$E_1:x_1+x_2-2\cdot x_3=-3$

$g:\overrightarrow{X}=\left(\begin{array}{c}3\\ 4\\ 9\end{array}\right)+\mathrm{r}\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 3\end{array}\right)$

Setze $g$ in ${\mathrm{E}}_1$ ein.

$(3+r\cdot 1)+(4+r\cdot 1)-2\cdot (9+r\cdot 3)=-3$

Vereinfache soweit wie möglich und löse nach $r$ auf.

$-4\cdot r-11=-3$

$\overrightarrow{S}=\left(\begin{array}{c}3\\ 4\\ 9\end{array}\right)+(-2)\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\end{array}\right)$

$\Rightarrow {\mathrm{E}}_1\cap \mathrm{g}=S\left(1|2|3\right)$

$E_1:x_1-x_2+2\cdot x_3=-8$

$g:\overrightarrow{X}=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 2\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ -1\end{array}\right)$

Setze $g$ in ${\mathrm{E}}_1$ ein.

$(0+r\cdot 1)-(0+r\cdot 2)+2\cdot (2+r\cdot -1)=-8$

Vereinfache soweit wie möglich und löse nach $r$ auf.

$-3\cdot r+4=-8$

$\Rightarrow r=4$

$\mathrm{S}=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 2\end{array}\right)+4\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4\\ 8\\ -2\end{array}\right)$

$\Rightarrow {\mathrm{E}}_1\cap \mathrm{g}=\left(\begin{array}{c}4\\ 8\\ -2\end{array}\right)$

$E_1:x_1+x_2-2\cdot x_3=2$

$g:\overrightarrow{X}=\left(\begin{array}{c}1\\ 3\\ 2\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}4\\ 2\\ 3\end{array}\right)$

Setze g in ${\mathrm{E}}_1$ ein und vereinfache soweit wie möglich und löse nach $r$ auf.

$(1+r\cdot 4)+(3+r\cdot 2)-2\cdot (2+r\cdot 3)=2$

$1+4\cdot r+3+2\cdot r-4-6\cdot r=2$

$\Rightarrow 0=2$

$\Rightarrow$ Die Gerade und die Ebene sind parallel.

$\Rightarrow {\mathrm{E}}_1\cap \mathrm{g}=⌀$

${\mathrm{E}}_1:x_1+x_2-2\cdot x_3=0$

und $g:\overrightarrow{X}=\left(\begin{array}{c}1\\ 3\\ 2\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}4\\ 2\\ 3\end{array}\right)$

Setze g in ${\mathrm{E}}_1$ ein.**

$(1+4r)+(3+2r)-2\cdot (2+3r)=0$

Versuche nach r aufzulösen.

$\begin{array}{l}1+4r+3+2r-4-6r=0\\ \Rightarrow 0=0\end{array}$

Da für alle r die Bedingung erfüllt ist, liegt die Gerade g in der Ebene ${\mathrm{E}}_1$ .

$\Rightarrow$ Alle Punkte der Gerade liegen in ${\mathrm{E}}_1$ .

$\Rightarrow$ Die Gerade liegt in der Ebene.

$\Rightarrow {\mathrm{E}}_1\cap \mathrm{g}=\left(\begin{array}{c}1\\ 3\\ 2\end{array}\right)+\mathrm{r}\cdot \left(\begin{array}{c}4\\ 2\\ 3\end{array}\right)$

$\mathrm{E}:\left(\begin{array}{c}1\\ 3\\ -1\end{array}\right)\circ [\overrightarrow{\mathrm{x}}-\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 0\end{array}\right)]=0$

$\mathrm{g}:\overrightarrow{\mathrm{x}}=\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 1\end{array}\right)+\mathrm{r}\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ -2\end{array}\right)$

Setze g in E ein.

$\begin{array}{l}\left(\begin{array}{c}1\\ 3\\ -1\end{array}\right)\circ [\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 1\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ -2\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 0\end{array}\right)]=0\\ \left(\begin{array}{c}1\\ 3\\ -1\end{array}\right)\circ \left(\begin{array}{c}1+r\\ -r\\ 1-2r\end{array}\right)=0\end{array}$

Löse das Skalarprodukt  auf und versuche nach r Aufzulösen.

$\begin{array}{l}(1+r)-3r-(1-2r)=0\\ \Rightarrow 0=0\end{array}$

Da für alle r die Bedingung erfüllt ist,liegt die Gerade in der Ebene.

Deshalb liegen alle Koordinaten der Gerade in E.

$\Rightarrow$ Die Gerade g liegt in der Ebene E.

$\Rightarrow \mathrm{E}\cap \mathrm{g}=\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 1\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ -2\end{array}\right)$

$\mathrm{E}:\left(\begin{array}{c}1\\ 3\\ -1\end{array}\right)\circ [\overrightarrow{\mathrm{x}}-\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 0\end{array}\right)]=0$

Gleichung mit Hilfe des Distributivgesetzes ausmultiplizieren und das Skalarprodukt ausrechnen.

$\begin{array}{l}\left(\begin{array}{c}1\\ 3\\ -1\end{array}\right)\circ \overrightarrow{\mathrm{x}}-\left(\begin{array}{c}1\\ 3\\ -1\end{array}\right)\circ \left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 0\end{array}\right)=0\\ {\mathrm{x}}_1+3{\mathrm{x}}_2-{\mathrm{x}}_3-(1\cdot 1+3\cdot 1+0\cdot (-1))=0\end{array}$

Die Gleichung zusammenfassen und alle Koordinaten auf eine Seite und den rest auf die andere Seite um die Koordinatenform zu erhalten.

$\Rightarrow \mathrm{E}:x_1+3x_2-x_3=4$

$\mathrm{g}:\overrightarrow{\mathrm{x}}=\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 1\end{array}\right)+\mathrm{r}\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ -2\end{array}\right)$

$(2+r)+3\cdot (1-r)-(1-2r)=4$

Setze g in die Koordinatenform ein

$2+r+3-3r-1+2r=4$

$\Rightarrow 4=4$

Da für alle r die Bedingung erfüllt ist, liegt die Gerade g in der Ebene ${\mathrm{E}}_1$ .

$\Rightarrow$ Die Gerade g liegt in der Ebene E.

$\Rightarrow \mathrm{E}\cap \mathrm{g}=\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 1\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ -2\end{array}\right)$

$\mathrm{E}:\left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ -3\end{array}\right)\circ [\overrightarrow{\mathrm{x}}-\left(\begin{array}{c}0\\ -1\\ -1\end{array}\right)]=0$

$\mathrm{g}:\overrightarrow{\mathrm{x}}=\left(\begin{array}{c}3\\ 1\\ -1\end{array}\right)+\mathrm{r}\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ 1\end{array}\right)$

Setze g in E ein.

$\begin{array}{l}\left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ -3\end{array}\right)\circ [\left(\begin{array}{c}3\\ 1\\ -1\end{array}\right)+\mathrm{r}\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ 1\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}0\\ -1\\ -1\end{array}\right)]=0\\ \left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ -3\end{array}\right)\circ \left(\begin{array}{c}3+r\\ 2-2r\\ r\end{array}\right)=0\end{array}$

Löse das Skalarprodukt  auf und versuche nach r aufzulösen.

$\begin{array}{l}3+r-(2-2r)-3r=0\\ \Rightarrow 1=0\end{array}$

Da für kein r die Bedingung erfüllt ist, sind die Ebene und die Gerade parallel und haben keinen Schnittpunkt.

$\Rightarrow$ Die Gerade und die Ebene sind parallel.

$\Rightarrow \mathrm{E}\cap \mathrm{g}=⌀$

$\mathrm{E}:\left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ -3\end{array}\right)\circ [\overrightarrow{\mathrm{x}}-\left(\begin{array}{c}0\\ -1\\ -1\end{array}\right)]=0$

Gleichung mit Hilfe des Distributivgesetzes ausmultiplizieren und das Skalarprofukt ausrechnen.

$\begin{array}{l}\left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ -3\end{array}\right)\circ \overrightarrow{\mathrm{x}}-\left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ -3\end{array}\right)\circ \left(\begin{array}{c}0\\ -1\\ -1\end{array}\right)=0\\ {\mathrm{x}}_1-{\mathrm{x}}_2-3{\mathrm{x}}_3-(1\cdot 0+(-1)\cdot (-1)+(-3)\cdot (-1))=0\end{array}$

Die Gleichung zusammenfassen und alle Koordinaten auf eine Seite und den Rest auf die andere Seite um die Koordinatenform zu erhalten.

$\Rightarrow \mathrm{E}:{\mathrm{x}}_1-{\mathrm{x}}_2-3{\mathrm{x}}_3=4$

$(3+r)-(1-2r)-3\cdot (-1+r)=4$

$3+r-1+2r+3-3r=4$

$5=4$

Ist für kein r erfüllt. Also gibt es keinen gemeinsamen Punkt.

$\Rightarrow \mathrm{E}\cap \mathrm{g}=⌀$

Ebene und Gerade sind parallel.

$\mathrm{E}:\left(\begin{array}{c}2\\ -3\\ 1\end{array}\right)\circ [\overrightarrow{\mathrm{x}}-\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\end{array}\right)]=0$

$\mathrm{g}:\overrightarrow{\mathrm{x}}=\left(\begin{array}{c}-1\\ 2\\ 1\end{array}\right)+\mathrm{r}\cdot \left(\begin{array}{c}2\\ -1\\ -2\end{array}\right)$

Setze g in E ein.

$\begin{array}{l}\left(\begin{array}{c}2\\ -3\\ 1\end{array}\right)\circ [\left(\begin{array}{c}-1\\ 2\\ 1\end{array}\right)+\mathrm{r}\cdot \left(\begin{array}{c}2\\ -1\\ -2\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\end{array}\right)]=0\\ \left(\begin{array}{c}2\\ -3\\ 1\end{array}\right)\circ \left(\begin{array}{c}-2+2\mathrm{r}\\ 2-\mathrm{r}\\ -2\mathrm{r}\end{array}\right)=0\end{array}$

Löse das Skalarprodukt  auf und versuche nach r Aufzulösen.

$\begin{array}{l}2(-2+2r)-3(2-r)-2r=0\\ \Rightarrow r=2\end{array}$

Da für r ein reeller Wert rauskommt schneidet die Gerade die Ebene in einem Punkt.

Setze r in g ein um den Schnittpunkt zu erhalten.

$\overrightarrow{\mathrm{O}S}=\left(\begin{array}{c}-1\\ 2\\ 1\end{array}\right)+2\cdot \left(\begin{array}{c}2\\ -1\\ -2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3\\ 0\\ -3\end{array}\right)$

$\Rightarrow$ Die Gerade schneidet die Ebene im Punkt $\mathrm{S}(3|0|-3)$

$\Rightarrow {\mathrm{E}}_1\cap \mathrm{g}=(3|0|-3)$

$\mathrm{E}:\left(\begin{array}{c}2\\ -3\\ 1\end{array}\right)\circ [\overrightarrow{\mathrm{x}}-\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\end{array}\right)]=0$

Gleichung mit Hilfe des Distributivgesetzes ausmultiplizieren und das Skalarprodukt ausrechnen.

$\begin{array}{l}\left(\begin{array}{c}2\\ -3\\ 1\end{array}\right)\circ \overrightarrow{\mathrm{x}}-\left(\begin{array}{c}2\\ -3\\ 1\end{array}\right)\circ \left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\end{array}\right)=0\\ 2{\mathrm{x}}_1-3{\mathrm{x}}_2+{\mathrm{x}}_3-(2\cdot 1+0+1\cdot 1)=0\end{array}$

Die Gleichung zusammenfassen und alle Koordinaten auf eine Seite und den Rest auf die andere Seite, um die Koordinatenform zu erhalten.

$\Rightarrow \mathrm{E}:2{\mathrm{x}}_1-3{\mathrm{x}}_2+{\mathrm{x}}_3=3$

$\mathrm{E}:2\cdot x_1-3\cdot x_2+x_3=3$

$\mathrm{g}:\overrightarrow{\mathrm{x}}=\left(\begin{array}{c}-1\\ 2\\ 1\end{array}\right)+\mathrm{r}\cdot \left(\begin{array}{c}2\\ -1\\ -2\end{array}\right)$

Setze g in E ein.

$2\cdot (-1+2r)-3\cdot (2-r)+(1-2r)=3$

Löse nach r auf.

$\begin{array}{l}-7+5\mathrm{r}=3\\ \Rightarrow \mathrm{r}=2\end{array}$

Da für r ein reeller Wert rauskommt schneidet die Gerade die Ebene in einem Punkt.

Setze r in g ein um den Schnittpunkt zu erhalten.

$\overrightarrow{\mathrm{O}S}=\left(\begin{array}{c}-1\\ 2\\ 1\end{array}\right)+2\cdot \left(\begin{array}{c}2\\ -1\\ -2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3\\ 0\\ -3\end{array}\right)$

$\Rightarrow$ Die Gerade schneidet die Ebene im Punkt $\mathrm{S}(3|0|-3)$

$\Rightarrow {\mathrm{E}}_1\cap \mathrm{g}=\mathrm{S}(3|0|-3)$

$\mathrm{E}:\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ -1\end{array}\right)\circ \overrightarrow{\mathrm{x}}-3=0$

$\mathrm{g}:\overrightarrow{\mathrm{x}}=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ -1\end{array}\right)+\mathrm{r}\cdot \left(\begin{array}{c}3\\ -2\\ -1\end{array}\right)$

Setze g in E ein.

$\begin{array}{l}\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ -1\end{array}\right)\circ [\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ -1\end{array}\right)+\mathrm{r}\cdot \left(\begin{array}{c}3\\ -2\\ -1\end{array}\right)]-3=0|+3\\ \left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ -1\end{array}\right)\circ \left(\begin{array}{c}3r\\ 1-2r\\ -1-r\end{array}\right)=3\end{array}$

Löse das Skalarprodukt  auf und versuche nach r aufzulösen.

$\begin{array}{l}3r+2(1-2r)-(-1-r)=3\\ \Rightarrow 3=3\end{array}$

Da für alle r die Bedingung erfüllt ist,liegt die Gerade in der Ebene.

Deshalb liegen alle Koordinaten der Gerade in E.

$\Rightarrow$ Die Gerade g liegt in der Ebene E.$\Rightarrow \mathrm{E}\cap \mathrm{g}=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ -1\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}3\\ -2\\ -1\end{array}\right)$

$\mathrm{E}:\left(\begin{array}{c}3\\ 1\\ -1\end{array}\right)\circ \overrightarrow{\mathrm{x}}+6=0$

$\mathrm{g}:\overrightarrow{\mathrm{x}}=\left(\begin{array}{c}-9\\ -4\\ 20\end{array}\right)+\mathrm{r}\cdot \left(\begin{array}{c}4\\ 0\\ -6\end{array}\right)$

Setze g in E ein.

$\begin{array}{l}\left(\begin{array}{c}3\\ 1\\ -1\end{array}\right)\circ [\left(\begin{array}{c}-9\\ -4\\ 20\end{array}\right)+\mathrm{r}\cdot \left(\begin{array}{c}4\\ 0\\ -6\end{array}\right)]+6=0|-6\\ \left(\begin{array}{c}3\\ 1\\ -1\end{array}\right)\circ \left(\begin{array}{c}-9+4r\\ -4\\ 20-6r\end{array}\right)=-6\end{array}$

Löse das Skalarprodukt  auf und versuche nach r aufzulösen.

$\begin{array}{l}3(-9+4r)-4-(20-6r)=-6\\ \Rightarrow r=\mathrm{2,5}\end{array}$

Da für r ein reeller Wert rauskommt schneidet die Gerade die Ebene in einem Punkt.

Setze r in g ein um den Schnittpunkt zu erhalten.

$\overrightarrow{\mathrm{O}S}=\left(\begin{array}{c}-9\\ -4\\ 20\end{array}\right)+\mathrm{2,5}\cdot \left(\begin{array}{c}4\\ 0\\ -6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ -4\\ 5\end{array}\right)$

$\Rightarrow$ Die Gerade schneidet die Ebene im Punkt $\mathrm{S}(1|-4|5)$

$\Rightarrow \mathrm{E}\cap \mathrm{g}=(1|-4|5)$

$\mathrm{E}:x_1-3\cdot x_2+2\cdot x_3-1=0$

$\mathrm{g}:\overrightarrow{\mathrm{X}}=\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 1\end{array}\right)+\mathrm{r}\cdot \left(\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 2\end{array}\right)$

Setze g in E ein.

$(2-r)-3\cdot (1+r)+2\cdot (1+2r)-1=0$

Versuche nach r aufzulösen.

$\begin{array}{l}2-r-3-3r+2+4r-1=0\\ \Rightarrow 0=0\end{array}$

Da für alle r die Bedingung erfüllt ist, liegt die Gerade g in der Ebene E.

$\Rightarrow$ Alle Punkte der Gerade liegen in E.

$\Rightarrow$ Die Gerade liegt in der Ebene.

$\Rightarrow \mathrm{E}\cap \mathrm{g}=\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 1\end{array}\right)+\mathrm{r}\cdot \left(\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 2\end{array}\right)$

$\mathrm{E}:x_1+x_2+2\cdot x_3-11=0$

$\mathrm{g}:\overrightarrow{\mathrm{X}}=\left(\begin{array}{c}1\\ 3\\ 2\end{array}\right)+\mathrm{r}\cdot \left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 0\end{array}\right)$

Setze g in E ein.

$(1+2r)+(3+r)+2\cdot (2)-11=0$

Löse nach r auf.

$\begin{array}{l}-3+3r=0\\ \Rightarrow \mathrm{r}=1\end{array}$

Da für r ein reeller Wert rauskommt schneidet die Gerade die Ebene in einem Punkt.

Setze r in g ein um den Schnittpunkt zu erhalten.

$\overrightarrow{\mathrm{O}S}=\left(\begin{array}{c}1\\ 3\\ 2\end{array}\right)+1\cdot \left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3\\ 4\\ 2\end{array}\right)$

$\Rightarrow$ Die Gerade schneidet die Ebene im Punkt $\mathrm{S}(3|4|2)$

$\Rightarrow \mathrm{E}\cap \mathrm{g}=(3|4|2)$