Die Abbildung zeigt modellhaft ein Einfamilienhaus, das auf einer horizontalen FlÀche steht. Auf einer der beiden rechteckigen DachflÀchen soll eine Dachgaube errichtet werden. Die Punkte A, B, C, D, O, P, Q und R sind die Eckpunkte eines Quaders. Das gerade dreiseitige Prisma LMNIJK stellt die Dachgaube dar, die Strecke [GH]den First des Dachs, d. h. die obere waagrechte Dachkante. Eine LÀngeneinheit im Koordinatensystem entspricht 1 m, d. h. das Haus ist 10 m lang.

a) Berechnen Sie den Inhalt derjenigen DachflÀche, die im Modell durch das Rechteck BCHG dargestellt wird. (2 BE)
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b) In der Stadt, in der das Einfamilienhaus steht, gilt fĂŒr die Errichtung von Dachgauben eine Satzung, die jeder Bauherr einhalten muss. Diese Satzung lĂ€sst die Errichtung einer Dachgaube zu, wenn die GröĂe des Neigungswinkels der DachflĂ€che des jeweiligen Hausdachs gegen die Horizontale mindestens 35° betrĂ€gt. Zeigen Sie rechnerisch, dass fĂŒr das betrachtete Einfamilienhaus die Errichtung einer Dachgaube zulĂ€ssig ist. (3BE)
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Die DachflÀche, auf der die Dachgaube errichtet wird, liegt im Modell in der Ebene .
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Die Dachgaube soll so errichtet werden, dass sie von dem seitlichen Rand der DachflÀche, der im Modell durch die Strecke dargestellt wird, den Abstand m und vom First des Dachs den Abstand m hat. Zur Ermittlung der Koordinaten des Punkts wird die durch den Punkt verlaufende Gerade , , betrachtet.
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c) BegrĂŒnden Sie, dass in der Ebene verlĂ€uft und von der Geraden den Abstand besitzt. (5 BE)
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d) Auf der Geraden wird nun der Punkt so festgelegt, dass der Abstand der Dachgaube vom First m betrÀgt. Bestimmen Sie die Koordinaten von . (3 BE)
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(Ergebnis: M(4,8|8|7,4))
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Die Punkte M und N liegen auf der Geraden , , die im Modell die Neigung der DachflÀche der Gaube festlegt. Die zur -Achseparallele Strecke stellt im Modell den sogenannten Gaubenstiel dar; dessen LÀnge soll m betragen. Um die Koordinaten von und zu bestimmen, wird die Ebene betrachtet, die durch Verschiebung von um in positive -Richtung entsteht.
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e) BegrĂŒnden Sie, dass eine Gleichung von ist. (3 BE)
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f) Bestimmen Sie die Koordinaten von und . (4 BE)
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(Teilergebnis: N(7,2|8|7) )