Aufgaben zur Lagebeziehung von Geraden und Ebenen

${E}_1: \, \color{#cc0000}{x_1} + \color{#006400}{x_2}-2\cdot \color{#660099}{x_3} = -3$

$g:\;\overrightarrow{X}=\begin{pmatrix}\color{#cc0000}{3}\\\color{#006400}{4}\\\color{#660099}{9}\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}\color {#cc0000}{1}\\\color{#006400}{1}\\\color{#660099}{3}\end{pmatrix}$

Setze $g$ in ${\mathrm E}_1$ ein.

$(\color{#cc0000}{3}+r\cdot\color{#cc0000}{1})+(\color{#006400}{4}+r\cdot\color{#006400}{1})-2\cdot(\color{#660099}{9}+r\cdot\color{#660099}{3})=-3$

Vereinfache soweit wie möglich und löse nach $r$ auf.

$-4\cdot r-11=-3$

$\vec S=\begin{pmatrix}3\\4\\9\end{pmatrix}+(-2)\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}$

$\;\Rightarrow\;\;{\mathrm E}_1\cap\mathrm g=S\left(1\vert 2\vert 3\right)$

${E}_1: \, \color{#cc0000}{x_1} - \color{#006400}{x_2}+2\cdot \color{#660099}{x_3} = -8$

$g:\;\overrightarrow{X}=\begin{pmatrix}\color{#cc0000}{0}\\\color{#006400}{0}\\\color{#660099}{2}\end{pmatrix}+ r\cdot\begin{pmatrix}\color{#cc0000}{1}\\\color{#006400}{2}\\\color{#660099}{-1}\end{pmatrix}$

Setze $g$ in ${\mathrm E}_1$ ein.

$(\color{#cc0000}{0}+r\cdot\color{#cc0000}{1})-(\color{#006400}{0}+r\cdot\color{#006400}{2})+2\cdot(\color{#660099}{2}+r\cdot\color{#660099}{-1})=-8$

Vereinfache soweit wie möglich und löse nach $r$ auf.

$-3 \cdot r+4=-8$

$\Rightarrow r=4$

$\mathrm S=\begin{pmatrix}0\\0\\2\end{pmatrix}+4\cdot\begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\8\\-2\end{pmatrix}$

$\;\;\Rightarrow\;\;{\mathrm E}_1\cap\mathrm g=\begin{pmatrix}4\\8\\-2\end{pmatrix}$

${E}_1: \, \color{#cc0000}{x_1} + \color{#006400}{x_2}-2\cdot \color{#660099}{x_3} = 2$

$g:\;\overrightarrow{X}=\begin{pmatrix}\color{#cc0000}{1}\\\color{#006400}{3}\\\color{#660099}{2}\end{pmatrix}+ r\cdot\begin{pmatrix}\color{#cc0000}{4}\\\color{#006400}{2}\\\color{#660099}{3}\end{pmatrix}$

Setze g in ${\mathrm E}_1$ ein und vereinfache soweit wie möglich und löse nach $r$ auf.

$(\color{#cc0000}{1}+r\cdot\color{#cc0000}{4})+(\color{#006400}{3}+r\cdot\color{#006400}{2})-2\cdot(\color{#660099}{2}+r\cdot\color{#660099}{3})=2$

$1+4\cdot r+3+2\cdot r-4-6\cdot r=2$

$\Rightarrow0=2$

$\;\Rightarrow\;$ Die Gerade und die Ebene sind parallel.

