Aufgaben zur Lagebeziehung von Geraden und Ebenen

Lerne mit diesen Übungsaufgaben die Lagebeziehung von Geraden und Ebenen zu untersuchen. Schaffst du sie alle?

1
Bestimme jeweils die Schnittmenge von Ebene und Gerade.
1. ${\mathrm E}_1:\;{\mathrm x}_1+{\mathrm x}_2-2\cdot{\mathrm x}_3=-3$ und $\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm X}=\begin{pmatrix}3\\4\\9\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\3\end{pmatrix}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von Geraden und Ebenen
  ${E}_1: \, \color{#cc0000}{x_1} + \color{#006400}{x_2}-2\cdot \color{#660099}{x_3} = -3$
  $g:\;\overrightarrow{X}=\begin{pmatrix}\color{#cc0000}{3}\\\color{#006400}{4}\\\color{#660099}{9}\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}\color {#cc0000}{1}\\\color{#006400}{1}\\\color{#660099}{3}\end{pmatrix}$
  Setze $g$ in ${\mathrm E}_1$ ein.
  $(\color{#cc0000}{3}+r\cdot\color{#cc0000}{1})+(\color{#006400}{4}+r\cdot\color{#006400}{1})-2\cdot(\color{#660099}{9}+r\cdot\color{#660099}{3})=-3$
  Vereinfache soweit wie möglich und löse nach $r$ auf.
  $-4\cdot r-11=-3$
  $\Rightarrow r=-2$
  Da für $r$ ein reeller Wert rauskommt, schneidet die Gerade die Ebene in einem Punkt.
  Setze $r$ in $g$ ein um den Schnittpunkt zu erhalten.
  $\vec S=\begin{pmatrix}3\\4\\9\end{pmatrix}+(-2)\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}$
  $\Rightarrow\;$ Die Gerade schneidet die Ebene im Punkt $S\left(1\vert 2\vert 3\right)$
  $\;\Rightarrow\;\;{\mathrm E}_1\cap\mathrm g=S\left(1\vert 2\vert 3\right)$
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2. ${\mathrm E}_1:\;{\mathrm x}_1-{\mathrm x}_2+2\cdot{\mathrm x}_3=-8$ und $\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm X}=\begin{pmatrix}0\\0\\2\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von Geraden und Ebenen
  ${E}_1: \, \color{#cc0000}{x_1} - \color{#006400}{x_2}+2\cdot \color{#660099}{x_3} = -8$
  $g:\;\overrightarrow{X}=\begin{pmatrix}\color{#cc0000}{0}\\\color{#006400}{0}\\\color{#660099}{2}\end{pmatrix}+ r\cdot\begin{pmatrix}\color{#cc0000}{1}\\\color{#006400}{2}\\\color{#660099}{-1}\end{pmatrix}$
  Setze $g$ in ${\mathrm E}_1$ ein.
  $(\color{#cc0000}{0}+r\cdot\color{#cc0000}{1})-(\color{#006400}{0}+r\cdot\color{#006400}{2})+2\cdot(\color{#660099}{2}+r\cdot\color{#660099}{-1})=-8$
  Vereinfache soweit wie möglich und löse nach $r$ auf.
  $-3 \cdot r+4=-8$
  $\Rightarrow r=4$
  Da für $r$ ein reeler Wert rauskommt schneidet die Gerade die Ebene in einem Punkt.
  Setze $r$ in $g$ ein um den Schnittpunkt zu erhalten.
  $\mathrm S=\begin{pmatrix}0\\0\\2\end{pmatrix}+4\cdot\begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\8\\-2\end{pmatrix}$
  $\Rightarrow\;$ Die Gerade schneidet die Ebene im Punkt $S=\begin{pmatrix}4\\8\\-2\end{pmatrix}$
  $\Rightarrow\;$ Die Gerade schneidet die Ebene im Punkt $S=\begin{pmatrix}4\\8\\-2\end{pmatrix}$
  $\;\;\Rightarrow\;\;{\mathrm E}_1\cap\mathrm g=\begin{pmatrix}4\\8\\-2\end{pmatrix}$
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3. ${\mathrm E}_1:\;{\mathrm x}_1+{\mathrm x}_2-2\cdot{\mathrm x}_3=2$ und $\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm X}=\begin{pmatrix}1\\3\\2\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}4\\2\\3\end{pmatrix}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von Geraden und Ebenen
  ${E}_1: \, \color{#cc0000}{x_1} + \color{#006400}{x_2}-2\cdot \color{#660099}{x_3} = 2$
  $g:\;\overrightarrow{X}=\begin{pmatrix}\color{#cc0000}{1}\\\color{#006400}{3}\\\color{#660099}{2}\end{pmatrix}+ r\cdot\begin{pmatrix}\color{#cc0000}{4}\\\color{#006400}{2}\\\color{#660099}{3}\end{pmatrix}$
  Setze g in ${\mathrm E}_1$ ein und vereinfache soweit wie möglich und löse nach $r$ auf.
  $(\color{#cc0000}{1}+r\cdot\color{#cc0000}{4})+(\color{#006400}{3}+r\cdot\color{#006400}{2})-2\cdot(\color{#660099}{2}+r\cdot\color{#660099}{3})=2$
  $1+4\cdot r+3+2\cdot r-4-6\cdot r=2$
  $\Rightarrow0=2$
  Da für kein $r$ die Bedingung erfüllt ist, sind die Ebene und die Gerade parallel und haben keinen Schnittpunkt.
  $\;\Rightarrow\;$ Die Gerade und die Ebene sind parallel.
  $\;\;\Rightarrow\;\;{\mathrm E}_1\cap\mathrm g=\varnothing$
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4. ${\mathrm E}_1:\;{\mathrm x}_1+{\mathrm x}_2-2\cdot{\mathrm x}_3=0$ und $\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm X}=\begin{pmatrix}1\\3\\2\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}4\\2\\3\end{pmatrix}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von Geraden und Ebenen
  ${\mathrm E}_1:\color{#cc0000}{x_1}+\color{#00cc00}{x_2}-2\cdot \color{#cc0000}{x_3}=0$
