Aufgaben zur Lagebeziehung von Geraden und Ebenen
Lerne mit diesen Übungsaufgaben die Lagebeziehung von Geraden und Ebenen zu untersuchen. Schaffst du sie alle?
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Bestimme jeweils die Schnittmenge von Ebene und Gerade.
E1:x1+x2−2⋅x3=−3 und g:X=349+r⋅113
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von Geraden und Ebenen
E1:x1+x2−2⋅x3=−3
g:X=349+r⋅113
Setze g in E1 ein.
(3+r⋅1)+(4+r⋅1)−2⋅(9+r⋅3)=−3
Vereinfache soweit wie möglich und löse nach r auf.
−4⋅r−11=−3
⇒r=−2
Da für r ein reeller Wert rauskommt, schneidet die Gerade die Ebene in einem Punkt.
Setze r in g ein um den Schnittpunkt zu erhalten.
S=349+(−2)⋅113=123
⇒ Die Gerade schneidet die Ebene im Punkt S(1∣2∣3)
⇒E1∩g=S(1∣2∣3)
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E1:x1−x2+2⋅x3=−8 und g:X=002+r⋅12−1
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von Geraden und Ebenen
E1:x1−x2+2⋅x3=−8
g:X=002+r⋅12−1
Setze g in E1 ein.
(0+r⋅1)−(0+r⋅2)+2⋅(2+r⋅−1)=−8
Vereinfache soweit wie möglich und löse nach r auf.
−3⋅r+4=−8
⇒r=4
Da für r ein reeler Wert rauskommt schneidet die Gerade die Ebene in einem Punkt.
Setze r in g ein um den Schnittpunkt zu erhalten.
S=002+4⋅12−1=48−2
⇒ Die Gerade schneidet die Ebene im Punkt S=48−2
⇒ Die Gerade schneidet die Ebene im Punkt S=48−2
⇒E1∩g=48−2
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E1:x1+x2−2⋅x3=2 und g:X=132+r⋅423
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von Geraden und Ebenen
E1:x1+x2−2⋅x3=2
g:X=132+r⋅423
Setze g in E1 ein und vereinfache soweit wie möglich und löse nach r auf.
(1+r⋅4)+(3+r⋅2)−2⋅(2+r⋅3)=2
1+4⋅r+3+2⋅r−4−6⋅r=2
⇒0=2
Da für kein r die Bedingung erfüllt ist, sind die Ebene und die Gerade parallel und haben keinen Schnittpunkt.
⇒ Die Gerade und die Ebene sind parallel.
⇒E1∩g=∅
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E1:x1+x2−2⋅x3=0 und g:X=132+r⋅423
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von Geraden und Ebenen
E1:x1+x2−2⋅x3=0
und g:X=132+r⋅423
Setze g in E1 ein.**
(1+4r)+(3+2r)−2⋅(2+3r)=0
Versuche nach r aufzulösen.
1+4r+3+2r−4−6r=0⇒0=0
Da für alle r die Bedingung erfüllt ist, liegt die Gerade g in der Ebene E1 .
⇒ Alle Punkte der Gerade liegen in E1 .
⇒ Die Gerade liegt in der Ebene.
⇒E1∩g=132+r⋅423
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E:13−1∘x−110=0 und g:x=211+r⋅1−1−2
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von Geraden und Ebenen
1. Möglichkeit (g in E einsetzen)
E:13−1∘x−110=0
g:x=211+r⋅1−1−2
Setze g in E ein.
13−1∘211+r⋅1−1−2−110=013−1∘1+r−r1−2r=0
Löse das Skalarprodukt auf und versuche nach r Aufzulösen.
(1+r)−3r−(1−2r)=0⇒0=0
Da für alle r die Bedingung erfüllt ist,liegt die Gerade in der Ebene.
Deshalb liegen alle Koordinaten der Gerade in E.
⇒ Die Gerade g liegt in der Ebene E.
⇒E∩g=211+r⋅1−1−2
2. Möglichkeit (Ebene von Normalform in Koordinatenform)
E:13−1∘x−110=0
Gleichung mit Hilfe des Distributivgesetzes ausmultiplizieren und das Skalarprodukt ausrechnen.
13−1∘x−13−1∘110=0x1+3x2−x3−(1⋅1+3⋅1+0⋅(−1))=0
Die Gleichung zusammenfassen und alle Koordinaten auf eine Seite und den rest auf die andere Seite um die Koordinatenform zu erhalten.
⇒E:x1+3x2−x3=4
g:x=211+r⋅1−1−2
(2+r)+3⋅(1−r)−(1−2r)=4
Setze g in die Koordinatenform ein
2+r+3−3r−1+2r=4
⇒4=4
Da für alle r die Bedingung erfüllt ist, liegt die Gerade g in der Ebene E1 .
⇒ Die Gerade g liegt in der Ebene E.
⇒E∩g=211+r⋅1−1−2
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E:1−1−3∘x−0−1−1=0 und g:x=31−1+r⋅1−21
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von Geraden und Ebenen
1. Möglichkeit
E:1−1−3∘x−0−1−1=0
g:x=31−1+r⋅1−21
Setze g in E ein.
1−1−3∘31−1+r⋅1−21−0−1−1=01−1−3∘3+r2−2rr=0
Löse das Skalarprodukt auf und versuche nach r aufzulösen.
3+r−(2−2r)−3r=0⇒1=0
Da für kein r die Bedingung erfüllt ist, sind die Ebene und die Gerade parallel und haben keinen Schnittpunkt.
⇒ Die Gerade und die Ebene sind parallel.
⇒E∩g=∅
2. Möglichkeit
E:1−1−3∘x−0−1−1=0
Gleichung mit Hilfe des Distributivgesetzes ausmultiplizieren und das Skalarprofukt ausrechnen.
1−1−3∘x−1−1−3∘0−1−1=0x1−x2−3x3−(1⋅0+(−1)⋅(−1)+(−3)⋅(−1))=0
Die Gleichung zusammenfassen und alle Koordinaten auf eine Seite und den Rest auf die andere Seite um die Koordinatenform zu erhalten.
⇒E:x1−x2−3x3=4
Gerade in die Koordinatenform einsetzen.
(3+r)−(1−2r)−3⋅(−1+r)=4
3+r−1+2r+3−3r=4
5=4
Ist für kein r erfüllt. Also gibt es keinen gemeinsamen Punkt.
⇒E∩g=∅
Ebene und Gerade sind parallel.
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E:2−31∘x−101=0 und g:x=−121+r⋅2−1−2
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von Geraden und Ebenen
1. Möglichkeit
E:2−31∘x−101=0
g:x=−121+r⋅2−1−2
Setze g in E ein.
2−31∘−121+r⋅2−1−2−101=02−31∘−2+2r2−r−2r=0
Löse das Skalarprodukt auf und versuche nach r Aufzulösen.
2(−2+2r)−3(2−r)−2r=0⇒r=2
Da für r ein reeller Wert rauskommt schneidet die Gerade die Ebene in einem Punkt.
Setze r in g ein um den Schnittpunkt zu erhalten.
OS=−121+2⋅2−1−2=30−3
⇒ Die Gerade schneidet die Ebene im Punkt S(3∣0∣−3)
⇒E1∩g=(3∣0∣−3)
2. Möglichkeit
E:2−31∘x−101=0
Gleichung mit Hilfe des Distributivgesetzes ausmultiplizieren und das Skalarprodukt ausrechnen.
2−31∘x−2−31∘101=02x1−3x2+x3−(2⋅1+0+1⋅1)=0
Die Gleichung zusammenfassen und alle Koordinaten auf eine Seite und den Rest auf die andere Seite, um die Koordinatenform zu erhalten.
⇒E:2x1−3x2+x3=3
E:2⋅x1−3⋅x2+x3=3
g:x=−121+r⋅2−1−2
Setze g in E ein.
2⋅(−1+2r)−3⋅(2−r)+(1−2r)=3
Löse nach r auf.
−7+5r=3⇒r=2
Da für r ein reeller Wert rauskommt schneidet die Gerade die Ebene in einem Punkt.
Setze r in g ein um den Schnittpunkt zu erhalten.
OS=−121+2⋅2−1−2=30−3
⇒ Die Gerade schneidet die Ebene im Punkt S(3∣0∣−3)
⇒E1∩g=S(3∣0∣−3)
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E:12−1∘x−3=0 und g:x=01−1+r⋅3−2−1
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von Geraden und Ebenen
E:12−1∘x−3=0
g:x=01−1+r⋅3−2−1
Setze g in E ein.
12−1∘01−1+r⋅3−2−1−3=0∣+312−1∘3r1−2r−1−r=3
Löse das Skalarprodukt auf und versuche nach r aufzulösen.
3r+2(1−2r)−(−1−r)=3⇒3=3
Da für alle r die Bedingung erfüllt ist,liegt die Gerade in der Ebene.
Deshalb liegen alle Koordinaten der Gerade in E.
⇒ Die Gerade g liegt in der Ebene E.⇒E∩g=01−1+r⋅3−2−1
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E:31−1∘x+6=0 und g:x=−9−420+r⋅40−6
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von Geraden und Ebenen
E:31−1∘x+6=0
g:x=−9−420+r⋅40−6
Setze g in E ein.