$\;\;\Rightarrow\;\;{\mathrm E}_1\cap\mathrm g=\varnothing$

${\mathrm E}_1:\color{#cc0000}{x_1}+\color{#00cc00}{x_2}-2\cdot \color{#cc0000}{x_3}=0$

und $g:\;\overrightarrow{X}=\begin{pmatrix} \color{cc0000}1\\ \color{00cc00}3\\ \color{0000cc}2\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}\color{cc0000}4\\ \color{00cc00}2\\ \color{0000cc}3\end{pmatrix}$

Setze g in ${\mathrm E}_1$ ein.**

$(\color{#cc0000}{1+4r})+(\color{#00cc00}{3+2r})-2 \cdot (\color{#0000cc}{2+3r})=0$

Versuche nach r aufzulösen.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}1+4r+3+2r-4-6r=0\\\;\;\;\Rightarrow\;\;\;\;\;0=0\end{array}$

Da für alle r die Bedingung erfüllt ist, liegt die Gerade g in der Ebene ${\mathrm E}_1$ .

$\;\Rightarrow\;$ Alle Punkte der Gerade liegen in ${\mathrm E}_1$ .

$\Rightarrow\;$ Die Gerade liegt in der Ebene.

$\;\Rightarrow\;\;{\mathrm E}_1\cap\mathrm g=\begin{pmatrix}1\\3\\2\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}4\\2\\3\end{pmatrix}$

$\mathrm E:\;\begin{pmatrix}1\\3\\-1\end{pmatrix}\circ\left[\overrightarrow{\mathrm x}-\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}\right]=0$

$\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}1\\-1\\-2\end{pmatrix}$

Setze g in E ein.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}\begin{pmatrix}1\\3\\-1\end{pmatrix}\circ\left[\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}1\\-1\\-2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}\right]=0\\\begin{pmatrix}1\\3\\-1\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}1+r\\-r\\1-2r\end{pmatrix}=0\end{array}$

Löse das Skalarprodukt  auf und versuche nach r Aufzulösen.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}(1+r)-3r-(1-2r)=0\\\;\;\Rightarrow\;\;0=0\end{array}$

Da für alle r die Bedingung erfüllt ist,liegt die Gerade in der Ebene.

Deshalb liegen alle Koordinaten der Gerade in E.

$\;\Rightarrow\;$ Die Gerade g liegt in der Ebene E.

$\;\;\Rightarrow\;\;\mathrm E\cap\mathrm g=\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}1\\-1\\-2\end{pmatrix}$

$\mathrm E:\;\begin{pmatrix}1\\3\\-1\end{pmatrix}\circ\left[\overrightarrow{\mathrm x}-\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}\right]=0$

Gleichung mit Hilfe des Distributivgesetzes ausmultiplizieren und das Skalarprodukt ausrechnen.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}\begin{pmatrix}1\\3\\-1\end{pmatrix}\circ\overrightarrow{\mathrm x}-\begin{pmatrix}1\\3\\-1\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}=0\\{\mathrm x}_1+3{\mathrm x}_2-{\mathrm x}_3-(1\cdot1+3\cdot1+0\cdot(-1))=0\end{array}$

Die Gleichung zusammenfassen und alle Koordinaten auf eine Seite und den rest auf die andere Seite um die Koordinatenform zu erhalten.

$\;\Rightarrow\mathrm E:\;\;\color{#cc0000}{x_1}+3 \color{#00cc00}{x_2}-\color{#0000cc}{x_3}=4$

$\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}\color{#cc0000}2\\\color{#00cc00}1\\\color{#0000cc}1\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}\color{#cc0000}1\\\color{#00cc00}{-1}\\\color{#0000cc}{-2}\end{pmatrix}$

$(\color{#cc0000}{2+r})+3 \cdot(\color{#00cc00}{1-r})-(\color{#0000cc}{1-2r})=4$

Setze g in die Koordinatenform ein

$2+r+3-3r-1+2r=4$

$\Rightarrow 4=4$

Da für alle r die Bedingung erfüllt ist, liegt die Gerade g in der Ebene ${\mathrm E}_1$ .

$\;\Rightarrow\;$ Die Gerade g liegt in der Ebene E.