  und $g:\;\overrightarrow{X}=\begin{pmatrix} \color{cc0000}1\\ \color{00cc00}3\\ \color{0000cc}2\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}\color{cc0000}4\\ \color{00cc00}2\\ \color{0000cc}3\end{pmatrix}$
  Setze g in ${\mathrm E}_1$ ein.**
  $(\color{#cc0000}{1+4r})+(\color{#00cc00}{3+2r})-2 \cdot (\color{#0000cc}{2+3r})=0$
  Versuche nach r aufzulösen.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}1+4r+3+2r-4-6r=0\\\;\;\;\Rightarrow\;\;\;\;\;0=0\end{array}$
  Da für alle r die Bedingung erfüllt ist, liegt die Gerade g in der Ebene ${\mathrm E}_1$ .
  $\;\Rightarrow\;$ Alle Punkte der Gerade liegen in ${\mathrm E}_1$ .
  $\Rightarrow\;$ Die Gerade liegt in der Ebene.
  $\;\Rightarrow\;\;{\mathrm E}_1\cap\mathrm g=\begin{pmatrix}1\\3\\2\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}4\\2\\3\end{pmatrix}$
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5. $\mathrm E:\;\begin{pmatrix}1\\3\\-1\end{pmatrix}\circ\left[\overrightarrow{\mathrm x}-\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}\right]=0$ und $\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}1\\-1\\-2\end{pmatrix}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von Geraden und Ebenen
  1. Möglichkeit (g in E einsetzen)
  $\mathrm E:\;\begin{pmatrix}1\\3\\-1\end{pmatrix}\circ\left[\overrightarrow{\mathrm x}-\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}\right]=0$
  $\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}1\\-1\\-2\end{pmatrix}$
  Setze g in E ein.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}\begin{pmatrix}1\\3\\-1\end{pmatrix}\circ\left[\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}1\\-1\\-2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}\right]=0\\\begin{pmatrix}1\\3\\-1\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}1+r\\-r\\1-2r\end{pmatrix}=0\end{array}$
  Löse das Skalarprodukt auf und versuche nach r Aufzulösen.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}(1+r)-3r-(1-2r)=0\\\;\;\Rightarrow\;\;0=0\end{array}$
  Da für alle r die Bedingung erfüllt ist,liegt die Gerade in der Ebene.
  Deshalb liegen alle Koordinaten der Gerade in E.
  $\;\Rightarrow\;$ Die Gerade g liegt in der Ebene E.
  $\;\;\Rightarrow\;\;\mathrm E\cap\mathrm g=\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}1\\-1\\-2\end{pmatrix}$
  2. Möglichkeit (Ebene von Normalform in Koordinatenform)
  $\mathrm E:\;\begin{pmatrix}1\\3\\-1\end{pmatrix}\circ\left[\overrightarrow{\mathrm x}-\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}\right]=0$
  Gleichung mit Hilfe des Distributivgesetzes ausmultiplizieren und das Skalarprodukt ausrechnen.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}\begin{pmatrix}1\\3\\-1\end{pmatrix}\circ\overrightarrow{\mathrm x}-\begin{pmatrix}1\\3\\-1\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}=0\\{\mathrm x}_1+3{\mathrm x}_2-{\mathrm x}_3-(1\cdot1+3\cdot1+0\cdot(-1))=0\end{array}$
  Die Gleichung zusammenfassen und alle Koordinaten auf eine Seite und den rest auf die andere Seite um die Koordinatenform zu erhalten.
  $\;\Rightarrow\mathrm E:\;\;\color{#cc0000}{x_1}+3 \color{#00cc00}{x_2}-\color{#0000cc}{x_3}=4$
  $\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}\color{#cc0000}2\\\color{#00cc00}1\\\color{#0000cc}1\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}\color{#cc0000}1\\\color{#00cc00}{-1}\\\color{#0000cc}{-2}\end{pmatrix}$
  $(\color{#cc0000}{2+r})+3 \cdot(\color{#00cc00}{1-r})-(\color{#0000cc}{1-2r})=4$
  Setze g in die Koordinatenform ein
  $2+r+3-3r-1+2r=4$
  $\Rightarrow 4=4$
  Da für alle r die Bedingung erfüllt ist, liegt die Gerade g in der Ebene ${\mathrm E}_1$ .
  $\;\Rightarrow\;$ Die Gerade g liegt in der Ebene E.
  $\;\;\Rightarrow\;\;\mathrm E\cap\mathrm g=\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}1\\-1\\-2\end{pmatrix}$
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6. $\mathrm E:\;\begin{pmatrix}1\\-1\\-3\end{pmatrix}\circ\left[\overrightarrow{\mathrm x}-\begin{pmatrix}0\\-1\\-1\end{pmatrix}\right]=0$ und $\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}3\\1\\-1\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von Geraden und Ebenen
  1. Möglichkeit
  $\mathrm E:\;\begin{pmatrix}1\\-1\\-3\end{pmatrix}\circ\left[\overrightarrow{\mathrm x}-\begin{pmatrix}0\\-1\\-1\end{pmatrix}\right]=0$
  $\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}3\\1\\-1\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}$
  Setze g in E ein.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}\begin{pmatrix}1\\-1\\-3\end{pmatrix}\circ\left[\begin{pmatrix}3\\1\\-1\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\-1\\-1\end{pmatrix}\right]=0\\\begin{pmatrix}1\\-1\\-3\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}3+r\\2-2r\\r\end{pmatrix}=0\end{array}$
  Löse das Skalarprodukt auf und versuche nach r aufzulösen.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}3+r-(2-2r)-3r=0\\\;\;\Rightarrow\;\;1=0\end{array}$
  Da für kein r die Bedingung erfüllt ist, sind die Ebene und die Gerade parallel und haben keinen Schnittpunkt.
  $\;\Rightarrow\;$ Die Gerade und die Ebene sind parallel.
  $\;\;\Rightarrow\;\;\mathrm E\cap\mathrm g=\varnothing$
  2. Möglichkeit
  $\mathrm E:\;\begin{pmatrix}1\\-1\\-3\end{pmatrix}\circ\left[\overrightarrow{\mathrm x}-\begin{pmatrix}0\\-1\\-1\end{pmatrix}\right]=0$
  Gleichung mit Hilfe des Distributivgesetzes ausmultiplizieren und das Skalarprofukt ausrechnen.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}\begin{pmatrix}1\\-1\\-3\end{pmatrix}\circ\overrightarrow{\mathrm x}-\begin{pmatrix}1\\-1\\-3\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}0\\-1\\-1\end{pmatrix}=0\\{\mathrm x}_1-{\mathrm x}_2-3{\mathrm x}_3-(1\cdot0+(-1)\cdot(-1)+(-3)\cdot(-1))=0\end{array}$
  Die Gleichung zusammenfassen und alle Koordinaten auf eine Seite und den Rest auf die andere Seite um die Koordinatenform zu erhalten.
  $\;\Rightarrow\mathrm E:\;\;{\mathrm x}_1-{\mathrm x}_2-3{\mathrm x}_3=4$
  Gerade in die Koordinatenform einsetzen.
  $(3+r)-(1-2r)-3 \cdot (-1+r)=4$
  $3+r-1+2r+3-3r=4$
  $5=4$
  Ist für kein r erfüllt. Also gibt es keinen gemeinsamen Punkt.
  $\;\;\Rightarrow\;\;\mathrm E\cap\mathrm g=\varnothing$
  Ebene und Gerade sind parallel.
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7. $\mathrm E:\;\begin{pmatrix}2\\-3\\1\end{pmatrix}\circ\left[\overrightarrow{\mathrm x}-\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}\right]=0$ und $\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}-1\\2\\1\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}2\\-1\\-2\end{pmatrix}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von Geraden und Ebenen
  1. Möglichkeit
  $\mathrm E:\;\begin{pmatrix}2\\-3\\1\end{pmatrix}\circ\left[\overrightarrow{\mathrm x}-\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}\right]=0$
  $\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}-1\\2\\1\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}2\\-1\\-2\end{pmatrix}$
  Setze g in E ein.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}\begin{pmatrix}2\\-3\\1\end{pmatrix}\circ\left[\begin{pmatrix}-1\\2\\1\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}2\\-1\\-2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}\right]=0\\\begin{pmatrix}2\\-3\\1\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}-2+2\mathrm r\\2-\mathrm r\\-2\mathrm r\end{pmatrix}=0\end{array}$
  Löse das Skalarprodukt auf und versuche nach r Aufzulösen.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}2(-2+2r)-3(2-r)-2r=0\\\;\;\Rightarrow\;\;r=2\end{array}$
  Da für r ein reeller Wert rauskommt schneidet die Gerade die Ebene in einem Punkt.
  Setze r in g ein um den Schnittpunkt zu erhalten.
  $\overrightarrow{\mathrm OS}=\begin{pmatrix}-1\\2\\1\end{pmatrix}+2\cdot\begin{pmatrix}2\\-1\\-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\0\\-3\end{pmatrix}$
  $\Rightarrow\;$ Die Gerade schneidet die Ebene im Punkt $\mathrm S(3|0|-3)$
  $\;\;\Rightarrow\;\;{\mathrm E}_1\cap\mathrm g=(3|0|-3)$
  2. Möglichkeit
  $\mathrm E:\;\begin{pmatrix}2\\-3\\1\end{pmatrix}\circ\left[\overrightarrow{\mathrm x}-\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}\right]=0$
  Gleichung mit Hilfe des Distributivgesetzes ausmultiplizieren und das Skalarprodukt ausrechnen.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}\begin{pmatrix}2\\-3\\1\end{pmatrix}\circ\overrightarrow{\mathrm x}-\begin{pmatrix}2\\-3\\1\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}=0\\2{\mathrm x}_1-3{\mathrm x}_2+{\mathrm x}_3-(2\cdot1+0+1\cdot1)=0\end{array}$
  Die Gleichung zusammenfassen und alle Koordinaten auf eine Seite und den Rest auf die andere Seite, um die Koordinatenform zu erhalten.
  $\;\Rightarrow\mathrm E:\;\;2{\mathrm x}_1-3{\mathrm x}_2+{\mathrm x}_3=3$
  $\mathrm E:\; 2\cdot x_1-3\cdot x_2+x_3=3$
  $\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}-1\\2\\1\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}2\\-1\\-2\end{pmatrix}$
  Setze g in E ein.
  $2\cdot (-1+2r) -3\cdot (2-r)+(1-2r)=3$
  Löse nach r auf.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}-7+5\mathrm r=3\\\;\Rightarrow\;\;\mathrm r=2\end{array}$
  Da für r ein reeller Wert rauskommt schneidet die Gerade die Ebene in einem Punkt.
  Setze r in g ein um den Schnittpunkt zu erhalten.
  $\overrightarrow{\mathrm OS}=\begin{pmatrix}-1\\2\\1\end{pmatrix}+2\cdot\begin{pmatrix}2\\-1\\-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\0\\-3\end{pmatrix}$
  $\Rightarrow\;$ Die Gerade schneidet die Ebene im Punkt $\mathrm S(3 |0|-3)$
  $\;\;\Rightarrow\;\;{\mathrm E}_1\cap\mathrm g=\mathrm S(3 |0|-3)$
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8. $\mathrm E:\;\begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}\circ\overrightarrow{\mathrm x}-3=0$ und $\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}3\\-2\\-1\end{pmatrix}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von Geraden und Ebenen
  $\mathrm E:\;\begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}\circ\overrightarrow{\mathrm x}-3=0$
  $\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}3\\-2\\-1\end{pmatrix}$
  Setze g in E ein.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}\begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}\circ\left[\begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}3\\-2\\-1\end{pmatrix}\right]-3=0\;\;\;\;\;\left|+3\right.\\\begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}3r\\1-2r\\-1-r\end{pmatrix}=3\end{array}$
  Löse das Skalarprodukt auf und versuche nach r aufzulösen.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}3r+2(1-2r)-(-1-r)=3\\\;\;\Rightarrow\;\;3=3\end{array}$
  Da für alle r die Bedingung erfüllt ist,liegt die Gerade in der Ebene.
  Deshalb liegen alle Koordinaten der Gerade in E.
  $\;\Rightarrow\;$ Die Gerade g liegt in der Ebene E. $\;\;\Rightarrow\;\;\mathrm E\cap\mathrm g=\begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}3\\-2\\-1\end{pmatrix}$
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9. $\mathrm E:\;\begin{pmatrix}3\\1\\-1\end{pmatrix}\circ\overrightarrow{\mathrm x}+6=0$ und $\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}-9\\-4\\20\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}4\\0\\-6\end{pmatrix}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von Geraden und Ebenen
  $\mathrm E:\;\begin{pmatrix}3\\1\\-1\end{pmatrix}\circ\overrightarrow{\mathrm x}+6=0$
  $\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}-9\\-4\\20\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}4\\0\\-6\end{pmatrix}$
  Setze g in E ein.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}\begin{pmatrix}3\\1\\-1\end{pmatrix}\circ\left[\begin{pmatrix}-9\\-4\\20\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}4\\0\\-6\end{pmatrix}\right]+6=0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left|-6\right.\\\begin{pmatrix}3\\1\\-1\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}-9+4r\\-4\\20-6r\end{pmatrix}=-6\end{array}$
  Löse das Skalarprodukt auf und versuche nach r aufzulösen.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}3(-9+4r)-4-(20-6r)=-6\\\;\;\Rightarrow\;\;r=2{,}5\end{array}$
  Da für r ein reeller Wert rauskommt schneidet die Gerade die Ebene in einem Punkt.
  Setze r in g ein um den Schnittpunkt zu erhalten.
  $\overrightarrow{\mathrm OS}=\begin{pmatrix}-9\\-4\\20\end{pmatrix}+2{,}5\cdot\begin{pmatrix}4\\0\\-6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\-4\\5\end{pmatrix}$
  $\Rightarrow\;$ Die Gerade schneidet die Ebene im Punkt $\mathrm S(1|-4|5)$
  $\;\;\Rightarrow\;\;\mathrm E\cap\mathrm g=(1|-4|5)$
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10. $\mathrm E:\;{\mathrm x}_1-3\cdot{\mathrm x}_2+2\cdot{\mathrm x}_3-1=0$ und $\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}-1\\1\\2\end{pmatrix}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von Geraden und Ebenen
  $\mathrm E:\;x_1-3\cdot x_2 +2\cdot x_3-1=0$
  $\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm X}=\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}-1\\1\\2\end{pmatrix}$
  Setze g in E ein.
  $(2-r)-3 \cdot (1+r) + 2 \cdot (1+2r)-1=0$
  Versuche nach r aufzulösen.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}2-r-3-3r+2+4r-1=0\\\;\;\;\Rightarrow\;\;\;\;\;0=0\end{array}$
  Da für alle r die Bedingung erfüllt ist, liegt die Gerade g in der Ebene E.
  $\;\Rightarrow\;$ Alle Punkte der Gerade liegen in E.
  $\Rightarrow\;$ Die Gerade liegt in der Ebene.
  $\;\Rightarrow\;\;\mathrm E\cap\mathrm g=\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}-1\\1\\2\end{pmatrix}$
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11. $\mathrm E:\;{\mathrm x}_1+{\mathrm x}_2+2\cdot{\mathrm x}_3-11=0$ und $\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}1\\3\\2\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von Geraden und Ebenen
  $\mathrm E:\;x_1+x_2+2 \cdot x_3-11=0$
  $\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm X}=\begin{pmatrix}1\\3\\2\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}$
  Setze g in E ein.
  $(1+2r)+(3+r)+ 2 \cdot (2)-11=0$
  Löse nach r auf.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}-3+3r=0\\\;\Rightarrow\;\;\;\mathrm r=1\end{array}$
  Da für r ein reeller Wert rauskommt schneidet die Gerade die Ebene in einem Punkt.
  Setze r in g ein um den Schnittpunkt zu erhalten.
  $\overrightarrow {\mathrm OS}=\begin{pmatrix}1\\3\\2\end{pmatrix}+1\cdot\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\4\\2\end{pmatrix}$
  $\Rightarrow\;$ Die Gerade schneidet die Ebene im Punkt $\mathrm S(3|4|2)$
  $\;\Rightarrow\;\;\mathrm E\cap\mathrm g=(3|4|2)$
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2
Gegeben sind im $\mathbb{R}^3$ die Ebene $\mathrm E:\;{\mathrm x}_1-\mathrm k\cdot{\mathrm x}_2+2\cdot{\mathrm x}_3-4=0$ mit $\mathrm k\neq0$ und die Gerade $\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm X}=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}3\\2\\1\end{pmatrix}$ .
Bestimme k so, dass g parallel zu E verläuft. Liegt dann die Gerade g in der Ebene E?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehnung einer Geraden mit einer Ebene
$\mathrm E:\;x_1-k \cdot x_2 + 2 \cdot x_3-4=0$
$\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm X}=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}3\\2\\1\end{pmatrix}$
Um den richtigen Wert für k zu ermitteln, geht man erst mal so vor, als sei kein Parameter vorhanden und setzt g in E ein.
$(1+3r)-k \cdot (2+2r) + 2 \cdot (3+r) - 4=0$
$3-2k + r(5-2k)=0$
Damit g parallel zu E ist, muss sich r aus der Gleichung raus kürzen.
$\;\Rightarrow\;5-2\mathrm k=0$
$\;\Rightarrow\;\mathrm k=2{,}5$
Jetzt stellt sich noch die Frage ob g zu E echt parrallel ist oder in E liegt. Hierfür setzen wir k in die Gleichung ein.
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}3-2\cdot2{,}5+r\cdot(5-2\cdot2{,}5)=0\\\;\;\Rightarrow\;\;-2=0\end{array}$
Da für kein r die Bedingung erfüllt ist, sind die Ebene und die Gerade echt parallel zueinander und haben keinen Schnittpunkt.
$\;\Rightarrow\;$ Die Gerade und die Ebene sind parallel.
$\;\;\Rightarrow\;\;E\cap\mathrm g=\varnothing$
3
Gegeben sind im $\mathbb{R}^3$ die Ebene $\mathrm E:\;{\mathrm x}_1-3\cdot{\mathrm x}_2+2\cdot{\mathrm x}_3-\mathrm a=0$ ( $\mathrm a\in\mathbb{R}$ ) und die Gerade $\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm X}=\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}\mathrm k\\1\\-2\end{pmatrix}$ mit $\mathrm k\in\mathbb{R}$ .
1. Bestimme für $\mathrm a=4$ den Parameter k so, dass g parallel zu E verläuft. Begründe, dass dann g und E keinen Punkt gemeinsam haben.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von Geraden und Ebenen
  $\mathrm E:\;\color{#cc0000}{x_1}-3\cdot \color{#0000cc}{x_2}+2\cdot \color{#00aa00}{x_3}-\mathrm a=0$
  $g:\;\overrightarrow{X}=\begin{pmatrix}\color{cc0000}{1}\\ \color{0000cc}{0}\\ \color{00aa00}{2}\end{pmatrix}+ r\cdot\begin{pmatrix}\color{cc0000}{k}\\ \color{00aa00}{1}\\ \color{0000cc}{-2}\end{pmatrix}$
  $\mathrm a=4$
  Um den richtigen Wert für $k$ zu ermitteln, geht man erst mal so vor als sei kein Parameter vorhanden und setzt $g$ in $E$ mit $a=4$ ein.
  $\color{#cc0000}{(1+r \cdot k)}- 3 \cdot \color{#00aa00}{(0 + r)}+2 \cdot \color{#0000cc}{(2-2r)} -4=0$
  $1+r \cdot (k-7)=0$
  Damit $g$ parallel zu $E$ ist, muss sich $r$ aus der Gleichung raus kürzen.
  Nach dem Vereinfachen kann man $r$ ausklammern und $k$ so ermitteln, dass $r$ verschwindet.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}\;\Rightarrow\;k-7=0\\\;\Rightarrow\;k=7\end{array}$
  Jetzt stellt sich noch die Frage ob $g$ zu $E$ echt parrallel ist oder in $E$ liegt. Hierfür setzen wir $k$ in die Gleichung ein.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}1+r\cdot(7-7)=0\\\;\Rightarrow\;1=0\end{array}$
  Da für kein $r$ die Bedingung erfüllt ist, sind die Ebene und die Gerade echt parallel zueinander und haben keinen Schnittpunkt.
  $\;\Rightarrow\;$ Die Gerade und die Ebene sind parallel.
  $\;\;\Rightarrow\;\;\mathrm E\cap\mathrm g=\varnothing$
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2. Es gelte $\mathrm k=7$ , also verläuft g parallel zu E. Bestimme Parameter a so, dass g in E liegt.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von Geraden und Ebenen
  $\mathrm E: \color{#cc0000} {x_1}-3\cdot\color{#00aa00}{x_2}+2\cdot\color{#0000cc}{x_3}-\mathrm a=0$
  $\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm X}=\begin{pmatrix}\color{#cc0000}{1}\\\color{#00aa00}{0}\\\color{#0000cc}{2}\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}\color{#cc0000}{k}\\\color{#00aa00}{1}\\\color{#0000cc}{-2}\end{pmatrix}$
  $\mathrm k=7$
  Um den richtigen Wert für $a$ zu ermitteln, geht man erst mal so vor als sei kein Parameter vorhanden und setzt $g$ in $E$ mit $k=7$ ein.
  $\color{#cc0000}{(1+r \cdot 7)}- 3 \cdot \color{#00aa00}{(0 + r)}+2 \cdot \color{#0000cc}{(2-2r)} -a=0$
  Damit $g$ in $E$ liegt, muss $a$ so gewählt sein, dass für alle $r$ die Gleichung erfüllt ist. Da sich $r$ rauskürzt, muss man die Gleichung nur noch nach $a$ auflösen.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}1+7\mathrm r-3\mathrm r+4-4\mathrm r-\mathrm a=0\\\;\Rightarrow\;\mathrm a=5\end{array}$
  Für $a=5$ (und $k=7$ ) liegt die Gerade in der Ebene.
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4
Gegeben ist im $\mathbb{R}^3$ die Ebene $\mathrm E:\;2\cdot{\mathrm x}_1-{\mathrm x}_3-3=0$ .
1. Gib eine Gerade $g$ an, die ganz in $E$ liegt.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehungen einer Gerade und einer Ebene
  Die allgemeine Geradengleichung lautet $g: \vec{x} = \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} d \\ e \\ f \end{pmatrix}$
  Wenn $g$ in $E$ liegen soll, muss der Stützvektor der Geraden die Ebenengleichung erfüllen
  Also: $2a - c = 3$ $\rArr$ $c = 2a -3$
  Diese vorläufige Geradengleichung kann nun in $E$ eingesetzt werden:
  $2(a+d\cdot r) - (c + f\cdot r) = 3$
  $\Leftrightarrow 2a + 2d \cdot r - c -f\cdot r =3$
  Da bekannt ist, dass $2a - c = 3$ :
  $3 + 2d\cdot r -f\cdot r = 3$
  Demnach muss $2d\cdot r - f\cdot r = 0$ sein, also $2d\cdot r = f\cdot r => 2d =f$ , denn es muss ja für alle $r$ gelten.
  Da $b$ und $e$ keinen Bedingungen unterliegen, sind diese beiden frei aus $\mathbb{R}$ wählbar.
  Alle Geraden $g,$ die in $E$ liegen, haben also die Form $\vec{x}=\begin{pmatrix} a \\ b \\ 2 \cdot a - 3 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} d \\ e \\ 2 \cdot d \end{pmatrix}$ mit a;b;d;e; aus $\mathbb{R}$ , $d$ und $e$ nicht beide Null.
  Eine Lösung ist zum Beispiel $g: \vec{x}=\begin{pmatrix}0\\0\\-3 \end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}1\\0\\2 \end{pmatrix}$ .
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  Wähle eine möglichst allgemeine Darstellung der Geraden und bestimme die Parameter. Benutze dann die Koordinatenform, um Ebenen $F_1$ und $F_2$ zu bestimmen.
2. Gib zwei von E verschiedene Ebenen ${\mathrm F}_1$ und ${\mathrm F}_2$ an, die ebenfalls g enthalten.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehungen einer Gerade und einer Ebene
  Werden in der Gleichung der Geraden $b=e=0$ gewählt, erhältst du mögliche Ebenen $F_1$ und $F_2$ aus
  $2x_1 + nx_2 - x_3 = 3$ mit $n$ aus $\mathbb{R}\setminus\{0\}$ , da sich $x_2$ aus jeglichen Gleichungen herauskürzt.
  Zum Beispiel sind $F_1: 2x_1+x_2-x_3=3$ und $F_2: 2x_1+2x_2-x_3=3$ Lösungen.
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  Wähle eine möglichst allgemeine Darstellung der Geraden und bestimme die Parameter. Benutze dann die Koordinatenform, um Ebenen $F_1$ und $F_2$ zu bestimmen.
3. Gib eine Gerade $k$ so an, dass $k$ in ${\mathrm F}_1$ liegt und $E$ nicht schneidet.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehungen einer Gerade und einer Ebene
  In diesem Teil der Aufgabe gehen wir wieder von einer allgemeinen Ebene $F_1: 2x_1+nx_2-x_3=0$ mit $n\neq 0$ aus.
  Damit $k$ und $E$ keinen Schnittpunkt haben, müssen sie parallel sein, also muss der Richtungsvektor $\overrightarrow{k}$ der Geraden $k$ senkrecht zum Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ der Ebene $E$ stehen, der sich einfach aus der Ebenengleichung ablesen lässt.
  Für $k$ wählen wir wieder die Darstellung $k: \vec{x} = \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} d \\ e \\ f \end{pmatrix}$ .
  Mit $\vec{n}=\begin{pmatrix}2\\0\\-1 \end{pmatrix}$ und $\vec{k}=\begin{pmatrix}d\\e\\f \end{pmatrix}$ ist
  $\overrightarrow{k} \cdot \overrightarrow{n}=0 \Leftrightarrow 2\cdot d-1\cdot f=0\Rightarrow f=2d$ .
  Damit $k$ nun in $F_1$ liegt, kann die vorläufige Geradengleichung hier eingesetzt werden:
  $2(a+d\cdot r) + n(b+e\cdot r) - (c+f\cdot r) = 3$
  Mit $f = 2d$ gilt:
  $2a + 2dr + nb + ner - c - 2dr = 3 \rightarrow$
  $2a + nb + ner - c = 3$ .
  Da $k$ in $F_1$ liegen soll, muss $r$ aus der Gleichung eliminiert werden, demnach muss $e = 0$ sein.
  Also gilt $2a + nb - 3 = c$ , dabei sind $a$ und $b$ frei wählbar aus $\mathbb{R}$
  Für $k$ , die in $F_1$ liegt und dabei $E$ nicht schneidet, gilt demnach:
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  Wähle eine möglichst allgemeine Darstellung der Geraden und bestimme die Parameter. Benutze dann die Koordinatenform, um Ebenen $F_1$ und $F_2$ zu bestimmen.

