606. Schaltnetze - Schaltgleichung und Schaltbelegungstabelle aus Schaltbild ermitteln

Zu Beginn …

Bei der Vorstellung der Schaltfunktionen hatten wir bereits gesehen, dass diese sich jeweils als Schaltbild, als Schaltgleichung und als Schaltbelegungstabelle darstellen lassen. Anhand eines Beispiels soll nun gezeigt werden, wie man von einer gegebenen Schaltung auf eine Gleichung und auf die Schaltbelegungstabelle schließen kann.

Ermittlung der Schaltgleichung aus dem Schaltbild

Als Beispiel haben wir das folgende einfache Schaltnetz gegeben:

Grundsätzlich wird ein Schaltbild immer von links nach rechts und von oben nach unten gelesen. Somit sind links (oder links oben) die Eingangswerte und rechts (oder rechts unten) die Ausgangswerte.

Aus diesem Schaltbild lässt sich nun ganz einfach die Schaltgleichung ablesen:

1. Der Eingang von $b$ ist negiert, also liegt an diesem Eingang das Signal $\overline b$ an

2. $a$ und $\overline b$ sind miteinander UND-verknüpft: $a \wedge \overline b$

3. Das Ergebnis der UND-Verküpfung wird mit $c$ ODER-verknüpft: $(a \wedge \overline b) \vee c$

4. Das Ergebnis der ODER-Verknüpfung ist gleichzeitig das Ausgangssignal, so dass die komplette Gleichung folgendermaßen lautet:$y = (a \wedge \overline b) \vee c$

Ermittlung der Schaltbelegungstabelle aus dem Schaltbild

Als Beispiel nutzen wir nochmal das obige Schaltnetz. In diesem markieren wir noch den Ausgang des UND-Gatters mit einer Hilfsvariable $h$, um in der Tabelle ein Zwischenergebnis eintragen zu können - das ist später hilfreich, um die Übersicht zu behalten.

Schritt 1 - Tabellenkopf erstellen

Zuerst erstellen wir die leere Tabelle. Um sie übersichtlich zu gestalten brauchen wir insgesamt 6 Spalten:

• für die drei Eingangssignale ($a,b,c$),

• für das negierte Eingangssignal $\overline b$,

• für die Hilfsvariable $h$ als Zwischenergebnis von der UND-Verküpfung

• und schließlich für das Ausgangssignal y

$a$

$b$

$c$

$\overline b$

$h$

$y$

…

Schritt 2 - Eingangswerte eintragen

Als zweites tragen wir für die Eingangssignale nun alle möglichen Kombinationen ein, die auftreten können. Hierbei ist für uns folgende Feststellung wichtig: ==Bei $n$ Eingangswerten gibt es genau $2^n$ verschiedene Möglichkeiten!== In unserem Fall sind das $2^3 = 8$ Möglichkeiten und damit 8 Zeilen in der Tabelle.

Füllt man diese Werte systematisch aus, minimieren sich auch die Fehler dabei:

1. Bei dem ersten Eingangssignal die erste Hälfte der Zeilen mit einer 0, die zweite Hälfte mit einer 1 füllen.

2. Bei dem nächsten Eingangssignal halb so viele Zeilen nacheinander mit einer 0 und dann mit einer 1 füllen (und dies wiederholen, bis alle Zeilen gefüllt sind)

3. Schritt 2 für alle weiteren Eingangswerte wiederholen (und dabei Anzahl der Zeilen für Wechsel zwischen 0 und 1 immer weiter halbieren)

Wir tragen dann auch gleich noch die Werte von $\overline b$ mit ein, wobei ja nur die Nullen und Einsen aus der Spalte von $b$ "vertauscht" werden. Das sieht dann folgendermaßen aus:

$a$

$b$

$c$

$\overline b$

$h$

$y$

0

0

0

1

0

0

1

1

0

1

0

0

0

1

1

0

1

0

0

1

1

0

1

1

1

1

0

0

1

1

1

0

Schritt 3 - Zwischenergebnisse eintragen

Wir haben in unserem Fall nur ein Zwischenergebnis - und zwar das Ergbenis der UND-Verknüpfung als Hilfsvariable $h = (a \wedge \overline b)$. Wie war doch gleich das Ergebnis einer UND-Verknüpfung festgelegt? Also welche Werte müssen $a$ und $\overline b$ haben, damit $h=1$ ist?

Richtig ;) Die Hilfsvariable $h$ ist genau dann 1, wenn sowohl $a$ als auch $\overline b$ den Wert 1 haben! Das ist an genau zwei Stellen der Fall. Und so tragen wir in diesen Zeilen für $h$ eine 1 ein, in allen anderen Zeilen jedoch eine 0.

$a$

$b$

$c$

$\overline b$

$h$

$y$

0

0

0

1

0

0

0

1

1

0

0

1

0

0

0

0

1

1

0

0

1

0

0

1

1

1

0

1

1

1

1

1

0

0

0

1

1

1

0

0

Schritt 4 - Ausgangswerte eintragen

Als letzten Schritt müssen wir jetzt noch die Ausgangswerte eintragen. Hierbei hilft es uns nun, dass wir ein Zwischenergebnis aufgestellt haben, denn so lassen sich die Ausgangswerte als Ergebnis der OR-Verknüpfung leicht ermitteln: $y = h \vee c$

Wie war doch gleich das Ergebnis einer OR-Verknüpfung festgelegt? Also welche Werte müssen $h$ und $c$ haben, damit $y=1$ ist?

Richtig ;) Das Ausgangssignal $y$ ist genau dann 1, wenn mindestens ein Wert von $h$ oder $c$ den Wert 1 hat! Das ist an genau fünf Stellen der Fall. Und so tragen wir in diesen Zeilen für $y$ eine 1 ein, in allen anderen Zeilen jedoch eine 0.

$a$

$b$

$c$

$\overline b$

$h$

$y$

0

0

0

1

0

0

0

0

1

1

0

1

0

1

0

0

0

0

0

1

1

0

0

1

1

0

0

1

1

1

1

0

1

1

1

1

1

1

0

0

0

0

1

1

1

0

0

1

Damit sind wir fertig :)