Konfidenzintervalle

Schluss von der Stichprobe auf die Gesamtheit

Der wahre Wert $pp$ für die Wahrscheinlichkeit (z. B. Fehlerwahrscheinlichkeit einer Maschine) ist unbekannt.

Die Wahrscheinlichkeit $pp$ soll durch den prozentualen Anteil ${\displaystyle \frac{X}{n}}\backslash dfrac\{X\}\{n\}$ in einer Stichprobe der Größe $nn$ abgeschätzt werden.

Aus der Stichprobe wird der Wert des prozentualen Anteils ${\displaystyle \frac{X}{n}}\backslash dfrac\{X\}\{n\}$ bestimmt. Dieser Wert ist ein erster Schätzwert für die unbekannte Wahrscheinlichkeit $pp$.

Zur Eingrenzung des wahren Wertes für $pp$ bildet man ein Intervall um ${\displaystyle \frac{X}{n}}\backslash dfrac\{X\}\{n\}$ herum (dessen Mitte ${\displaystyle \frac{X}{n}}\backslash dfrac\{X\}\{n\}$ ist), welches $pp$ enthalten soll.

Abhängig von der gewünschten Sicherheitswahrscheinlichkeit $\gamma \backslash gamma$ (Vertrauensniveau), mit der das Intervall $pp$ überdecken soll, wird die Intervallgröße berechnet.

Näherungsverfahren zur Bestimmung von Konfidenzintervallen

Das Rechenverfahren zur Bestimmung von Konfidenzintervallen ist recht aufwendig.

Deshalb wird ein Näherungsverfahren eingesetzt.

Für $\mathrm{0,3}\le h\le \mathrm{0,7}0\{,\}3\backslash leq\; h\backslash leq\; 0\{,\}7$ kann $pp$ unter der Wurzel durch $hh$ ersetzt werden.

$\Rightarrow \mid {\displaystyle \frac{X}{n}}-p\mid \le c\cdot \sqrt{{\displaystyle \frac{p\cdot (1-p)}{n}}}\Rightarrow \mid h-p\mid \le c\cdot \sqrt{{\displaystyle \frac{h\cdot (1-h)}{n}}}\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;\backslash left|\backslash dfrac\{X\}\{n\}-p\backslash right|\backslash leq\; c\backslash cdot\; \backslash sqrt\{\backslash dfrac\{p\backslash cdot\; (1-p)\}\{n\}\; \}\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;\backslash left|h-p\backslash right|\backslash leq\; c\backslash cdot\; \backslash sqrt\{\backslash dfrac\{h\backslash cdot\; (1-h)\}\{n\}\; \}$

Mit den Zahlen aus dem Musterbeispiel $h=\mathrm{0,09}h=0\{,\}09$ und $n=400,c=\mathrm{1,96}n=400,\; c=1\{,\}96$ folgt dann:

$\mid \mathrm{0,09}-p\mid \le \mathrm{1,96}\cdot \sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{0,09}\cdot (1-\mathrm{0,09})}{400}}}\backslash left|\; 0\{,\}09-p\backslash right|\backslash leq\; 1\{,\}96\backslash cdot\; \backslash sqrt\{\backslash dfrac\{0\{,\}09\backslash cdot\; (1-0\{,\}09)\}\{400\}\; \}$

$\mid \mathrm{0,09}-p\mid \le \mathrm{0,0280}\Rightarrow p_1\approx \mathrm{0,0620}{p}_2\approx \mathrm{0,1180}\Rightarrow [\mathrm{0,0620};\mathrm{0,1180}]\backslash left|\; 0\{,\}09-p\backslash right|\backslash leq\; 0\{,\}0280\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;p\_1\backslash approx0\{,\}0620\backslash quad\; p\_2\backslash approx0\{,\}1180\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;[0\{,\}0620;0\{,\}1180]$

Bei exakter Rechnung liegt $pp$ im Intervall $[\mathrm{0,0657};\mathrm{0,1221}][0\{,\}0657\backslash ;;\backslash ;0\{,\}1221]$, bei der Näherungslösung liegt $pp$ im Intervall $[\mathrm{0,0620};\mathrm{0,1180}][0\{,\}0620;0\{,\}1180]$, also nur geringfügig anders.

Wahl eines genügend großen Stichprobenumfangs

Der Anteil in der Stichprobe soll sich vom Anteil in der Gesamtheit um höchsten den Wert ${\displaystyle \frac{d}{2}}\backslash dfrac\{d\}\{2\}$ unterscheiden. Wie groß muss die Stichprobe sein?

