Die allgemeine Geradengleichung lautet $g:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}a\\ b\\ c\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}d\\ e\\ f\end{array}\right)$

Wenn $g$ in $E$ liegen soll, muss der Stützvektor der Geraden die Ebenengleichung erfüllen

Also: $2a-c=3$ $\Rightarrow$ $c=2a-3$

Diese vorläufige Geradengleichung kann nun in $E$ eingesetzt werden:

$2(a+d\cdot r)-(c+f\cdot r)=3$

$\text{}\iff 2a+2d\cdot r-c-f\cdot r=3$

Da bekannt ist, dass $2a-c=3$:

$3+2d\cdot r-f\cdot r=3$

Demnach muss $2d\cdot r-f\cdot r=0$ sein, also $2d\cdot r=f\cdot r=>2d=f$, denn es muss ja für alle $r$ gelten.

Da $b$ und $e$ keinen Bedingungen unterliegen, sind diese beiden frei aus $ℝ$ wählbar.

Alle Geraden $g,$ die in $E$ liegen, haben also die Form $\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}a\\ b\\ 2\cdot a-3\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}d\\ e\\ 2\cdot d\end{array}\right)$ mit a;b;d;e; aus $ℝ$, $d$ und $e$ nicht beide Null.

Eine Lösung ist zum Beispiel $g:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ -3\end{array}\right)+r\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 2\end{array}\right)$.

Werden in der Gleichung der Geraden $b=e=0$ gewählt, erhältst du mögliche Ebenen $F_1$ und $F_2$ aus

$2x_1+n{x}_2-x_3=3$ mit $n$ aus $ℝ\setminus \{0\}$ , da sich $x_2$aus jeglichen Gleichungen herauskürzt.

Zum Beispiel sind $F_1:2x_1+x_2-x_3=3$ und $F_2:2x_1+2x_2-x_3=3$ Lösungen.

In diesem Teil der Aufgabe gehen wir wieder von einer allgemeinen Ebene $F_1:2x_1+n{x}_2-x_3=0$ mit $n\ne 0$ aus.

Damit $k$ und $E$ keinen Schnittpunkt haben, müssen sie parallel sein, also muss der Richtungsvektor $\overrightarrow{k}$ der Geraden $k$ senkrecht zum Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ der Ebene $E$ stehen, der sich einfach aus der Ebenengleichung ablesen lässt.

Für $k$ wählen wir wieder die Darstellung $k:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}a\\ b\\ c\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}d\\ e\\ f\end{array}\right)$.

Mit $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ -1\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{k}=\left(\begin{array}{c}d\\ e\\ f\end{array}\right)$ ist

$\overrightarrow{k}\cdot \overrightarrow{n}=0\iff 2\cdot d-1\cdot f=0\Rightarrow f=2d$.

Damit $k$ nun in $F_1$ liegt, kann die vorläufige Geradengleichung hier eingesetzt werden:

$2(a+d\cdot r)+n(b+e\cdot r)-(c+f\cdot r)=3$

Mit $f=2d$ gilt:

$2a+2dr+nb+ner-c-2dr=3\to$

$2a+nb+ner-c=3$.

Da $k$ in $F_1$ liegen soll, muss $r$ aus der Gleichung eliminiert werden, demnach muss $e=0$ sein.

Also gilt $2a+nb-3=c$, dabei sind $a$ und $b$ frei wählbar aus $ℝ$

Für $k$, die in $F_1$ liegt und dabei $E$ nicht schneidet, gilt demnach: