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Transformationen von Funktionen

Verschiebung in Richtung der x-Achse

Verschiebung in Richtung der x-Achse

Wird eine Funktion ff transformiert, dann wird sie in eine neue Funktion gg umgewandelt.

Mögliche Transformationen sind:

  • Verschieben

  • Skalieren

  • Spiegeln

  • Kombinationen von Transformationen

Übersicht

Transformation

Ergebnis:

Der Graph GgG_g geht aus

dem Graphen GfG_f hervor, durch

Beispiel

g(x)=f(x)+ag(x)=f(x)+a

Verschiebung um

a|a|-Einheiten in y-Richtung nach oben, für a>0a>0.

Verschiebung um

a|a|-Einheiten in y-Richtung nach unten, für a<0a<0.

Verschiebung in Richtung der y-Achse

Verschiebung in Richtung der y-Achse

g(x)=f(x+a)g(x)=f(x+a)

                             ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Verschiebung um a|a|-Einheiten

in x-Richtung nach links,

für a>0a>0.

Verschiebung um a|a|-Einheiten

in x-Richtung nach rechts,

für a<0a<0.

Verschiebung in Richtung der x-Achse

Verschiebung in Richtung der x-Achse

g(x)=af(x)g(x)=a\cdot f(x)

a>0a>0

Skalierung in y-Richtung:

Streckung für a>1a>1

Stauchung für 0<a<10<a<1

Streckung und Stauchung

Streckung und Stauchung

g(x)=f(ax)g(x)=f(a\cdot x)

a>0a>0

Skalierung in x-Richtung:

Streckung mit Faktor 1a\dfrac{1}{a}, für 0<a<10<a<1

Stauchung mit Faktor 1a\dfrac{1}{a}, für a>1a>1

Skalierung in x-Richtung

Skalierung in x-Richtung

g(x)=f(x)g(x)=-f(x)

Spiegelung an der x-Achse

Spiegelung an der  x-Achse

Spiegelung an der x-Achse

g(x)=f(x)g(x)=f(-x)

Spiegelung an der y-Achse

Spiegelung an der y-Achse

Spiegelung an der y-Achse

g(x)=f(x)g(x)=-f(-x)

Spiegelung am Koordinatenursprung

Spiegelung am Koordinatenursprung

Spiegelung am Koordinatenursprung

Im folgenden Applet kann man sich die Wirkung von fünf verschiedenen Transformationen auf die Funktion f(x)=x44x2f(x)=x^4-4x^2 ansehen. Verschiebe dazu die entsprechenden Schieberegler. Beim Klick auf das Kästchen ss wird die Funktion an der x-Achse gespiegelt.

Kombinationen von Transformationen

Es können mehrere Transformationen nacheinander ausgeführt werden. Zu beachten ist dabei die Reihenfolge der durchgeführten Transformationen. Bei einigen Transformationen entsteht ein anderer Funktionsterm, wenn die Reihenfolge vertauscht wird.

BeachteReihenfolge der Transformationen

Beachte bei einer Aufgabenstellung, dass die geforderten Transformationen in der angegebenen Reihenfolge durchgeführt werden müssen.

Beachtet man die Reihenfolge nicht, kann sich unter Umständen ein ganz anderer Funktionsterm ergeben.

Die folgende Tabelle zeigt die Ergebnisse bei Vertauschung der Reihenfolge.

g(x)=f(x)+ag(x)=f(x)+a

               ~~~~~~~~~~~~~~~

g(x)=f(x+a)g(x)=f(x+a)

               ~~~~~~~~~~~~~~~

g(x)=af(x)g(x)=a\cdot f(x)

g(x)=f(ax)g(x)=f(a\cdot x)

g(x)=f(x)g(x)=-f(x)

g(x)=f(x)g(x)=f(-x)

g(x)=f(x)g(x)=-f(-x)

g(x)=f(x)+ag(x)=f(x)+a

               ~~~~~~~~~~~~~~~

-----------

Reihen-folge egal

Reihen-folge beachten

Reihen-folge egal

Reihen-folge beachten

Reihen-folge egal

Reihen-folge beachten

g(x)=f(x+a)g(x)=f(x+a)

Reihen-folge egal

-----------

Reihen-folge egal

Reihen-folge beachten

Reihen-folge egal

Reihen-folge beachten

Reihen-folge beachten

g(x)=af(x)g(x)=a\cdot f(x)

Reihen-folge beachten

Reihen-folge egal

----------

Reihen-folge egal

Reihen-folge egal

Reihen-folge egal

Reihen-folge egal

g(x)=f(ax)g(x)=f(a\cdot x)

Reihen-folge egal

Reihen-folge beachten

Reihen-folge egal

----------

Reihen-folge egal

Reihen-folge egal

Reihen-folge egal

g(x)=f(x)g(x)=-f(x)

Reihen-folge beachten

Reihen-folge egal

Reihen-folge egal

Reihen-folge egal

----------

Reihen-folge egal

Reihen-folge egal

g(x)=f(x)g(x)=f(-x)

Reihen-folge egal

Reihen-folge beachten

Reihen-folge egal

Reihen-folge egal

Reihen-folge egal

----------

Reihen-folge egal

g(x)=f(x)g(x)=-f(-x)

Reihen-folge beachten

Reihen-folge beachten

Reihen-folge egal

Reihen-folge egal

Reihen-folge egal

Reihen-folge egal

-----------

Führt man z.B. drei oder mehr Transformationen hintereinander aus, dann kann anhand der Tabelle geprüft werden, ob die Reihenfolge egal ist oder ob die Reihenfolge beachtet werden muss.

Beispiel 1:

Es werden die folgenden drei Transformationen durchgeführt:

(I)  g(x)=af(x)(II)  g(x)=f(ax)(III)  g(x)=f(x)\mathrm{(I)}\;g(x)=a\cdot f( x)\qquad\mathrm{(II)}\;g(x)=f(a\cdot x)\qquad\mathrm{(III)}\;g(x)=f(-x)

Prüfe anhand der Tabelle:

(I)\mathrm{(I)} mit (II)    \mathrm{(II)}\;\Rightarrow\;Reihenfolge egal

(I)\mathrm{(I)} mit (III)    \mathrm{(III)}\;\Rightarrow\;Reihenfolge egal

(II)\mathrm{(II)} mit (III)    \mathrm{(III)}\;\Rightarrow\;Reihenfolge egal

In diesem Fall spielt also die Reihenfolge der Transformationen keine Rolle.

Beispiel 2:

Es werden die folgenden drei Transformationen durchgeführt:

(I)  g(x)=f(x)+a(II)  g(x)=f(ax)(III)  g(x)=f(x)\mathrm{(I)}\;g(x)= f(x)+a\qquad\mathrm{(II)}\;g(x)=f(a\cdot x)\qquad\mathrm{(III)}\;g(x)=-f(x)

Prüfe anhand der Tabelle:

(I)\mathrm{(I)} mit (II)    \mathrm{(II)}\;\Rightarrow\;Reihenfolge egal

(I)\mathrm{(I)} mit (III)    \mathrm{(III)}\;\Rightarrow\;Reihenfolge beachten

(II)\mathrm{(II)} mit (III)    \mathrm{(III)}\;\Rightarrow\;Reihenfolge egal

In diesem Fall spielt also die Reihenfolge der Transformationen eine Rolle.


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