Was wir haben wollen, ist $\mid {\displaystyle \frac{X}{n}}-p\mid \le {\displaystyle \frac{d}{2}}\backslash left|\; \backslash dfrac\{X\}\{n\}-p\backslash right|\backslash leq\; \backslash dfrac\{d\}\{2\}$.

Wir wissen $\mid {\displaystyle \frac{X}{n}}-p\mid \le c\cdot {\displaystyle \frac{\sigma }{n}}\backslash left|\; \backslash dfrac\{X\}\{n\}-p\backslash right|\backslash leq\; c\backslash cdot\; \backslash dfrac\{\backslash sigma\}\{n\}$

Wenn also

ist, muss auch die gesuchte Ungleichung $\mid {\displaystyle \frac{X}{n}}-p\mid \le {\displaystyle \frac{d}{2}}\backslash left|\; \backslash dfrac\{X\}\{n\}-p\backslash right|\backslash leq\; \backslash dfrac\{d\}\{2\}$ gelten.

Die Ungleichung $c\cdot {\displaystyle \frac{\sigma }{n}}\le {\displaystyle \frac{d}{2}}c\backslash cdot\; \backslash dfrac\{\backslash sigma\}\{n\}\backslash leq\; \backslash dfrac\{d\}\{2\}$ wird nach $nn$ aufgelöst (siehe Musterbeispiel).

Näherungslösung für die Wahl eines genügend großen Stichprobenumfangs

Für das Konfidenzintervall gilt: $\mid {\displaystyle \frac{X}{n}}-p\mid \le c\cdot {\displaystyle \frac{\sigma }{n}}\backslash left|\backslash dfrac\{X\}\{n\}-\; p\backslash right|\backslash leq\; c\backslash cdot\backslash dfrac\{\backslash sigma\}\{n\}$

Für die Länge $ll$ des Konfidenzintervalls gilt:

$l\le 2\cdot c\cdot \sqrt{{\displaystyle \frac{p(1-p)}{n}}}l\backslash leq\; 2\backslash cdot\; c\backslash cdot\; \backslash sqrt\{\backslash dfrac\{p(1-p)\}\{n\}\}$

Das Produkt $p(1-p)p(1-p)$ wird für $p=\mathrm{0,5}p=0\{,\}5$ am größten.

Dann gilt:

$l\le 2\cdot c\cdot \sqrt{{\displaystyle \frac{p(1-p)}{n}}}\le 2\cdot c\cdot \sqrt{{\displaystyle \frac{1}{4n}}}l\backslash leq\; 2\backslash cdot\; c\backslash cdot\; \backslash sqrt\{\backslash dfrac\{p(1-p)\}\{n\}\}\backslash leq\; 2\backslash cdot\; c\backslash cdot\; \backslash sqrt\{\backslash dfrac\{1\}\{4n\}\}$

Diese Länge $ll$ soll höchstens gleich $dd$ sein, d. h. die Länge des Konfidenzintervalls ist dann gleich $dd$.

$\Rightarrow 2\cdot c\cdot \sqrt{{\displaystyle \frac{1}{4n}}}\le d\Rightarrow n\ge {\displaystyle \frac{c^2}{d^2}}\backslash Rightarrow\backslash ;\; 2\backslash cdot\; c\backslash cdot\; \backslash sqrt\{\backslash dfrac\{1\}\{4n\}\}\backslash leq\; d\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;n\backslash geq\; \backslash dfrac\{c^2\}\{d^2\}$

Für das Musterbeispiel "Wahl eines genügend großen Stichprobenumfangs" ergibt sich dann folgende Näherung:

Es ist ${\displaystyle \frac{d}{2}}=\mathrm{0,01}\Rightarrow d=2\cdot \mathrm{0,01}=\mathrm{0,02}\backslash dfrac\{d\}\{2\}=0\{,\}01\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;d=2\backslash cdot\; 0\{,\}01=0\{,\}02$ und $c=3c=3$.

Bei der genauen Rechnung im Musterbeispiel "Wahl eines genügend großen Stichprobenumfangs" erhielt man $n\ge 21600n\backslash geq\; 21600$. Im Vergleich dazu die mit geringerem Rechenaufwand ermittelte Näherungslösung $n\ge 22500n\backslash geq\; 22500$.