Aufgaben zur Definitionsmenge von Bruchtermen und zu Bruchgleichungen

Bei jeder Bruchgleichung muss man zu Beginn die Definitionsmenge bestimmen.

$\dfrac{2+x}{1-x}=\dfrac{3x}{2-3x}$

Kein Nenner darf $0$ werden.

$1-x=0 \Leftrightarrow x=1$

$2-3x=0 \Leftrightarrow x=\dfrac23$

Damit lautet die Definitionsmenge: $D=\mathbb{Q}\backslash\left\{\dfrac23{,}1\right\}$

Bei dieser Bruchgleichung bietet sich das Verfahren Über Kreuz multiplizieren an.

$\displaystyle \dfrac{2+x}{\textcolor{red}{1-x}}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{3x}{\textcolor{blue}{2-3x}}$	$\displaystyle \cdot (1-x) \cdot (2-3x)$
$\displaystyle (2+x)\cdot \textcolor{blue}{(2-3x)}$	$=$	$\displaystyle \textcolor{blue}{3x}\cdot \textcolor{red}{(1-x)}$
	↓	Ausmultiplizieren.
$\displaystyle 4-6x+2x-3x^2$	$=$	$\displaystyle 3x-3x^2$
$\displaystyle 4-4x-3x^2$	$=$	$\displaystyle 3x-3x^2$	$\displaystyle +3x^2$
$\displaystyle 4-4x$	$=$	$\displaystyle 3x$	$\displaystyle +4x$
$\displaystyle 4$	$=$	$\displaystyle 7x$	$\displaystyle :7$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \frac{4}{7}$

Da $\dfrac47$ in der Definitionsmenge enthalten ist, lautet die Lösungsmenge:

\displaystyle \frac{2+x}{1-x}=\frac{3x}{2-3x}