$\mathrm E:\;x_1-k \cdot x_2 + 2 \cdot x_3-4=0$

$\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm X}=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}3\\2\\1\end{pmatrix}$

Um den richtigen Wert für k zu ermitteln, geht man erst mal so vor, als sei kein Parameter vorhanden und setzt g in E ein.

$(1+3r)-k \cdot (2+2r) + 2 \cdot (3+r) - 4=0$

$3-2k + r(5-2k)=0$

Damit g parallel zu E ist, muss sich r aus der Gleichung raus kürzen.

$\;\Rightarrow\;5-2\mathrm k=0$

$\;\Rightarrow\;\mathrm k=2{,}5$

Jetzt stellt sich noch die Frage ob g zu E echt parrallel ist oder in E liegt. Hierfür setzen wir k in die Gleichung ein.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}3-2\cdot2{,}5+r\cdot(5-2\cdot2{,}5)=0\\\;\;\Rightarrow\;\;-2=0\end{array}$

Da für kein r die Bedingung erfüllt ist, sind die Ebene und die Gerade echt parallel zueinander und haben keinen Schnittpunkt.

$\;\Rightarrow\;$ Die Gerade und die Ebene sind parallel.

$\;\;\Rightarrow\;\;E\cap\mathrm g=\varnothing$