$\;\;\Rightarrow\;\;\mathrm E\cap\mathrm g=\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}1\\-1\\-2\end{pmatrix}$

$\mathrm E:\;\begin{pmatrix}1\\-1\\-3\end{pmatrix}\circ\left[\overrightarrow{\mathrm x}-\begin{pmatrix}0\\-1\\-1\end{pmatrix}\right]=0$

$\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}3\\1\\-1\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}$

Setze g in E ein.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}\begin{pmatrix}1\\-1\\-3\end{pmatrix}\circ\left[\begin{pmatrix}3\\1\\-1\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\-1\\-1\end{pmatrix}\right]=0\\\begin{pmatrix}1\\-1\\-3\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}3+r\\2-2r\\r\end{pmatrix}=0\end{array}$

Löse das Skalarprodukt  auf und versuche nach r aufzulösen.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}3+r-(2-2r)-3r=0\\\;\;\Rightarrow\;\;1=0\end{array}$

Da für kein r die Bedingung erfüllt ist, sind die Ebene und die Gerade parallel und haben keinen Schnittpunkt.

$\;\Rightarrow\;$ Die Gerade und die Ebene sind parallel.

$\;\;\Rightarrow\;\;\mathrm E\cap\mathrm g=\varnothing$

$\mathrm E:\;\begin{pmatrix}1\\-1\\-3\end{pmatrix}\circ\left[\overrightarrow{\mathrm x}-\begin{pmatrix}0\\-1\\-1\end{pmatrix}\right]=0$

Gleichung mit Hilfe des Distributivgesetzes ausmultiplizieren und das Skalarprofukt ausrechnen.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}\begin{pmatrix}1\\-1\\-3\end{pmatrix}\circ\overrightarrow{\mathrm x}-\begin{pmatrix}1\\-1\\-3\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}0\\-1\\-1\end{pmatrix}=0\\{\mathrm x}_1-{\mathrm x}_2-3{\mathrm x}_3-(1\cdot0+(-1)\cdot(-1)+(-3)\cdot(-1))=0\end{array}$

Die Gleichung zusammenfassen und alle Koordinaten auf eine Seite und den Rest auf die andere Seite um die Koordinatenform zu erhalten.

$\;\Rightarrow\mathrm E:\;\;{\mathrm x}_1-{\mathrm x}_2-3{\mathrm x}_3=4$

$(3+r)-(1-2r)-3 \cdot (-1+r)=4$

$3+r-1+2r+3-3r=4$

$5=4$

Ist für kein r erfüllt. Also gibt es keinen gemeinsamen Punkt.

$\;\;\Rightarrow\;\;\mathrm E\cap\mathrm g=\varnothing$

Ebene und Gerade sind parallel.

$\mathrm E:\;\begin{pmatrix}2\\-3\\1\end{pmatrix}\circ\left[\overrightarrow{\mathrm x}-\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}\right]=0$

$\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}-1\\2\\1\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}2\\-1\\-2\end{pmatrix}$

Setze g in E ein.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}\begin{pmatrix}2\\-3\\1\end{pmatrix}\circ\left[\begin{pmatrix}-1\\2\\1\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}2\\-1\\-2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}\right]=0\\\begin{pmatrix}2\\-3\\1\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}-2+2\mathrm r\\2-\mathrm r\\-2\mathrm r\end{pmatrix}=0\end{array}$

Löse das Skalarprodukt  auf und versuche nach r Aufzulösen.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}2(-2+2r)-3(2-r)-2r=0\\\;\;\Rightarrow\;\;r=2\end{array}$

Da für r ein reeller Wert rauskommt schneidet die Gerade die Ebene in einem Punkt.

Setze r in g ein um den Schnittpunkt zu erhalten.

$\overrightarrow{\mathrm OS}=\begin{pmatrix}-1\\2\\1\end{pmatrix}+2\cdot\begin{pmatrix}2\\-1\\-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\0\\-3\end{pmatrix}$

$\Rightarrow\;$ Die Gerade schneidet die Ebene im Punkt $\mathrm S(3|0|-3)$

$\;\;\Rightarrow\;\;{\mathrm E}_1\cap\mathrm g=(3|0|-3)$

$\mathrm E:\;\begin{pmatrix}2\\-3\\1\end{pmatrix}\circ\left[\overrightarrow{\mathrm x}-\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}\right]=0$

Gleichung mit Hilfe des Distributivgesetzes ausmultiplizieren und das Skalarprodukt ausrechnen.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}\begin{pmatrix}2\\-3\\1\end{pmatrix}\circ\overrightarrow{\mathrm x}-\begin{pmatrix}2\\-3\\1\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}=0\\2{\mathrm x}_1-3{\mathrm x}_2+{\mathrm x}_3-(2\cdot1+0+1\cdot1)=0\end{array}$

Die Gleichung zusammenfassen und alle Koordinaten auf eine Seite und den Rest auf die andere Seite, um die Koordinatenform zu erhalten.

$\;\Rightarrow\mathrm E:\;\;2{\mathrm x}_1-3{\mathrm x}_2+{\mathrm x}_3=3$

$\mathrm E:\; 2\cdot x_1-3\cdot x_2+x_3=3$

$\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}-1\\2\\1\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}2\\-1\\-2\end{pmatrix}$

Setze g in E ein.

$2\cdot (-1+2r) -3\cdot (2-r)+(1-2r)=3$

Löse nach r auf.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}-7+5\mathrm r=3\\\;\Rightarrow\;\;\mathrm r=2\end{array}$

Da für r ein reeller Wert rauskommt schneidet die Gerade die Ebene in einem Punkt.

Setze r in g ein um den Schnittpunkt zu erhalten.

$\overrightarrow{\mathrm OS}=\begin{pmatrix}-1\\2\\1\end{pmatrix}+2\cdot\begin{pmatrix}2\\-1\\-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\0\\-3\end{pmatrix}$

$\Rightarrow\;$ Die Gerade schneidet die Ebene im Punkt $\mathrm S(3 |0|-3)$

$\;\;\Rightarrow\;\;{\mathrm E}_1\cap\mathrm g=\mathrm S(3 |0|-3)$

$\mathrm E:\;\begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}\circ\overrightarrow{\mathrm x}-3=0$

$\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}3\\-2\\-1\end{pmatrix}$

Setze g in E ein.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}\begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}\circ\left[\begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}3\\-2\\-1\end{pmatrix}\right]-3=0\;\;\;\;\;\left|+3\right.\\\begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}3r\\1-2r\\-1-r\end{pmatrix}=3\end{array}$

Löse das Skalarprodukt  auf und versuche nach r aufzulösen.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}3r+2(1-2r)-(-1-r)=3\\\;\;\Rightarrow\;\;3=3\end{array}$

Da für alle r die Bedingung erfüllt ist,liegt die Gerade in der Ebene.

Deshalb liegen alle Koordinaten der Gerade in E.

$\;\Rightarrow\;$ Die Gerade g liegt in der Ebene E.$\;\;\Rightarrow\;\;\mathrm E\cap\mathrm g=\begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}3\\-2\\-1\end{pmatrix}$

$\mathrm E:\;\begin{pmatrix}3\\1\\-1\end{pmatrix}\circ\overrightarrow{\mathrm x}+6=0$

$\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}-9\\-4\\20\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}4\\0\\-6\end{pmatrix}$

Setze g in E ein.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}\begin{pmatrix}3\\1\\-1\end{pmatrix}\circ\left[\begin{pmatrix}-9\\-4\\20\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}4\\0\\-6\end{pmatrix}\right]+6=0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left|-6\right.\\\begin{pmatrix}3\\1\\-1\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}-9+4r\\-4\\20-6r\end{pmatrix}=-6\end{array}$

Löse das Skalarprodukt  auf und versuche nach r aufzulösen.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}3(-9+4r)-4-(20-6r)=-6\\\;\;\Rightarrow\;\;r=2{,}5\end{array}$

Da für r ein reeller Wert rauskommt schneidet die Gerade die Ebene in einem Punkt.

Setze r in g ein um den Schnittpunkt zu erhalten.

$\overrightarrow{\mathrm OS}=\begin{pmatrix}-9\\-4\\20\end{pmatrix}+2{,}5\cdot\begin{pmatrix}4\\0\\-6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\-4\\5\end{pmatrix}$

$\Rightarrow\;$ Die Gerade schneidet die Ebene im Punkt $\mathrm S(1|-4|5)$

$\;\;\Rightarrow\;\;\mathrm E\cap\mathrm g=(1|-4|5)$

$\mathrm E:\;x_1-3\cdot x_2 +2\cdot x_3-1=0$

$\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm X}=\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}-1\\1\\2\end{pmatrix}$

Setze g in E ein.

$(2-r)-3 \cdot (1+r) + 2 \cdot (1+2r)-1=0$

Versuche nach r aufzulösen.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}2-r-3-3r+2+4r-1=0\\\;\;\;\Rightarrow\;\;\;\;\;0=0\end{array}$

Da für alle r die Bedingung erfüllt ist, liegt die Gerade g in der Ebene E.

$\;\Rightarrow\;$ Alle Punkte der Gerade liegen in E.

$\Rightarrow\;$ Die Gerade liegt in der Ebene.

$\;\Rightarrow\;\;\mathrm E\cap\mathrm g=\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}-1\\1\\2\end{pmatrix}$

$\mathrm E:\;x_1+x_2+2 \cdot x_3-11=0$

$\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm X}=\begin{pmatrix}1\\3\\2\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}$

Setze g in E ein.

$(1+2r)+(3+r)+ 2 \cdot (2)-11=0$

Löse nach r auf.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}-3+3r=0\\\;\Rightarrow\;\;\;\mathrm r=1\end{array}$

Da für r ein reeller Wert rauskommt schneidet die Gerade die Ebene in einem Punkt.

Setze r in g ein um den Schnittpunkt zu erhalten.

$\overrightarrow {\mathrm OS}=\begin{pmatrix}1\\3\\2\end{pmatrix}+1\cdot\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\4\\2\end{pmatrix}$

$\Rightarrow\;$ Die Gerade schneidet die Ebene im Punkt $\mathrm S(3|4|2)$

$\;\Rightarrow\;\;\mathrm E\cap\mathrm g=(3|4|2)$

$\mathrm E:\;\color{#cc0000}{x_1}-3\cdot \color{#0000cc}{x_2}+2\cdot \color{#00aa00}{x_3}-\mathrm a=0$

$g:\;\overrightarrow{X}=\begin{pmatrix}\color{cc0000}{1}\\ \color{0000cc}{0}\\ \color{00aa00}{2}\end{pmatrix}+ r\cdot\begin{pmatrix}\color{cc0000}{k}\\ \color{00aa00}{1}\\ \color{0000cc}{-2}\end{pmatrix}$

$\mathrm a=4$

Um den richtigen Wert für $k$ zu ermitteln, geht man erst mal so vor als sei kein Parameter vorhanden und setzt $g$ in $E$ mit $a=4$ ein.

$\color{#cc0000}{(1+r \cdot k)}- 3 \cdot \color{#00aa00}{(0 + r)}+2 \cdot \color{#0000cc}{(2-2r)} -4=0$

$1+r \cdot (k-7)=0$

Damit $g$ parallel zu $E$ ist, muss sich $r$ aus der Gleichung raus kürzen.

Nach dem Vereinfachen kann man $r$ ausklammern und $k$ so ermitteln, dass $r$ verschwindet.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}\;\Rightarrow\;k-7=0\\\;\Rightarrow\;k=7\end{array}$

Jetzt stellt sich noch die Frage ob $g$ zu $E$ echt parrallel ist oder in $E$ liegt. Hierfür setzen wir $k$ in die Gleichung ein.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}1+r\cdot(7-7)=0\\\;\Rightarrow\;1=0\end{array}$