31−1∘−9−420+r⋅40−6+6=0∣−631−1∘−9+4r−420−6r=−6
Löse das Skalarprodukt auf und versuche nach r aufzulösen.
3(−9+4r)−4−(20−6r)=−6⇒r=2,5
Da für r ein reeller Wert rauskommt schneidet die Gerade die Ebene in einem Punkt.
Setze r in g ein um den Schnittpunkt zu erhalten.
OS=−9−420+2,5⋅40−6=1−45
⇒ Die Gerade schneidet die Ebene im Punkt S(1∣−4∣5)
⇒E∩g=(1∣−4∣5)
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E:x1−3⋅x2+2⋅x3−1=0 und g:x=211+r⋅−112
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von Geraden und Ebenen
E:x1−3⋅x2+2⋅x3−1=0
g:X=211+r⋅−112
Setze g in E ein.
(2−r)−3⋅(1+r)+2⋅(1+2r)−1=0
Versuche nach r aufzulösen.
2−r−3−3r+2+4r−1=0⇒0=0
Da für alle r die Bedingung erfüllt ist, liegt die Gerade g in der Ebene E.
⇒ Alle Punkte der Gerade liegen in E.
⇒ Die Gerade liegt in der Ebene.
⇒E∩g=211+r⋅−112
Hast du eine Frage oder Feedback?
E:x1+x2+2⋅x3−11=0 und g:x=132+r⋅210
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von Geraden und Ebenen
E:x1+x2+2⋅x3−11=0
g:X=132+r⋅210
Setze g in E ein.
(1+2r)+(3+r)+2⋅(2)−11=0
Löse nach r auf.
−3+3r=0⇒r=1
Da für r ein reeller Wert rauskommt schneidet die Gerade die Ebene in einem Punkt.
Setze r in g ein um den Schnittpunkt zu erhalten.
OS=132+1⋅210=342
⇒ Die Gerade schneidet die Ebene im Punkt S(3∣4∣2)
⇒E∩g=(3∣4∣2)
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- 2
Gegeben sind im R3 die Ebene E:x1−k⋅x2+2⋅x3−4=0 mit k=0 und die Gerade g:X=123+r⋅321 .
Bestimme k so, dass g parallel zu E verläuft. Liegt dann die Gerade g in der Ebene E?
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehnung einer Geraden mit einer Ebene
E:x1−k⋅x2+2⋅x3−4=0
g:X=123+r⋅321
Um den richtigen Wert für k zu ermitteln, geht man erst mal so vor, als sei kein Parameter vorhanden und setzt g in E ein.
(1+3r)−k⋅(2+2r)+2⋅(3+r)−4=0
3−2k+r(5−2k)=0
Damit g parallel zu E ist, muss sich r aus der Gleichung raus kürzen.
⇒5−2k=0
⇒k=2,5
Jetzt stellt sich noch die Frage ob g zu E echt parrallel ist oder in E liegt. Hierfür setzen wir k in die Gleichung ein.
3−2⋅2,5+r⋅(5−2⋅2,5)=0⇒−2=0
Da für kein r die Bedingung erfüllt ist, sind die Ebene und die Gerade echt parallel zueinander und haben keinen Schnittpunkt.
⇒ Die Gerade und die Ebene sind parallel.
⇒E∩g=∅
- 3
Gegeben sind im R3 die Ebene E:x1−3⋅x2+2⋅x3−a=0 ( a∈R ) und die Gerade g:X=102+r⋅k1−2 mit k∈R .
Bestimme für a=4 den Parameter k so, dass g parallel zu E verläuft. Begründe, dass dann g und E keinen Punkt gemeinsam haben.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von Geraden und Ebenen
E:x1−3⋅x2+2⋅x3−a=0
g:X=102+r⋅k1−2
a=4
Um den richtigen Wert für k zu ermitteln, geht man erst mal so vor als sei kein Parameter vorhanden und setzt g in E mit a=4 ein.
(1+r⋅k)−3⋅(0+r)+2⋅(2−2r)−4=0
1+r⋅(k−7)=0
Damit g parallel zu E ist, muss sich r aus der Gleichung raus kürzen.
Nach dem Vereinfachen kann man r ausklammern und k so ermitteln, dass r verschwindet.
⇒k−7=0⇒k=7
Jetzt stellt sich noch die Frage ob g zu E echt parrallel ist oder in E liegt. Hierfür setzen wir k in die Gleichung ein.
1+r⋅(7−7)=0⇒1