09. Schaltnetze - Übungen zum Entwickeln und Vereinfachen

Aufgabe 1

Vereinfache die folgende Schaltgleichung: $$\quad y = (a \vee \overline a) \wedge (\overline{\overline b} \vee b)$$

Kurzlösung:

$$y = b$$

Ausführlicher Rechenweg:

Hinweis: Die Nummern der Regeln beziehen sich auf die Übersicht im Artikel zur Schaltalgebra!

  • Der erste Klammerausdruck %%(a \vee \overline a)%% ergibt nach Regel 8 den Wert %%1%%. Die Schaltgleichung lautet: $$y = 1 \wedge (\overline{\overline b} \vee b)$$
  • Im verbliebenen Klammerausdruck lässt sich nach Regel 11 die doppelte Negation bei %%\overline{\overline b}%% auflösen. Man erhält: $$y = 1 \wedge (b \vee b)$$
  • Somit steht in der Klammer %%b \vee b%%, was sich nach Regel 7 zu %%b%% vereinfacht. Dies führt zu: $$\quad y = 1 \wedge b$$
  • Nach Regel 2 vereinfacht ergibt sich als Ergebnis schließlich: $$\quad y = b$$

Aufgabe 2

Vereinfache die folgende Schaltgleichung: $$\quad y = (\overline{a \wedge b}) \wedge (a \vee \overline b)$$

Kurzlösung:

$$y = \overline b$$

Ausführlicher Rechenweg:

Hinweis: Die Nummern der Regeln beziehen sich auf die Übersicht im Artikel zur Schaltalgebra!

  • Der erste Klammerausdruck %%(\overline{a \wedge b})%% lässt sich per de Morgan'schem Gesetz (Regel 18) umwandeln zu %%(\overline a \vee \overline b)%%. Somit lautet die Schaltgleichung nun: $$\quad y = (\overline a \vee \overline b) \wedge (a \vee \overline b)$$
  • Nach Kürzungsregel 25 vereinfacht ergibt sich schließlich: $$\quad y = \overline b$$

Aufgabe 3

Ermittle für die angegebene Schaltung die zugehörige Schaltgleichung. Vereinfache diese anschließend weitestmöglich.

Zusatz: Versuche die vereinfachte Schaltgleichung so umzuformen, dass nur eine Sorte Logikgatter nötig ist.

Schaltnetz Beispiel

Kurzlösung:
  • aus Schaltung abgelesene Gleichung: %%\quad y = (\overline a \vee \overline b) \wedge (\overline a \vee b) \wedge (a \vee \overline b)%%
  • Vereinfachung: %%\quad y = \overline a \wedge \overline b%%
  • Darstellung mit nur einer Sorte Logikgatter: %%\quad y = a \text{ NOR } b%%
Ausführlicher Rechenweg:

Hinweis: Die Nummern der Regeln beziehen sich auf die Übersicht im Artikel zur Schaltalgebra! Weiterhin gibt es verschiedene Lösungswege - hier wird ein möglicher dargestellt!

  1. Die direkt aus der Schaltung abgelesene Gleichung lautet wie nachfolgend angegeben. Dabei beinhalten die drei Klammerausdrücke jeweils das Ergebnis der OR-Gatter. Diese werden schließlich AND-verküpft: %%\quad y = (\overline a \vee \overline b) \wedge (\overline a \vee b) \wedge (a \vee \overline b)%%

  2. Wenn wir nun die ersten beiden Klammerausdrücke mit der Regel 25 vergleichen, dann lassen sich diese beiden schlicht zu %%\overline a%% zusammenfassen. Die verkürzte Gleichung lautet nach diesem Schritt: %%\quad y = \overline a \wedge (a \vee \overline b)%%

  3. Vergleicht man die entstandene Schaltgleichung mit der Kürzungsregel 23, so vereinfacht sich diese weiter zum Endergebnis: %%\quad y = \overline a \wedge \overline b%%

Kommentar (alternativer Lösungsweg):

Nebenbei kann man auch direkt durch scharfes Hinsehen auf das Ergebnis kommen! In der ausführlichen Schaltgleichung zeigt sich, dass in jedem Klammerausdruck mindestens eine der Schaltvariablen negiert auftritt - und dass es egal ist, ob die andere auch negiert ist - es treten nämlich schlicht alle Kobinationen auf. Das heißt, man kann das Ergebnis auch direkt ablesen: %%\overline a%% ODER %%\overline b%%.

Ausführlicher Rechenweg zur Zusatzaufgabe:

Blickt man nun noch auf die de-Morgan'schen Gesetze (Regel 19), lässt sich die vereinfachte Schaltgleichung %%y = \overline a \wedge \overline b%% folgendermaßen umformen:

%%\quad y = \overline {a \vee b}%%

Und bei genauem Hinsehen lässt sich feststellen, dass dies nichts anderes ist als eine negierte OR-Verküpfung. Diese lässt sich auch mit einem einzelnen NOR-Gatter realisieren:

%%\quad y = a \text{ NOR } b%%

Aufgabe 4

  1. Ermittle aus der angegebenen Schaltbelegungstabelle eine Schaltgleichung. Wähle dafür eine sinnvolle Normalform.
  2. Vereinfache diese Schaltgleichung rechnerisch mithilfe der Schaltalgebra.
  3. Gib zu der vereinfachten Schaltgleichung eine Schaltung an.

%%a%%

%%b%%

%%c%%

%%y%%

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Kurzlösung:
  1. Gleichung in DNF: %%\quad y = (a \wedge \overline b \wedge \overline c) \vee (a \wedge \overline b \wedge c) \vee (a \wedge b \wedge \overline c)%%
  2. Vereinfachung: %%\quad y = a \wedge (\overline b \vee \overline c) \quad%% oder %%\quad y = a \wedge(\overline{b \wedge c})%%
  3. Schaltung (nach 1. vereinfachter Gleichung): Schaltnetz zu Aufgabe 4
Ausführlicher Rechenweg:

Hinweis: Die Nummern der Regeln beziehen sich auf die Übersicht im Artikel zur Schaltalgebra!

  1. Gleichung aufstellen: Es ist vorteilhaft die Gleichung in disjunktiver Normalform abzulesen, da nur drei der acht Ausgangswerte Einsen sind. Damit ergibt sich folgende Gleichung: $$\quad y = (a \wedge \overline b \wedge \overline c) \vee (a \wedge \overline b \wedge c) \vee (a \wedge b \wedge \overline c)$$
  2. Gleichung vereinfachen:
  • Da jeder Klammerausdruck die Schaltvariable %%a%% enthält, kann man diese ausklammern (vgl. Regel 16): $$\quad y = a \wedge \bigg( ( \overline b \wedge \overline c) \vee (\overline b \wedge c) \vee (b \wedge \overline c) \bigg)$$
  • Die beiden ersten nun entstandenen inneren Klammerausdrücke lassen sich nach Regel 24 schlicht und einfach zu %%\overline b%% zusammenfassen. Damit ergibt sich: $$\quad y = a \wedge \bigg( \overline b \vee (b \wedge \overline c) \bigg)$$
  • Der jetzt entstandene Ausdruck innerhalb der großen Klammern lässt sich zu %%\overline b \vee \overline c%% zusammenfassen (vgl. Regel 22), so dass wir als Ergbnis folgendes erhalten: $$\quad y = a \wedge (\overline b \vee \overline c)$$
  • Optional: Alternativ ließe sich die Schaltgleichung mittels eines de Morgan'schen Gesetzes auch folgendermaßen darstellen (Regel 18): $$\quad y = a \wedge (\overline{b \wedge c})$$
  1. Schaltung zeichnen:

    (dargestellt wird die Lösung ohne Umformung nach de Morgan) Schaltnetz zu Aufgabe 4

Kommentieren Kommentare

Leider sind in den Lösungen der Aufgaben Fehler enthalten, in 3 bspw. heißt es "y = -a v -b = a NOR b". Das ist nicht richtig, da müsste "a NAND b" stehen (Regel von de Morgan), dennoch ist eigentlich a NOR b richtig, es müsste dafür aber "y = -a ^ -b" heißen. Hier die richtigen Lösungen:
2) y = -b (-a und a kürzen sich weg, es bleibt nur noch -b übrig)
3) y = -a ^ -b = -(a v b) = a NOR b
Knorrke 2019-05-05 14:01:35
Hey, vielen Dank für den Hinweis :) Du hast natürlich absolut Recht. Bei Aufgabe 3 ist die ausführliche Lösung richtig, da ist wohl bei der Kurzlösung ein Schreibfehler unterlaufen. Bei 2 ist dein Ergebbus ebenfalls das korrekte. Ich bearbeite das gleich.

Du kannst Fehler übrigens auch immer gleich selbst ausbessern. Ein Reviewer schaut dann nochmal über die Bearbeitung drüber, also keine Angst davor, etwas kaputt zu machen! Meld dich gerne falls du dazu Fragen hast :)

Viele Grüße
Benni
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