Aufgaben zur Lagebeziehung von Geraden und Ebenen

…

Gegeben sind eine Gerade $g$ und eine Ebene $E$ mit:

$g : \vec{X} = (\begin{array}{c} - 5 \\ 0 \\ 0 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 6 \\ - 4 \\ 1 \end{array})$ und $E : \vec{X} = (\begin{array}{c} 1 \\ 5 \\ 0 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ 3 \\ - 1 \end{array}) + t \cdot (\begin{array}{c} 6 \\ 2 \\ - 1 \end{array})$

Untersuche die Lage der Geraden $g$ bezüglich der Ebene $E$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehungen von Geraden und Ebenen

Setze $g = E$ :

$(\begin{array}{c} - 5 \\ 0 \\ 0 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 6 \\ - 4 \\ 1 \end{array})$	$=$	$(\begin{array}{c} 1 \\ 5 \\ 0 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ 3 \\ - 1 \end{array}) + t \cdot (\begin{array}{c} 6 \\ 2 \\ - 1 \end{array})$	$- (\begin{array}{c} 1 \\ 5 \\ 0 \end{array})$
	↓	Sortiere. Bringe die Vektoren auf die linke Gleichungsseite und die Vektoren mit Parametern auf die rechte Gleichungsseite.
$(\begin{array}{c} - 6 \\ - 5 \\ 0 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 6 \\ - 4 \\ 1 \end{array})$	$=$	$+ s \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ 3 \\ - 1 \end{array}) + t \cdot (\begin{array}{c} 6 \\ 2 \\ - 1 \end{array})$	$- r \cdot (\begin{array}{c} 6 \\ - 4 \\ 1 \end{array})$
$(\begin{array}{c} - 6 \\ - 5 \\ 0 \end{array})$	$=$	$- r \cdot (\begin{array}{c} 6 \\ - 4 \\ 1 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ 3 \\ - 1 \end{array}) + t \cdot (\begin{array}{c} 6 \\ 2 \\ - 1 \end{array})$

Du hast ein lineares Gleichungssystem mit $3$ Variablen erhalten, das z.B. mit dem Additionsverfahren gelöst werden kann.

$\begin{array}{ccccc} I & - 6 \cdot r & + & 0 \cdot s & + & 6 \cdot t & = - 6 \\ II & 4 \cdot r & + & 3 \cdot s & + & 2 \cdot t & = - 5 \\ III & - 1 \cdot r & - & 1 \cdot s & - & 1 \cdot t & = 0 \end{array}$

Rechne $II + 3 \cdot III$ :

$\begin{array}{l} \begin{array}{ccccc} II & 4 \cdot r & + & 3 \cdot s & + & 2 \cdot t & = - 5 \\ + 3 \cdot III & - 3 \cdot r & - & 3 \cdot s & - & 3 \cdot t & = 0 \end{array} \\ IV 1 \cdot r + 0 \cdot s - 1 \cdot t = - 5 \end{array}$

Rechne $I : (- 6)$ $\Rightarrow V 1 \cdot r + 0 \cdot s - 1 \cdot t = 1$

Rechne $IV - V$ :

$\begin{array}{l} \begin{array}{ccccc} IV & 1 \cdot r & + & 0 \cdot s & - & 1 \cdot t & = - 5 \\ - V & 1 \cdot r & + & 0 \cdot s & - & 1 \cdot t & = 1 \end{array} \\ 0 \cdot r + 0 \cdot s + 0 \cdot t = - 6 \end{array}$

$\Rightarrow 0 = - 6$

Du hast eine falsche Aussage erhalten. Das Gleichungssystem hat keine Lösung, d.h. die Gerade und die Ebene schneiden sich nicht. Die Gerade und Ebene verlaufen parallel zueinander.

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