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Geometrie, Teil B, Aufgabengruppe 2

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Die Aufgabenstellung findest du hier zum Ausdrucken als PDF.

  1. 1

    Die Abbildung zeigt modellhaft ein Einfamilienhaus, das auf einer horizontalen Fläche steht. Auf einer der beiden rechteckigen Dachflächen soll eine Dachgaube errichtet werden. Die Punkte A, B, C, D, O, P, Q und R sind die Eckpunkte eines Quaders. Das gerade dreiseitige Prisma LMNIJK stellt die Dachgaube dar, die Strecke [GH]den First des Dachs, d. h. die obere waagrechte Dachkante. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht 1 m, d. h. das Haus ist 10 m lang.

    Bild zu Abi2014 Geo AG2

    a) Berechnen Sie den Inhalt derjenigen Dachfläche, die im Modell durch das Rechteck BCHG dargestellt wird. (2 BE)

     

    b) In der Stadt, in der das Einfamilienhaus steht, gilt für die Errichtung von Dachgauben eine Satzung, die jeder Bauherr einhalten muss. Diese Satzung lässt die Errichtung einer Dachgaube zu, wenn die Größe des Neigungswinkels der Dachfläche des jeweiligen Hausdachs gegen die Horizontale mindestens 35° beträgt. Zeigen Sie rechnerisch, dass für das betrachtete Einfamilienhaus die Errichtung einer Dachgaube zulässig ist. (3BE)

     

    Die Dachfläche, auf der die Dachgaube errichtet wird, liegt im Modell in der Ebene E:3x1+4x344=0E : 3x_1+4x_3-44=0.

     

    Die Dachgaube soll so errichtet werden, dass sie von dem seitlichen Rand der Dachfläche, der im Modell durch die Strecke [HC][HC] dargestellt wird, den Abstand 22 m und vom First des Dachs den Abstand 11 m hat. Zur Ermittlung der Koordinaten des Punkts MM wird die durch den Punkt T(488)T(4|8|8) verlaufende Gerade t:X=(488)+λ(403)t:\vec{X}=\begin{pmatrix}4\\8\\8\end{pmatrix} +\lambda\cdot\begin{pmatrix}4\\0\\-3\end{pmatrix}, λR\lambda\in\mathbb{R}, betrachtet.

     

    c) Begründen Sie, dass tt in der Ebene EE verläuft und von der Geraden HCHC den Abstand 22 besitzt. (5 BE)

     

    d) Auf der Geraden tt wird nun der Punkt MM so festgelegt, dass der Abstand der Dachgaube vom First 11 m beträgt. Bestimmen Sie die Koordinaten von MM. (3 BE)

     

    (Ergebnis: M(4,8|8|7,4))

     

    Die Punkte M und N liegen auf der Geraden m:X=(4,887,4)+mu(601)m:\vec{X}=\begin{pmatrix}4{,}8\\8\\7{,}4\end{pmatrix} +\\mu\cdot\begin{pmatrix}6\\0\\-1\end{pmatrix}, μR\mu\in\mathbb R, die im Modell die Neigung der Dachfläche der Gaube festlegt. Die zur x3x_3-Achseparallele Strecke [NL][NL]stellt im Modell den sogenannten Gaubenstiel dar; dessen Länge soll 1,41{,}4 m betragen. Um die Koordinaten von NN und LL zu bestimmen, wird die Ebene FF betrachtet, die durch Verschiebung von EE um 1,41{,}4 in positive x3x_3-Richtung entsteht.

     

    e) Begründen Sie, dass 3x1+4x349,6=03x_1+4x_3-49{,}6=0 eine Gleichung von FF ist. (3 BE)

     

    f) Bestimmen Sie die Koordinaten von NN und LL. (4 BE)

     

    (Teilergebnis: N(7,2|8|7) )


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