Gegeben sind eine Gerade $g$ und eine Ebene $E$ mit:

$g:\;\overrightarrow{X}=\begin{pmatrix} -5 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix} 6 \\ -4 \\ 1 \end{pmatrix}$ und $E:\;\overrightarrow{X}=\begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ 0 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\- 1 \end{pmatrix}+t \cdot \begin{pmatrix} 6 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}$

Untersuche die Lage der Geraden $g$ bezüglich der Ebene $E$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehungen von Geraden und Ebenen

Setze $g=E$ :

$\displaystyle \begin{pmatrix} -5 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix} 6 \\ -4 \\ 1 \end{pmatrix}$	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ 0 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\- 1 \end{pmatrix}+t \cdot \begin{pmatrix} 6 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}$	$\displaystyle -\begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ 0 \end{pmatrix}$
	↓	Sortiere. Bringe die Vektoren auf die linke Gleichungsseite und die Vektoren mit Parametern auf die rechte Gleichungsseite.
$\displaystyle \begin{pmatrix} -6 \\-5 \\ 0 \end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix} 6 \\ -4 \\ 1 \end{pmatrix}$	$=$	$\displaystyle +s\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\- 1 \end{pmatrix}+t \cdot \begin{pmatrix} 6 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}$	$\displaystyle -r\cdot \begin{pmatrix} 6 \\ -4 \\ 1 \end{pmatrix}$
$\displaystyle \begin{pmatrix} -6 \\-5 \\ 0 \end{pmatrix}$	$=$	$\displaystyle -r\cdot \begin{pmatrix} 6 \\ -4 \\ 1 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\- 1 \end{pmatrix}+t \cdot \begin{pmatrix} 6 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}$

Du hast ein lineares Gleichungssystem mit $3$ Variablen erhalten, das z.B. mit dem Additionsverfahren gelöst werden kann.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{ccccc}\mathrm{I}&-6\cdot r&+&0\cdot s&+&6\cdot t&=-6\\\mathrm{II}&4\cdot r&+&3\cdot s&+&2\cdot t&=-5\\\mathrm{III}&-1\cdot r&-&1\cdot s&-&1\cdot t&=0\end{array}$

Rechne $\mathrm{II}+3\cdot \mathrm{III}$ :

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{ccccc}\mathrm{II}&4\cdot r&+&3\cdot s&+&2\cdot t&\;=-5\\+3\cdot\mathrm{III}&-3\cdot r&-&3\cdot s&-&3\cdot t&=0\end{array}\\\overline{\;\;\;\;\;\mathrm{IV}\;\;\;\;\;\;\;\;\;1\cdot r\;\;\;+\;\;\;0\cdot s\;\;\;\;-\;\;1\cdot t\;\;\;\;=-5}$

Rechne $\mathrm{I}:(-6)$ $\;\Rightarrow\; \mathrm{V}\;\;\;1\cdot r+0\cdot s-1\cdot t=1$

Rechne $\mathrm{IV}-\mathrm{V}$ :

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{ccccc}\mathrm{IV}&1\cdot r&+&0\cdot s&-&1\cdot t&\;=-5\\-\mathrm{V}&1\cdot r&+&0\cdot s&-&1\cdot t&=1\end{array}\\\overline{\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0\cdot r\;\;\;+\;\;\;0\cdot s\;\;\;\;+\;\;0\cdot t\;\;\;\;=-6}$

$\Rightarrow\; 0=-6$

Du hast eine falsche Aussage erhalten. Das Gleichungssystem hat keine Lösung, d.h. die Gerade und die Ebene schneiden sich nicht. Die Gerade und Ebene verlaufen parallel zueinander.

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Aufgaben zur Lagebeziehung von Geraden und Ebenen

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1. Möglichkeit (g in E einsetzen)

2. Möglichkeit (Ebene von Normalform in Koordinatenform)

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1. Möglichkeit

2. Möglichkeit

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1. Möglichkeit

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