Die allgemeine Geradengleichung lautet $g: \vec{x} = \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} d \\ e \\ f \end{pmatrix}$

Wenn $g$ in $E$ liegen soll, muss der Stützvektor der Geraden die Ebenengleichung erfüllen

Also: $2a - c = 3$ $\rArr$ $c = 2a -3$

Diese vorläufige Geradengleichung kann nun in $E$ eingesetzt werden:

$2(a+d\cdot r) - (c + f\cdot r) = 3$

$\Leftrightarrow 2a + 2d \cdot r - c -f\cdot r =3$

Da bekannt ist, dass $2a - c = 3$:

$3 + 2d\cdot r -f\cdot r = 3$

Demnach muss $2d\cdot r - f\cdot r = 0$ sein, also $2d\cdot r = f\cdot r => 2d =f$, denn es muss ja für alle $r$ gelten.

Da $b$ und $e$ keinen Bedingungen unterliegen, sind diese beiden frei aus $\mathbb{R}$ wählbar.

Alle Geraden $g,$ die in $E$ liegen, haben also die Form $\vec{x}=\begin{pmatrix} a \\ b \\ 2 \cdot a - 3 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} d \\ e \\ 2 \cdot d \end{pmatrix}$ mit a;b;d;e; aus $\mathbb{R}$, $d$ und $e$ nicht beide Null.

Eine Lösung ist zum Beispiel $g: \vec{x}=\begin{pmatrix}0\\0\\-3 \end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}1\\0\\2 \end{pmatrix}$.

Werden in der Gleichung der Geraden $b=e=0$ gewählt, erhältst du mögliche Ebenen $F_1$ und $F_2$ aus

$2x_1 + nx_2 - x_3 = 3$ mit $n$ aus $\mathbb{R}\setminus\{0\}$ , da sich $x_2$aus jeglichen Gleichungen herauskürzt.

Zum Beispiel sind $F_1: 2x_1+x_2-x_3=3$ und $F_2: 2x_1+2x_2-x_3=3$ Lösungen.

In diesem Teil der Aufgabe gehen wir wieder von einer allgemeinen Ebene $F_1: 2x_1+nx_2-x_3=0$ mit $n\neq 0$ aus.

Damit $k$ und $E$ keinen Schnittpunkt haben, müssen sie parallel sein, also muss der Richtungsvektor $\overrightarrow{k}$ der Geraden $k$ senkrecht zum Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ der Ebene $E$ stehen, der sich einfach aus der Ebenengleichung ablesen lässt.

Für $k$ wählen wir wieder die Darstellung $k: \vec{x} = \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} d \\ e \\ f \end{pmatrix}$.

Mit $\vec{n}=\begin{pmatrix}2\\0\\-1 \end{pmatrix}$ und $\vec{k}=\begin{pmatrix}d\\e\\f \end{pmatrix}$ ist

$\overrightarrow{k} \cdot \overrightarrow{n}=0 \Leftrightarrow 2\cdot d-1\cdot f=0\Rightarrow f=2d$.

Damit $k$ nun in $F_1$ liegt, kann die vorläufige Geradengleichung hier eingesetzt werden:

$2(a+d\cdot r) + n(b+e\cdot r) - (c+f\cdot r) = 3$

Mit $f = 2d$ gilt:

$2a + 2dr + nb + ner - c - 2dr = 3 \rightarrow$

$2a + nb + ner - c = 3$.

Da $k$ in $F_1$ liegen soll, muss $r$ aus der Gleichung eliminiert werden, demnach muss $e = 0$ sein.

Also gilt $2a + nb - 3 = c$, dabei sind $a$ und $b$ frei wählbar aus $\mathbb{R}$

Für $k$, die in $F_1$ liegt und dabei $E$ nicht schneidet, gilt demnach: