Tipp: Hier kann dir der Artikel Bruchgleichungen lösen helfen. Wenn du dir noch unsicher bist, dann schau mal in den Kurs Bruchgleichungen rein.

Bruchgleichungen lösen

In dieser Lösung wirst du Wissen aus den Artikeln Über Kreuz multiplizieren und Buchgleichungen lösen brauchen.

Du möchtest diese Bruchgleichung lösen:

${\displaystyle \frac{7}{x}=\frac{1}{3\cdot x}-\frac{5x}{x\cdot (x+1)}}\backslash displaystyle\backslash frac\{7\}\{x\}=\backslash frac\{1\}\{3\backslash cdot\; x\}-\backslash frac\{5x\}\{x\backslash cdot(x+1)\}$.

Definitionsmenge bestimmen

Zum Beginn musst du die Definitionsmenge der Bruchgleichung bestimmen. Diese kannst du bestimmen, indem du die Definitionslücken der Bruchgleichung bestimmst.

Wie du dich vielleicht erinnerst, entsteht eine Lücke genau bei der Zahl, wo einer der Nenner $00$ werden würde. Man darf nämlich nicht durch $00$ teilen.

Setzte nun die einzelnen Nenner nacheinander gleich $00$:

Nenner des ersten Bruchs

$x=0x=0$

Also wird dieser Nenner $00$ für $x=0x=0$

Der Nenner des zweiten Bruchs

$3\cdot x=03\backslash cdot\; x=0$

$\mathrm{\mid }:3|:3$

$x=0x=0$

Also wird dieser Nenner $00$ für $x=0x=0$

Der Nenner des dritten Bruchs

$x\cdot (x+1)=0x\backslash cdot(x+1)=0$

Diese Gleichung gilt, wenn entweder $x=0x=0$ oder $x+1=0x+1=0$.

Also ist der Nenner des zweiten Bruchs genau dann gleich $00$, wenn entweder $x=0x=0$ oder $x=-1x=-1$.

Du erkennst also, dass hier $00$ und $-1-1$ die Definitionslücken von der Bruchgleichung sind.

Insgesamt ist die Definitionsmenge der Bruchgleichung $D=\mathbb{Q}\mathrm{\backslash }\{0,-1\}D=\backslash mathbb\{Q\}\backslash backslash\backslash \{0,-1\backslash \}$.

Gleichung bruchterm-frei machen

Der nächste Schritt ist die Gleichung von Brüchen zu befreien. Dies schafft man, indem man Über Kreuz multipliziert.

Der erste Schritt ist beide Seiten der Gleichung auf jeweils einen gleichen Nenner zu bringen:

${\displaystyle \frac{7}{x}=\frac{1}{3\cdot x}-\frac{5\cdot x}{x\cdot (x+1)}}\backslash displaystyle\backslash frac\{7\}\{x\}=\backslash frac\{1\}\{3\backslash cdot\; x\}-\backslash frac\{5\backslash cdot\; x\}\{x\backslash cdot(x+1)\}$

${\displaystyle \frac{7}{x}=\frac{x+1}{3\cdot x\cdot (x+1)}-\frac{3\cdot 5\cdot x}{3\cdot x\cdot (x+1)}}\backslash displaystyle\backslash frac\{7\}\{x\}=\backslash frac\{x+1\}\{3\backslash cdot\; x\backslash cdot(x+1)\}-\backslash frac\{3\backslash cdot5\backslash cdot\; x\}\{3\backslash cdot\; x\backslash cdot(x+1)\}$

Jetzt subtrahierst du die beiden Brüche auf der rechten Seite der Bruchgleichung voneinander:

${\displaystyle \frac{7}{x}=\frac{x+1-3\cdot 5\cdot x}{3\cdot x\cdot (x+1)}}\backslash displaystyle\backslash frac\{7\}\{x\}=\backslash frac\{x+1-3\backslash cdot5\backslash cdot\; x\}\{3\backslash cdot\; x\backslash cdot(x+1)\}$

${\displaystyle \frac{7}{x}=\frac{-14\cdot x+1}{3\cdot x\cdot (x+1)}}\backslash displaystyle\backslash frac\{7\}\{x\}=\backslash frac\{-14\backslash cdot\; x+1\}\{3\backslash cdot\; x\backslash cdot(x+1)\}$

Dann multplizierst du die Gleichung mit den beiden Nennern der Brüche:

${\displaystyle \frac{7}{x}=\frac{-14\cdot x+1}{3\cdot x\cdot (x+1)}}\backslash displaystyle\backslash frac\{7\}\{x\}=\backslash frac\{-14\backslash cdot\; x+1\}\{3\backslash cdot\; x\backslash cdot(x+1)\}$

$\mathrm{\mid }\cdot 3\cdot x\cdot (x+1)|\backslash cdot3\backslash cdot\; x\backslash cdot(x+1)$ und $\cdot x\backslash cdot\; x$

$7\cdot 3\cdot x\cdot (x+1)=x\cdot (-14\cdot x+1)7\backslash cdot3\backslash cdot\; x\backslash cdot(x+1)=x\backslash cdot(-14\backslash cdot\; x+1)$

Hier teilt man durch $xx$. Dies darf man, da $x=0x=0$ nicht in der Definitionsmenge liegt.

$7\cdot 3\cdot x\cdot (x+1)=x\cdot (-14\cdot x+1)7\backslash cdot3\backslash cdot\; x\backslash cdot(x+1)=x\backslash cdot(-14\backslash cdot\; x+1)$

$\mathrm{\mid }:x|:x$

$7\cdot 3\cdot (x+1)=-14\cdot x+17\backslash cdot3\backslash cdot\; (x+1)=-14\backslash cdot\; x+1$

Als letzter Schritt löst du nach x auf:

$21\cdot x+21=-14\cdot x+121\backslash cdot\; x+21=-14\backslash cdot\; x+1$

$\mathrm{\mid }+14\cdot x-21|+14\backslash cdot\; x-21$

$35\cdot x=-2035\backslash cdot\; x=-20$

$\mathrm{\mid }:35|:35$

${\displaystyle x=-\frac{20}{35}=-\frac{4}{7}}\backslash displaystyle\; x=-\backslash frac\{20\}\{35\}=-\backslash frac\{4\}\{7\}$

Also ist die Lösungsmenge der Bruchgleichung $L=\{-\frac{4}{7}\}L=\backslash \{-\backslash frac\{4\}\{7\}\backslash \}$ und die Definitionsmenge ist $D=\mathbb{Q}\mathrm{\backslash }\{0,-1\}D=\backslash mathbb\{Q\}\backslash backslash\backslash \{0,-1\backslash \}$.