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Rechnen mit Proportionalitäten

Die Proportionalität ist ein funktionaler Zusammenhang, das heißt eine "Art und Weise", wie mathematische Objekte miteinander zusammenhängen.

Ein alltägliches Beispiel ist das Einkaufen beim Bäcker. Die doppelte Menge Brezeln zu kaufen, kostet doppelt so viel - das ist ein proportionaler Zusammenhang.

Größen berechnen

Weiß man, dass die Zuordnung proportional ist und kennt den Proportionalitätsfaktor pp, so berechnet man die gefragte Größe xx, indem man die Grundgröße yy mit dem Proportionalitätsfaktor multipliziert:

x=pyx = p \cdot y

Achtung:

Je nachdem, was in der Aufgabenstellung gefragt ist, kann die Grundgröße und zugeordnete Größe verschieden sein. Wichtig ist, dass die gefragte Größe immer die zugeordnete Größe ist.

Beispiel

Kosten 55 Rosen 7,507{,}50 €, so ist der Preis proportional zur Anzahl der Rosen.

  • Nun möchte man den Preis für 22 Rosen berechnen. Die Anzahl an Rosen ist also die Grundgröße, der Preis die zugeordnete Größe (da danach gefragt ist)  und man berechnet den Proportionalitätsfaktor, indem man den Preis durch die Anzahl an Rosen dividiert, also  7,50:5=1,57{,}50:5=1{,}5. Der Preis für 22 Rosen ist dann die Anzahl multipliziert mit dem Proportionalitätsfaktor, also  21,5=32\cdot1{,}5=3 und 22 Rosen kosten 33 €.

  • Möchte man aber wissen, wie viele Rosen man für 6 € bekommt, ist der Preis die Grundgröße und die Anzahl die zugeordnete Größe. Nun berechnet man den Proportionalitätsfaktor also, indem man die Anzahl an Rosen durch den Preis dividiert, also 5:7,50=0,65:7{,}50=0,\overline6 und kann durch Proportionalitätsfaktor mal Grundgröße, also 0,66=40,\overline6\cdot6=4 berechnen, dass man mit 6 644 Rosen bekommt.

Proportionalitätsfaktor berechnen

Um den Proportionalitätsfaktor einer proportionalen Zuordnung zu berechnen, genügt es, sich ein Wertepaar herauszunehmen und diese zu dividieren; und zwar immer so, dass man die zugeordnete Größe durch die Grundgröße dividiert. Im Schaubild bedeutet dies, einen Wert der yy-Achse durch einen Wert der xx-Achse zu dividieren.

Auf Proportionalität prüfen

Um verschiedene Werte auf Proportionalität zu prüfen, genügt es, überall den Proportionalitätsfaktor zu berechnen. Ist dieser überall gleich, so sind die Werte proportional zueinander.

Direkte Proportionalität - Proportionalitätsfaktor

Indirekte Proportionalität - Proportionalitätskonstante

Bei der indirekten Proportionalität (umgekehrte Proportionalität, Antiproportionalität) ist das Produkt zweier Größen immer konstant. Dieses Produkt wird als Proportionalitätskonstante CC bezeichnet und es gilt: yx=Cy\cdot x=C oder y=Cxy = \frac{C}{x}.

Wenn also das Produkt zweier Größen immer konstant ist, sind die Größen indirekt proportional.

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