Die allgemeine Geradengleichung lautet $g:\vec{x}=\left(\begin{array}{c}a\\ b\\ c\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}d\\ e\\ f\end{array}\right)g:\; \backslash vec\{x\}\; =\; \backslash begin\{pmatrix\}\; a\; \backslash \backslash \; b\; \backslash \backslash \; c\; \backslash end\{pmatrix\}\; +\; r\; \backslash cdot\; \backslash begin\{pmatrix\}\; d\; \backslash \backslash \; e\; \backslash \backslash \; f\; \backslash end\{pmatrix\}$

Wenn $gg$ in $EE$ liegen soll, muss der Stützvektor der Geraden die Ebenengleichung erfüllen

Also: $2a-c=32a\; -\; c\; =\; 3$ $\Rightarrow \backslash rArr$ $c=2a-3c\; =\; 2a\; -3$

Diese vorläufige Geradengleichung kann nun in $EE$ eingesetzt werden:

$2(a+d\cdot r)-(c+f\cdot r)=32(a+d\backslash cdot\; r)\; -\; (c\; +\; f\backslash cdot\; r)\; =\; 3$

$\text{}\iff 2a+2d\cdot r-c-f\cdot r=3\backslash Leftrightarrow\; 2a\; +\; 2d\; \backslash cdot\; r\; -\; c\; -f\backslash cdot\; r\; =3$

Da bekannt ist, dass $2a-c=32a\; -\; c\; =\; 3$:

$3+2d\cdot r-f\cdot r=33\; +\; 2d\backslash cdot\; r\; -f\backslash cdot\; r\; =\; 3$

Demnach muss $2d\cdot r-f\cdot r=02d\backslash cdot\; r\; -\; f\backslash cdot\; r\; =\; 0$ sein, also $2d\cdot r=f\cdot r=>2d=f2d\backslash cdot\; r\; =\; f\backslash cdot\; r\; =>\; 2d\; =f$, denn es muss ja für alle $rr$ gelten.

Da $bb$ und $ee$ keinen Bedingungen unterliegen, sind diese beiden frei aus $\mathbb{R}\backslash mathbb\{R\}$ wählbar.

Alle Geraden $g,g,$ die in $EE$ liegen, haben also die Form $\vec{x}=\left(\begin{array}{c}a\\ b\\ 2\cdot a-3\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}d\\ e\\ 2\cdot d\end{array}\right)\backslash vec\{x\}=\backslash begin\{pmatrix\}\; a\; \backslash \backslash \; b\; \backslash \backslash \; 2\; \backslash cdot\; a\; -\; 3\; \backslash end\{pmatrix\}\; +\; r\; \backslash cdot\; \backslash begin\{pmatrix\}\; d\; \backslash \backslash \; e\; \backslash \backslash \; 2\; \backslash cdot\; d\; \backslash end\{pmatrix\}$ mit a;b;d;e; aus $\mathbb{R}\backslash mathbb\{R\}$, $dd$ und $ee$ nicht beide Null.

Eine Lösung ist zum Beispiel $g:\vec{x}=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ -3\end{array}\right)+r\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 2\end{array}\right)g:\; \backslash vec\{x\}=\backslash begin\{pmatrix\}0\backslash \backslash 0\backslash \backslash -3\; \backslash end\{pmatrix\}+r\backslash begin\{pmatrix\}1\backslash \backslash 0\backslash \backslash 2\; \backslash end\{pmatrix\}$.

Werden in der Gleichung der Geraden $b=e=0b=e=0$ gewählt, erhältst du mögliche Ebenen $F_{1}F\_1$ und $F_{2}F\_2$ aus

$2x_1+n{x}_2-x_3=32x\_1\; +\; nx\_2\; -\; x\_3\; =\; 3$ mit $nn$ aus $\mathbb{R}\setminus \{0\}\backslash mathbb\{R\}\backslash setminus\backslash \{0\backslash \}$ , da sich $x_{2}x\_2$aus jeglichen Gleichungen herauskürzt.

Zum Beispiel sind $F_1:2x_1+x_2-x_3=3F\_1:\; 2x\_1+x\_2-x\_3=3$ und $F_2:2x_1+2x_2-x_3=3F\_2:\; 2x\_1+2x\_2-x\_3=3$ Lösungen.

In diesem Teil der Aufgabe gehen wir wieder von einer allgemeinen Ebene $F_1:2x_1+n{x}_2-x_3=0F\_1:\; 2x\_1+nx\_2-x\_3=0$ mit $n\mathrm{\ne }0n\backslash neq\; 0$ aus.

Damit $kk$ und $EE$ keinen Schnittpunkt haben, müssen sie parallel sein, also muss der Richtungsvektor $\overrightarrow{k}\backslash overrightarrow\{k\}$ der Geraden $kk$ senkrecht zum Normalenvektor $\overrightarrow{n}\backslash overrightarrow\{n\}$ der Ebene $EE$ stehen, der sich einfach aus der Ebenengleichung ablesen lässt.

Für $kk$ wählen wir wieder die Darstellung $k:\vec{x}=\left(\begin{array}{c}a\\ b\\ c\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}d\\ e\\ f\end{array}\right)k:\; \backslash vec\{x\}\; =\; \backslash begin\{pmatrix\}\; a\; \backslash \backslash \; b\; \backslash \backslash \; c\; \backslash end\{pmatrix\}\; +\; r\; \backslash cdot\; \backslash begin\{pmatrix\}\; d\; \backslash \backslash \; e\; \backslash \backslash \; f\; \backslash end\{pmatrix\}$.

Mit $\vec{n}=\left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ -1\end{array}\right)\backslash vec\{n\}=\backslash begin\{pmatrix\}2\backslash \backslash 0\backslash \backslash -1\; \backslash end\{pmatrix\}$ und $\vec{k}=\left(\begin{array}{c}d\\ e\\ f\end{array}\right)\backslash vec\{k\}=\backslash begin\{pmatrix\}d\backslash \backslash e\backslash \backslash f\; \backslash end\{pmatrix\}$ ist

$\overrightarrow{k}\cdot \overrightarrow{n}=0\iff 2\cdot d-1\cdot f=0\Rightarrow f=2d\backslash overrightarrow\{k\}\; \backslash cdot\; \backslash overrightarrow\{n\}=0\; \backslash Leftrightarrow\; 2\backslash cdot\; d-1\backslash cdot\; f=0\backslash Rightarrow\; f=2d$.

Damit $kk$ nun in $F_{1}F\_1$ liegt, kann die vorläufige Geradengleichung hier eingesetzt werden:

$2(a+d\cdot r)+n(b+e\cdot r)-(c+f\cdot r)=32(a+d\backslash cdot\; r)\; +\; n(b+e\backslash cdot\; r)\; -\; (c+f\backslash cdot\; r)\; =\; 3$

Mit $f=2df\; =\; 2d$ gilt:

$2a+2dr+nb+ner-c-2dr=3\to 2a\; +\; 2dr\; +\; nb\; +\; ner\; -\; c\; -\; 2dr\; =\; 3\; \backslash rightarrow$

$2a+nb+ner-c=32a\; +\; nb\; +\; ner\; -\; c\; =\; 3$.

Da $kk$ in $F_{1}F\_1$ liegen soll, muss $rr$ aus der Gleichung eliminiert werden, demnach muss $e=0e\; =\; 0$ sein.

Also gilt $2a+nb-3=c2a\; +\; nb\; -\; 3\; =\; c$, dabei sind $aa$ und $bb$ frei wählbar aus $\mathbb{R}\backslash mathbb\{R\}$

Für $kk$, die in $F_{1}F\_1$ liegt und dabei $EE$ nicht schneidet, gilt demnach: