigt und der in sich in der Nähe der y-Achse befindet (Nur nötig, damit Lösung eindeutig ist). Diesen Schnittpunkt nennt man auch Startpunkt S.

Schritt 3

Nun kann man die Parameter folgendermaßen bestimmen:

a: Der Abstand, den die Hoch- bzw. Tiefpunkte von der Mittellinie haben, ist a. Diesen Abstand nennt man Amplitude.
Vom Punkt S (oder von einem Hochpunkt oder von einem Tiefpunkt) ausgehend bestimmt man die Periode p und damit den Parameter b mit $b=\frac{2\pi}{p}$ .
c: |c| ist der Abstand von S zur y-Achse. Dabei ist c positiv, wenn S links von der y-Achse liegt, und c ist negativ, wenn S rechts von der y-Achse liegt. Bemerkung: c ist nicht eindeutig bestimmbar, da es mehrere Möglichkeiten für den Startpunkt gibt.
d: Die Verschiebung von S in y-Richtung ist d.

Schritt 4

Aufstellen der Funktionsgleichung

$y=a\cdot\sin[b\cdot(x+c)]+d=1{,}5\cdot\sin\left[1\cdot\left(x+\left(-\frac{\pi}{3}\right)\right]+1=1{,}5\cdot\sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right)+1\right]$

Aufgabe 1:

Bestimme eine Funktionsgleichung zum folgenden Graphen.

Aufgabe 2:

Bestimme eine Funktionsgleichung zum folgenden Graphen.

Du hast das Ende des Kurses zur allgemeinen Sinusfunktion erreicht.