Aufgaben zur Lagebeziehung von Geraden und Ebenen

Gegeben sind eine Gerade $g$ und eine Ebene $E$ mit:

$g:\;\overrightarrow{X}=\begin{pmatrix} -5 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix} 6 \\ -4 \\ 1 \end{pmatrix}$ und $E:\;\overrightarrow{X}=\begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ 0 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\- 1 \end{pmatrix}+t \cdot \begin{pmatrix} 6 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}$

Untersuche die Lage der Geraden $g$ bezüglich der Ebene $E$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehungen von Geraden und Ebenen

Setze $g = E$ :

$\displaystyle \begin{pmatrix} -5 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix} 6 \\ -4 \\ 1 \end{pmatrix}$	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ 0 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\- 1 \end{pmatrix}+t \cdot \begin{pmatrix} 6 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}$	$\displaystyle -\begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ 0 \end{pmatrix}$
	↓	Sortiere. Bringe die Vektoren auf die linke Gleichungsseite und die Vektoren mit Parametern auf die rechte Gleichungsseite.
$\displaystyle \begin{pmatrix} -6 \\-5 \\ 0 \end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix} 6 \\ -4 \\ 1 \end{pmatrix}$	$=$	$\displaystyle +s\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\- 1 \end{pmatrix}+t \cdot \begin{pmatrix} 6 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}$	$\displaystyle -r\cdot \begin{pmatrix} 6 \\ -4 \\ 1 \end{pmatrix}$
$\displaystyle \begin{pmatrix} -6 \\-5 \\ 0 \end{pmatrix}$	$=$	$\displaystyle -r\cdot \begin{pmatrix} 6 \\ -4 \\ 1 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\- 1 \end{pmatrix}+t \cdot \begin{pmatrix} 6 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}$

Du hast ein lineares Gleichungssystem mit $3$ Variablen erhalten, das z.B. mit dem Additionsverfahren gelöst werden kann.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{ccccc}\mathrm{I}&-6\cdot r&+&0\cdot s&+&6\cdot t&=-6\\\mathrm{II}&4\cdot r&+&3\cdot s&+&2\cdot t&=-5\\\mathrm{III}&-1\cdot r&-&1\cdot s&-&1\cdot t&=0\end{array}$

Rechne $\mathrm{II}+3\cdot \mathrm{III}$ :

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{ccccc}\mathrm{II}&4\cdot r&+&3\cdot s&+&2\cdot t&\;=-5\\+3\cdot\mathrm{III}&-3\cdot r&-&3\cdot s&-&3\cdot t&=0\end{array}\\\overline{\;\;\;\;\;\mathrm{IV}\;\;\;\;\;\;\;\;\;1\cdot r\;\;\;+\;\;\;0\cdot s\;\;\;\;-\;\;1\cdot t\;\;\;\;=-5}$

Rechne $\mathrm{I}:(-6)$ $\;\Rightarrow\; \mathrm{V}\;\;\;1\cdot r+0\cdot s-1\cdot t=1$

Rechne $\mathrm{IV}-\mathrm{V}$ :

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{ccccc}\mathrm{IV}&1\cdot r&+&0\cdot s&-&1\cdot t&\;=-5\\-\mathrm{V}&1\cdot r&+&0\cdot s&-&1\cdot t&=1\end{array}\\\overline{\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0\cdot r\;\;\;+\;\;\;0\cdot s\;\;\;\;+\;\;0\cdot t\;\;\;\;=-6}$

$\Rightarrow\; 0=-6$

Du hast eine falsche Aussage erhalten. Das Gleichungssystem hat keine Lösung, d.h. die Gerade und die Ebene schneiden sich nicht. Die Gerade und Ebene verlaufen parallel zueinander.

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